专题24-解三角形中的最值、范围问题(解析版).

专题２4 解三角形中的最值、范围问题

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意2

2

,,a c ac a c ++三者的关系。高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式＂，其中的核心是“变角”,即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式。 1、正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===,其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边,或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科—+网 例如：（1)2

2

2

2

2

2

sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=

（2)cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=(恒等式) （3)

22

sin sin sin bc B C

a A

= 2、余弦定理:2

2

2

2cos a b c bc A =+-

变式：()()2

2

21cos a b c bc A =+-+此公式在已知,a A 的情况下,配合均值不等式可得到b c +和bc 的最

值

4、三角形中的不等关系

(１）任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少

(２）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系：

sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<

其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性,而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效。

5、解三角形中处理不等关系的几种方法

(1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元,将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值)

（2）利用均值不等式求得最值

【经典例题】

例1.【2018届百校联盟TＯP2０高三四月联考全国一卷】已知四边形中,,设与面积分别为，则的最大值为_＿___。【答案】

【解析】分析:利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围,求的最大值即可.

点睛：求解三角函数的最值（或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性,正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得.

例2。【2０１8届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角Ａ,B，C所对的边分别为,则实数a的取值范围是__＿________＿.【答案】. 【解析】由,

得，所以，

则由余弦定理，

得,解得,又, 所以的范围是。

例3。【2０1８届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若对任意

λ∈R,不等式恒成立,则的最大值为_＿_＿_．【答案】2

例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，,,所对的角分别为，，,且满足

,且的外接圆的面积为,则的最大值的取值范围为＿____＿__＿_．【答案】

【解析】由的三边分别为,,可得:

，

可知:,

,,

例5.【２018届湖南省株洲市高三检测(二）】已知中,角所对的边分别是,且

。

(1）求角的大小；

(2）设向量，边长，当取最大值时,求边的长。

【答案】(1）（2).

【解析】分析：(1）由题意,根据正弦定理可得，再由余弦定理可得,

由此可求角的大小;

(2)因为由此可求当取最大值时，求边的长．

（2)因为

所以当

时,

取最大值,此时,

由正弦定理得,

例6。【20１8届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角

的对边分别为

其面积为,且。学/科/＊网

(Ⅰ)求角;（ＩI)若，当

有且只有一解时,求实数的范围及的最大值。

【答案】(Ⅰ）

。（Ⅱ)

.

【解析】分析：(Ⅰ)利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这

个三角方程即得Ａ的值。 （ＩI ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值

范围

,再写出S 的函数表达式求其最大值．

详解：(Ⅰ)由己知

（Ⅱ）由己知,当

有且只有一解时，或，所以

；

当

时,

为直角三角形,

当 时,由正弦定理 ,

,

所以,当时,综上所述,。

例7．【20１８届四川省资阳市高三4月（三诊)】在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b ，c,且

()()sin sin a b A B +-()sin sin c C B =-.

(1）求Ａ.(2）若4a =，求22

b c +的取值范围．【答案】(1）3

A π

=

;(２)(]16,32。