高二数学椭圆与相交直线的弦长公式_知识点总结

高二数学椭圆与相交直线的弦长公式_知识点总结

解：如果需要,推一个便是.设椭圆和直线的方程分别为

X^2/a^2+Y^2/b^2=1和X/A+Y/B=0

即b^2?X^2+a^2?Y^2=a^2?b^2┅┅┅①

和BX+AY=0┅┅┅②

由②得Y=-BX/A

代入①且整理可得[(Ab)^2+(Ab)^2]?X^2=(ab)^2

┅X=±ab/√[(Ab)^2+(aB)^2]

从而Y=-{±abB/A√[(Ab)^2+(aB)^2]

记弦为PQ,则P(ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],-abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})

Q(-ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})

于是|PQ|^2=(2ab)^2/[(Ab)^2+(aB)^2]+(2abB)^2/abB/{A^2[(Ab)^2+(aB)^2]}

┅弦长|PQ|=(2ab/A)√{[A^2+B^2]/[(Ab)^2+(aB)^2]}

注意:这是对于以原点为中心,长轴在横轴上的椭圆被直线截得的弦长公式,其中a,b分别为椭圆的半长轴和半短轴,A,B分别为直线在X轴上和Y轴上的截距.(其它情况,自行同样推导)