高三数学集体备课记录《函数与方程》

高三数学（理）集体备课记录

实施教学过程

一、考点知识自主梳理

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

(x0)，(x0) (x0)无交点

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )

(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )

(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )

二、考点突破与题型探究

题型一函数零点的确定

命题点1函数零点所在的区间

例1 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)

D ．(3,4) 命题点2 函数零点个数的判断

例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是 ．

(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )

A ．多于4

B ．4

C ．3

D ．2

命题点3 求函数的零点

例3 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2

－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )

A ．{1,3}

B ．{－3，－1,1,3}

C ．{2－7，1,3}

D ．{－2－7，1,3} 思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数． 题型二 函数零点的应用

例4 若关于x 的方程22x ＋2x

a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．

思维升华 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决，解的个数可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数． 题型三 二次函数的零点问题

例5 已知f (x )＝x 2＋(a 2

－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．

思维升华 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 三、课时小结

易错警示

忽视定义域导致零点个数错误

典例 定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 016x ＋log 2 016x ，则在R 上函数f (x )的零点个数为 3 ．

易错分析 得出当x >0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R 上的奇函数，导致漏掉x <0时和x ＝0时的情况．

温馨提醒

(1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定．(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视．

方法与技巧

1．函数零点的判定常用的方法有

(1)零点存在性定理；

(2)数形结合：函数y＝f(x)－g(x)的零点，就是y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标．

(3)解方程．

2．二次函数零点可利用求根公式、判别式、根与系数关系或结合函数图象列不等式(组)．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法.

失误与防范

1．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．

2．判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确．

四、课后作业

《练出高分》 P281