三角函数基础知识

三角函数基础知识（精华）

1、任意角（终边相同的角、轴线角、象限角）

①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：

{}Z

k k ∈+⨯=,360

|αββ

②象限角：第一象限的角表示为{α|k ⋅360︒＜α＜k ⋅360︒+90︒，（k ∈Z ）}；

第二象限的角表示为{α|k ⋅360︒+90︒＜α＜k ⋅360︒+180︒，（k ∈Z ）}； 第三象限的角表示为{α|k ⋅360︒+180︒＜α＜k ⋅360︒+270︒，（k ∈Z ）}； 第四象限的角表示为{α|k ⋅360︒+270︒＜α＜k ⋅360︒+360︒，（k ∈Z ）}；

或{α|k ⋅360︒-90︒＜α＜k ⋅360︒，（k ∈Z ）} ③轴线角：终边在x 轴正半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒， k ∈Z}；

终边在x 轴负半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+180︒，k ∈Z}； 终边在x 轴上的角的集合：{α|α=k ⋅180︒，k ∈Z}；

终边在y 轴正半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+90︒，k ∈Z}； 终边在y 轴负半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+270︒，k ∈Z}； 终边在y 轴上的角的集合：{α|α=k ⋅180︒+90︒，k ∈Z}； 终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k ⋅90︒，k ∈Z}

2、弧度制

①长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制

②性质：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r

l

=

α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同

③角度制与弧度制的换算：

∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad

∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π

'185730.571801

=≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛=πrad

3、扇形相关公式

①弧长公式：

α

⋅=r l

②周长公式：2c r l =+ ③扇形面积公式 211

22

S lR R α== 其中α是圆心角，l 是扇形弧长，R 是圆的半径

4、三角函数定义：

设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与 原点的距离为r ，则：

sin y r α=

正弦：； cos x r

α=余弦：；

tan y x α=

正切：； cot x y

α=余切：； 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割

30 60 90 120 135 150 1800 3 5 23

7、同角三角函数的基本关系式：

ααα

tan cos sin = αα

αcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1cos sin 22=+αα 8、诱导公式：

2

k παα±把

的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”

公式组一 公式组二 公式组三 公示四

sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan k x x k x x k x x

πππ+=+=+= sin()sin cos()cos tan()tan x x x x x x

-=--=-=-

sin()cos 2cos()sin 2tan()cot 2

x x

x x

x x

π

π

π+=+=-+=-

sin()cos 2cos()sin 2tan()cot 2

x x

x x

x x

π

π

π

-=-=-=

公式组四 公式组五 公式组六

sin()sin cos()cos tan()tan x x x x x x

πππ+=-+=-+= sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan x x x x x x

πππ-=--=-=- sin()sin cos()cos tan()tan x x x x x x

πππ-=-=--=-

9、三角恒等变换公式

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α

αα2tan 1tan 22tan -=

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2

cos 12

sin α

α

-±

= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ 2cos 12cos α

α+±=

βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

- 升幂公式： 2

2

1+cos 22cos 1cos 22sin a a a a

⎧=⎪⎨

-=⎪⎩ 2

21sin 2(sin cos )1sin 2(sin cos )

a a a a a a ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩ 降幂公式：2

21cos 2cos 21cos 2sin 2a a a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

辅助角公式：sin 2sin()3cos 2sin()61:1sin cos )4a a a a a a a a a πππ⎧=±⎪±=±⎪±=±⎪⎩

型： 10、正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

α

α

αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=