曲线积分计算方法

第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
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思考题
1) 二重积分是哪一类积分?
第二类: 下始上终
练习题: P244 题 3 (1), (3), (6)
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解答提示: P244 3 (1)
计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2 r2 d a d
原式 = L ax ds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r
t
O
ax
d s x2 y2 d t
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
这说明积分与路径无关, 故
y C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B O A x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
a
x2
d
x
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解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I
(x2 y)d x (y2 x)d y
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P244 3(3). 计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示:
其中L为摆线
原式 a2
2π
t sin td t
0
a2
t
cos
t
sin
t
2π 0
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P244 3(6). 计算
其中 由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
I
2 3
(4x
2
y
3z)dS
2D (x y 6) dxdy 12 D dxdy
24
y
1
D O 1x
D 的形心
x y0
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二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
LBA
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
y
C L
D
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
3
B O Ax
(利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 L (x2 3 y) d x ( y2 x) d y
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
(x2 y) d x (y2 x)dy y2 dx
L
L
L : x a cost, y a sin t, t : 0 π
I π a3 sin3 t d t 2 a3 2a3 2 1 2a3
0
3
3
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例3. 设在上半平面 D {(x, y) y 0}内函数 f (x, y) 具有
例4. 设L 是平面
与柱面
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算
的交线
解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式 z
1
1
1
3
3
3
I
x
y
z
dS
L
y2 z2 2z2 x2 3x2 y2
2 3
(4
x
2
y
3z)
dS
DO y x
公式 目录 上页 下页 返回 结束
连续偏导数, 且对任意 t > 0 都有
证明
对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有
(2006考研)
证:把
两边对t求导, 得:
则有
因此结论成立.
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练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11. 3(5). 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
提示: P ex sin y 2y, Q ex cos y 2
OC
A
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
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方法2 利用 斯托克斯公式
设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3
x
y
yz
1 3
(3) d S
1
3
z
dS
x
3 2
z
Bn
OC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
公式 目录 上页 下页 返回 结束
提示: 因在 上有
故
z
原式 =
O 1y x
2
1 2
π 2
3 4
1 2
π 2
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2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
I2
(x2 y y 2 )d x (y2 x)d y
L
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思考题解答:
y
(1) I1
(x2 3 y)d x (y2 x)d y
L
L AB AB
C L
D
B O Ax
2 d x d y 2 a3 a2 (2 a π )
D
3
3
(2)I2 L (x2 y y 2 ) d x ( y2 x) d y
P ex cos y 2, Q ex cos y
y
x
用格林公式:
I
LAB AB
D 2d x d y 0
πa2
y L
D
OA a B x
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P245 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
证明在此力场中
场力所作的功与所取的路径无关.
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
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例1. 计算
其中 为曲线 z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知
I 2 (x2 y2 z2) ds 3 4 πa3 3
y
O
x
( 的重心在原点)
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例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心、a 为半径的上半圆周.
提示: F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为
令
P
k
x
3
,
Q
k
y
3
易证
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P245 11. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB