含参数的一元二次不等式的解法(专题)

含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元

二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按2

x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;

例1 解不等式：()0122

>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。

解：∵()044222

>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122

=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

>21|x x 当0

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652

≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2

>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|>

二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；

例3 解不等式042>++ax x

分析 本题中由于2

x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a

∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；

当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2

1622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()

()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m

m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>

-

例5 解不等式)0( 01)1(2

≠<++-a x a

a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。

解：原不等式可化为：()0)1(<-

-a x a x ，令a a 1=，可得：1±=a ∴当1-

⎨⎧<

a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<

>+-a ax x ，0≠a

分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.

解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为

a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<或