经济应用数学课件第二章

用函数复合函数的导函数
(1)y=(2 x ) (3) y ( x 2 5)3 1 2 (5) y ( ) 1 x
（3）指数函数的导数 一般地，对于指数函数 f ( x) a x (a 1, a 0)，有
f ( x) a x ln a
（4）对数函数的导数 一般地，对于对数函数
有
f ( x ) (log a x)
f ( x) loga x(a 1, a 0) ，
1 x ln a
Q Q(t0 t ) Q(t0 ) s t t
t
。。。。。
t
。 。。。。。
s
Q t
。。。。。
1.001 1.01 1.1
0.001 0.01 0.1
2.001 2.01 2.1
从表可以看出， 当时间段 的变化很 小时，平均变 化率很接近某 一确定的值 2.
引例2
切线的定义:设有经济函数C及C上一点M，在点M附 近取一点N。当点N沿曲线C无限趋于点M时，割线 MN趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在M点 的切线。
1、导数的四则运算法则
（1）（和差求导法则）设 u ( x), v( x) 在 x 点可导 ,则两个函数的代数和 u( x) v( x) 在 x 点也可导，且
u ( x) v( x)
特别地，有 中 c 为常数。
u( x) v( x)
，其
(cu( x)) cu( x)
f ( x x) f ( x) f ( x) y lim x 0 x
如果 f ( x) 在区间( a, b)上可导，且 f (a), f (b) 都存在，则称 f ( x) 在区间[a, b] 上可导。
例：求下列函数的导函数
(1)f(x)=C(C为常数)，求f(x ) (2)f(x)=x,求f(x) (3)f(x)=x , 求f(x)
（2）（积导数法则）设 u( x), v( x) 在 x 点可导 , 则两个函数的积 u ( x)v( x) 在 x 点也可导，且
u( x)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
例2 求 解：
y 2 sin x ln x
的导数。
y (2 sin x ln x) 2((sin x ) ln x sin x (ln x )) 2 sin x 2 cos x ln x x
（5）三角函数的导数
三角函数 f ( x)
sin x
三角函数导数 f ( x ) cos x
sin x
cos x
tan x
cot x
sec2 x
csc2 x
（6）反三角函数的导数
f ( x)
反三角函数
arBiblioteka Baidusin x
反三角函数导数 f ( x )
1 1 x2 1 1 x2
1 1 x2
例3 用商导法则求 解：
y tan x 的导数。
y (tan x ) sin x cos x (sin x ) cos x sin x(cos x) cos 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 1 cos 2 x sec 2 x
。。。。。。
t
-0.1 -0.01 -0.001
。。。。。。。。。
s
Q t
1.9 1.99 1.999
。。。。，
1
0
？
从表可以看出，当时间段t 很小时，平均变化率很 接近某一确定的值 2.
然后取邻近右边时刻 t 1.01, t 1.1, t 1.001 计算产量在各点的平均变化率
2.1 导数与微分的概念
一、导数概念的引入 二、导数的定义 三、基本初等函数的导数公式
2.1.1、引例
引例1 （产品总产量的变化率）：在生产过程中，生产总量 Q 是时间 t 的函数，设为 Q Q(t ) 。开始时刻t t0 的总产量 为Q(t0 ) ，从开始时刻到时刻 t t0 t的总产量改变量
2 f ( x0 ) 2A
求下列函数的导数
(1) y x
1 3
1 (2) y x
求下列函数在指定点的导数
(1) f ( x) sin x, 求f(

4
),f( )
1 (2)f(x)=log 2 x, 求f(1),f( ) 2
2.2
导数的计算
一、导数的四则运算法则
二、复合函数求导法则
为 Q Q(t0 t ) Q(t0 )，产品的平均变化率为
Q Q(t0 t ) Q(t0 ) s t t
当 t 0 时，若产量平均变化率 s 的极限存在，则称此极限 为总产量在 t t0时刻的变化率，即
s
s lim
Q Q(t0 t ) Q(t0 ) t 0 t t
2、左、右导数
定义2.1.3
若函数 f ( x) 在点x0 处以下左、右极限
x 0
lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) , lim x 0 x x
存在，则称函数分别在 x0 处存在左右导数，记作
f ( x0 x ) f ( x0 ) x 0 x f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x f ( x0 ) lim
用函数求导的四则运算法则求下列函数的 导函数
(1)y=x (2 x )
2
(3) y 2 ( x 5)
x 2
3x 2 (2)y= 5x 8 sinx (4)y= x
2
1 1 (5) y 1 x 1 x (7)y=xlnx
(6)y=sinxtanx
2、复合函数求导法则
如何求我们的切线方程呢？
设 M ( x0 , y0 ) ，则 y0 f ( x0 ) ，根据上述定义只
要求出切线的斜率就行了。为此，设 N ( x, y) ， 于是割线MN的斜率为
y y0 f ( x) f ( x0 ) tan x x0 x x0
令x x0 x, x x0 x
经济应用数学讲义
主 讲 人：杨 利 琴 讲课时间：2014.9.19
邮
箱：yangliqin11@yeah.net
目
第一章：经济函数与极限 第二章：导数及其经济应用 第三章：积分及其经济应用 第四章：矩阵与行列式 第五章：概率统计
录
第二章
导数及其经济应用
导数与微分的概念 导数的计算 边际分析 弹性分析 函数的极值 最优化分析
此时，切线方程为
y k ( x x0 ) y0
注意
（1）与曲线只有一个交点的直线不一定是切线。
（2）切线可能与曲线有多个交点。
（3）切线可能穿过曲线位于曲线两侧。
思考？
引例1：产品的平均变化率 引例2：曲线的斜率
有 什 么
共 同
特
征？
2.1.2 导数的定义
1.导数在某一点的定义
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某个临域内有定义， 当自变量 x 在 x0处取得某个增量x 时，相应的 函数 y取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )，如果 y与 x的比值当 x 0时的极限存在，则称 y f ( x)在 x0 处可导，并称这个极限为 y f ( x) 在 x0 处的导数，记为 f ( x0 ) 。即
y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 +x) f ( x0 ) tan = x x0 x x0 x
当点N沿曲线C趋于M时，即 x 0 时，此 时斜率 k 如果存在，则有
f ( x0 x ) f ( x0 ) k lim tan lim x x0 x 0 x
2
(4) f ( x) e , 求f(x) （5）f(x)=lnx, 求f(x),
x
3、基本初等函数的导数公式
（1）常数函数的导数 若
f ( x) C，则 f ( x) 0 。
（2）幂函数的导数 一般地，对于幂函数 f ( x) x ，有
f ( x) x 1
（3）（商导数法则）设 u( x), v( x) 在 x 点可导 , 则两个函数的商
u ( x) v( x)
在 x 点也可导，且
u ( x) u ( x)v( x) u ( x)v( x) 2 v ( x ) v ( x)
特别地，有
1 v( x) 2 v ( x) v( x)
注：函数在点 x0 处可导的充要条件是左右导数 都存在且相等。
左导数
右导数
例：求下列函数的导数
(1)f(x)=C(C为常数)，求f-(0) (1) (2)f(x)=2x,求f+ (3)f(x)=x , 求f-(1)
2
(0) （4）f(x)=e , 求f+
x
3、函数在区间上的导数
如果函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 上每一点都有导数， x ( a, ，都对应着一个确定 b) 此时对于每一个 ( x ) f ，从而构成一个新的函数 的导数 ，并 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 称这个函数 为 在开区间内的导函数，即
dy dy du dv dx du dv dx
例4
y ln cos(e ),求
x
dy dx
解：原函数可以分解为
因为
y ln u, u cos v, v e x
dy 1 du dv , sin v, ex du u dv dx
故有
dy dy du dv 1 sin v e x dx du dv dx u 1 x x x x sin( e ) e e tan e cos(e x )
f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0 x x0
导数的几何意义
例：求下列函数的导数
(1)f(x)=C(C为常数)，求f(0) (2)f(x)=2x,求f(1) (3)f(x)=x2 , 求f(1)，并求函数在点（1,1） 处的切线方程 （4）f(x)=ex , 求f(0) （5）f(x)=lnx, 求f(1),并求函数在点（1,0） 处的切线方程
如果 u ( x) 在点 x0 可导，而 y f (u ) 在 u0 ( x0 ) 点可导，则复合函数 y f ( ( x)) 在点 x0 可导，且 有 dy f (u0 ) ( x0 ) dx x x0
设y
f (u ), u (v), v ( x)，则复合函数 y f ( ( ( x))) 的导数为
取Q(t ) t 2 ,求产量在 t0 1时刻的变化率，首先取 t0 1 邻近左 边时刻 t 0.9, t 0.99, t 0.999 ，计算出产量在个点的平均变 化率
Q Q(t0 t ) Q(t0 ) t t
s
结果如下：
产品总产量的平均变化率
t
0.9 0.99 0.999
arccos x
arctan x arc cot x
1 1 x2
例（利用导数的定义求极限） 已知
f ( x0 ) A，求
f ( x0 h) f ( x0 h) lim h 0 h
解：
lim
f ( x0 h) f ( x0 h) h 0 h f ( x0 h) f ( x0 h) lim 2 h 0 h ( h)
例1 求曲线
y x 4 6 x 2 5 的水平切线。
解： y x4 6 x 2 5 4 x3 12 x 令 y 0，解得 x 0, 3 所以，曲线在 x 0, 3 处有水平切线，曲 线上相应的点为 (0, 5), ( 3, 14), ( 3, 14)