圆与三角函数及相似结合

圆和三角函数及相似练习题

1、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙ O于F，且

CE=CB。

（1）5求证：BC⊙ O是的切线；（2）连接AF、BF，求∠ ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙ O

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的半径。

2、如图，AB 是⊙ 0 的直径， C 是⊙ 0 上的一点，直

线且∠ BAC= ∠DAC ．

（1）猜想直线MN 与⊙0 的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=6 ，cos=∠ ACD= ，求⊙ 0的半径．

MN 经过点C，过点 A 作直线MN 的垂线，垂足为点D

3 、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD ⊥ BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE ．（1）求证：BE与⊙O相切；

求BF 的长．

4、如图，已知⊙ O 的直径 AB 与弦CD 相交于点 E ， AB ⊥CD ，⊙ O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F ．（1）

B 为切点，直线 PO 交⊙ O 于点 E ，F ，过点 B 作 PO 的垂线 BA ，垂足为点 D ，

交⊙O 于点 A ，延长 AO 与⊙ O 交于点 C ，连接 BC ， AF ．

1）求证：直线 PA 为⊙ O 的切线；

2）试探究线段 EF ， OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明；

1

3）若 BC ＝6，tan ∠F ＝ 1，求 cos ∠ ACB 的值和线段 PE 的长．

2

6、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点 E 作⊙ O 的切线交 AB 的延长线于 F ．切点

为 G ， 连接 AG 交 CD 于 K ．

1）求证： KE=GE ；

2）若 KG 2 =KD · GE ，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； 3） 在（ 2）的条件下，若 sinE= 3 ，AK= 2 3，求 FG 的长．

5

求证： CD ∥ BF ； 2）若⊙ O 的半径为 5， 4 cos ∠BCD=

5

求线段 AD 的长．

5、如图， PB 为⊙ O 的切线，

P

7、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙ O于F，且CE=CB。

5 1）求证：BC⊙ O是的切线；（2）连接AF、BF，求∠ ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求

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⊙O的半径。

3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数【答案】

（1）证明：连结OC

∵OD⊥BC

所以∠ EOC=∠ EOB

在△EOC 和△EOB 中

OC OB

EOC EOB

OE OE

∴ △EOC≌△EOB （SAS）

∴∠ OBE=∠ OCE=90°

∴BE与⊙O 相切

（2）解：过点 D 作DH ⊥AB

∵△ ODH∽△ OBD

∴OD：OB=OH：OD=DH ：BD

2

又∵ sin∠ ABC=

3

∴OD=6

∴OH=4，OH=5，DH=2 5

又∵△ ADH∽△ AFB

∴AH：AB= DH ：PB

13:18=2 5 :FB

36 5

∴FB=

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点评】（ 1 ）利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。

2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。

4 分析】（1）由BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，根据切线的性质，可得到BF⊥AB ，然后利用平行线的判定得出CD ∥BF

（2）由AB 是圆O 的直径，得到∠ ADB=90o ，由圆周角定理得出∠ BAD= ∠ BCD ，再根据三角函数

4 AD cos∠BAD= cos ∠ BCD= =

5 AB

即可求出AD 的长

解析】（1）证明：∵ BF 是圆O的切线，AB 是圆O 的直径

∴BF ⊥AB ∵CD ⊥ AB ∴CD ∥ BF

2）解： ∵AB 是圆 O 的直径 ∴∠ ADB=90o ∵圆 O 的半径 5 ∴AB=10 ∵∠ BAD= ∠BCD

4

∴ AD cos BAD AB 10 =8

5

∴AD=8 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体， 它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考 察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各 地的中考中 ,圆的有关性质 ,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆 有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点 .

5【解析】 （1）要证 PA 是⊙O 的切线，只要连接 OB ，再证∠ PAO ＝∠ PBO ＝ 90 °即可．（ 2）OD ，OP 分

别是 Rt △OAD ， Rt △OPA 的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得 OA 1 2＝OD ·OP ，

再将 EF ＝ 2OA 代入即可得出

EF ，OD ，OP 之间的等量关系．（ 3）利用 tan ∠ F ＝ 1 ，得出 AD ，OD 之间的

2 （2）EF 2＝4OD ·OP ． 证明：∵∠ PAO ＝∠ PDA ＝90°，

1

关系，据此设未知数后，根据 AD ＝BD ，OD ＝ BC ＝3，AO ＝

OC ＝OF ＝FD －OF ，将 AB ， AC 也表达成含

2 未知数的代数式，再在 Rt △ABC 中运用勾股定理构建方程求

解．

【答案】 解：（ 1）证明：如下图，连接 OB ， ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠ PBO ＝90°． ∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于 D ，∴ AD ＝ BD ，∠ POA ＝∠ POB ． 又∵ PO ＝PO ，∴△ PAO ≌△ PBO ．

∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°．∴直线 PA 为⊙ O 的切线．

4 cos ∠ BAD= cos ∠ BCD= =

AD

AB

P