8章-梁的位移分析与刚度计算

第8章 梁的位移分析与刚度计算
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梁的小挠度微分方程及其积分
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第8章 梁的位移分析与刚度计算
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
第8章 梁的位移分析与刚度计算
w m ax ql 4 wB 8EI
m ax
ql 3 B 6EI
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梁的小挠度微分方程及其积分
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例题 2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件 是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于 零：w=0; 在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0， θ ＝ 0。 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布 载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1= w2，θ 1＝ θ 2等等。
梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
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梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改 变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分： 横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w 表示； 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度， 称为转角（slope），用表示；

3
2
d2w M EI dx 2
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负 号与w坐标的取向有关。
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梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
d2w 0,M 0 dx 2
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d2w 0,M 0 2 dx
梁的变形与梁的位移
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机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的 挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合， 以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动 的过程中产生很大的噪声。 此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也 将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大 大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
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第8章 梁的位移分析与刚度计算
梁的变形与梁的位移
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梁的曲率与位移
挠度与转角的相互关系
梁的位移分析的工程意义
第8章 梁的位移分析与刚度计算
梁的变形与梁的位移
梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
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梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
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梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变 称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分： 横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移 （horizontal displacement），用u表示。 在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相 比为高阶小量，故通常不予考虑。
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梁的变形与梁的位移 梁的小挠度微分方程及其积分 叠加法确定梁的挠度与转角 梁的刚度问题 简单的静不定梁 结论与讨论
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梁的变形与梁的位移
第8章 梁的位移分析与刚度计算
梁的变形与梁的位移
梁的位移分析的工程意义
尽管在位移分析中所涉及的梁的变形和位移都 是弹性的。然而，在工程设计中，对于结构或构件 的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会 使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。
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第8章 梁的位移分析与刚度计算
另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变 形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为 一例。这种情形下也需要研究变形。 此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充 方程。
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第8章 梁的位移分析与刚度计算
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本章将在上一章得到的曲率公式的基础上，建立梁的 挠度曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的 边界条件确定挠度曲线方程。在此基础上，介绍工程上常 用的计算梁变形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定 梁的求解问题。
ql 3 C , 6 ql 4 D 24
解： 5． 确定挠度与转角方程
w q 4 l x 4l 3 x l 4 24 EI
q 3 l x l3 6EI

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梁的小挠度微分方程及其积分
w
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小挠度微分方程
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梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
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力学中的曲率公式
1 M EI
d2w dx 2 dw 1 d x
0
x l
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O w 解：2．建立梁的弯矩方程 1 2 M (x) q l x 2 3． 建立微分方程并积分
x
0
x l
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
E Iw " M 1 2 q l x 2
工程力学(2) - 材料力学
第8章 梁的位移分析与刚度计算
庄 茁
蒙民伟科技大楼N501室 62783014，zhuangz@
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2016年1月25日
下一章
第8章 梁的位移分析与刚度计算
上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的 轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正 常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的 结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足 一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此， 必须分析和计算梁的变形。
q 4 l x 4l 3 x l 4 24 EI
q 3 l x l3 6EI
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解： 6． 确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和 转角均为最大值。 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得 到：
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梁的小挠度微分方程及其积分
例题 1
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。 已知均布载荷集度q ，梁的弯 曲刚度EI 、长度为l 。 求：梁的弯曲挠度与转角 方程，以及最大挠度和最大转 角。
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l
M x dx dx C x D EI
其中C、D为积分常数。
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小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
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小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
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梁的变形与梁的位移
梁的曲率与位移
根据上一章得到的结果， 弹性范围内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横截面上的 弯矩、弯曲刚度之间存在下列 关系：
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1 M ＝ EI
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d2w M 2 EI dx
d2w M 2 EI dx
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小挠度微分方程
采用向下的w坐标系，有
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d2w M 2 EI dx
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小挠度微分方程
d2w M 2 EI dx
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程 M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分，得到包含积分常数的 挠度方程与转角方程： M x dw dx C dx EI l
w l
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E Iw ' E I
E Iw
1 3 q l x C 6
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1 4 q l x Cx D 24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数 固定端处的约束条件为：
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在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不 是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强 度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。
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梁的变形与梁的位移
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在 Oxw坐标系中，挠度与转角存 在下列关系：
dw tan dx
在小变形条件下，挠度曲线较为 平坦，即 很小，因而上式中 tan 。 于是有 dw dx
w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
2
数学中的曲率公式
1



3
2
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小挠度微分方程
小挠度情形下
d2w dx 2 dw 1 d x
2
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dw 1 dx
2
1


x 0， w 0 ,
ql 3 C , 6 ql 4 D 24
=
dw 0 dx
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1 3 E Iw ' E I q l x C 6 1 4 E Iw q l x Cx D 24
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梁的小挠度微分方程及其积分
O
x
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w
3． 建立微分方程并积分
E Iw " M 1 2 q l x 2
1 3 q l x C 6
积分后，得到
E Iw ' E I
E Iw
1 4 q l x Cx D 24
梁的小挠度微分方程及其积分
解：2．建立梁的弯矩方程 TSINGHUA UNIVERSITY
x
M(x ) FQ(x)
从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束 力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以 考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：
M (x) 1 2 q l x 2
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O w 解：1．建立Oxw坐标系
x
建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分 布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
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