第九章 循环码

16
9.2.3 编码电路
系统循环码的编码方法是： 首先将信息 元多项式m(x)乘以 xn-k成为xn-km(x)； 然后将xn-km(x)除以生成 多项式g(x)得到余式r(x)，该 余式就是校验元多项式，从 而可得码字多项式c(x)＝xnkm(x)＋r(x)。
17
用电路实现编码时可采用以g(x)为除式的除法电路。作为实 例，图9.4示出了生成多项式g(x)＝x3＋x2＋1的（7，4）循环码的 编码电路。
第九章 循环码
1
第九章 循环码
内容提要： 内容提要：
循环码是线性分组码中一个重要的子类。 循环码是线性分组码中一个重要的子类。 本章首先提出了循环码的定义以及循环码的多 项式描述方法， 项式描述方法，论述了循环码构成的有关重要 定理； 定理；接着讨论了循环码的编译码方法及其实 现电路， 现电路，最后介绍了已获得广泛应用的循环汉 明码、 码等。 明码、BCH码等。 码等
13
(9－6)
9.2.2 除法电路
设GF(2)上的两个多项式 a(x)＝akxk＋ak-1xk-1＋…＋a1x＋a0 b(x)＝brxr＋br-1xr-1＋…＋b1x＋b0 a(x)是被除式，b(x)是除式。用图9.2所示的电路完成a(x)除以b(x) 的运算 。
图9.2 除法电路的一般形式
14
【例9.2】设被除式a(x)＝x4＋x＋1，除式b(x)＝x3＋x2＋1，完成二 例 个多项式相除的运算。 长除法：
20
9.3.1 伴随式计算
对于（n，k）循环码，可以定义码的生成多项式g(x)除以接 收码字多项式y(x)的余式为伴随式多项式s(x)，写成 s(x)＝y(x) mod g(x) (9－8) 由于 y(x)＝c(x)＋e(x) 而 c(x) mod g(x)＝0 于是 s(x)＝e(x) mod g(x) (9－9) s(x)伴随式计算电路的一个重要性质： 定理9.5 设s(x)是接收码字多项式r(x)的伴随式，则y(x)的一 定理 次循环移位xy(x)（mod xn－1）的伴随式s(1)(x)，是s(x)在伴随式 计算电路中无输入时，右移一位的结果（称为自发运算）： s(1)(x)＝xs(x) mod g(x) (9－11)
定理9.3 （n，k）循环码的生成多项式g(x)一定是xn－1 定理 的因式：xn－1＝g(x)h(x)。反之，若g(x)为n－k次，且除尽 xn－1，则此g(x)一定生成一个（n，k）循环码。
9
定理9.4 若g(x)是（n，k）循环码的生成多项式，由xn－1＝ 定理 g(x)h(x)，h(x)是k次多项式，称为校验多项式 校验多项式。令 校验多项式 h(x)＝hkxk＋hk-1xk-1＋…＋h1x＋h0 则 0 h0 h1 L hk 0 L 0 h h L h 0 L 0 0 1 k H = M (9－5) 0 h0 h1 L hk 0 L 为（n－k）×n阶矩阵，称为码的校验矩阵 校验矩阵。 校验矩阵
8
(9－2)
以及 c(i) (x)＝xic (x) （i＝1,2,…,n－1）,
9.1.3 循环码的生成多项式
定义9.2 若一个循环码 定义 的所有码字多项式都是一个 次数最低的非零首一多项式 g(x)的倍式，则称g(x)生成该 循环码，并称g(x)为该码的 生成元或生成多项式。 定理9.2 GF(2)上的（n， 定理 k）循环码中，存在有唯一 的 n－k 次 首 一 多 项 式 g(x)＝xn-k ＋gn-k-1xn-k-1 ＋ … ＋ g1x＋g0 使 得 每 一 个 码 多 项 式 c(x) 都是g(x)的倍式，且每一低 于或等于n－1次的g(x)倍式， 一定是码多项式。
图9.4 以g(x)＝x3＋x2＋1的（7，4）循环码编码器
18
9.3 循环码的译码
当码字c通过噪声信道传送时，会受到干扰而产生错误。如信道 产生的错误图样是e，译码器收到的n重接收矢量是y，则表示为 y＝c＋e 上式也可写成多项式形式： y(x)＝c(x)＋e(x) (9－7)
ˆ 译码器的任务就是如何从y(x) 中找到错误图样多项式 e x ， ˆ ˆ 然后得到估计码字多项式 c( x ) = y ( x ) + e( x ) ，进而得到信息 ˆ 组m x 。
循环码译码器的缺点无法对接收到的码字实现连续的译码 通用译码器，其结构如图9.7， 输出。改进的译码器称作Meggit通用译码器 通用译码器 可实现连续的译码输出。 图9.7 Meggit通用译码器
23
若（7，3）循环码译码器按错误图样（1 0 0 0 0 0 0）设计， 于是 s(x)＝e(x) mod g(x)＝x6 mod (x4＋x3＋x2＋1)＝x3＋x2＋x， 即s＝（1 1 1 0） 其译码器电路示于图9.6。
图9.6 （7，3）循环码译码器
24
9.3.3 Meggit译码器 译码器
9.3.2 循环码的译码
把某一可纠正的错误图样e(x)及其所有的小于等于n－1次的 循环移位归成一类，用一个错误图样来代表。译码时只要计算这 个错误图样的伴Fra Baidu bibliotek式，该类中其它错误图样的伴随式都可由该伴 随式在g(x)除法电路中循环移位来得到。 以（7，3）循环码为例： 当码字传送出现一个错误时，若用一般译码器需要识别如 （0 0 0 0 0 0 1），（0 0 0 0 0 1 0），（0 0 0 0 1 0 0），（0 0 0 1 0 0 0），（0 0 1 0 0 0 0），（0 1 0 0 0 0 0），（1 0 0 0 0 0 0） 等7个不同的错误图样，但对于按上述定理设计的循环码译码器 来说，可以把这些错误图样归成一类，译码器只要识别其中的 一个错误图样就可以了。
11
9.2 循环码的编码 9.2.1 利用生成多项式 利用生成多项式g(x)实现编码 实现编码
若已知 g(x)＝gn-kxn-k＋gn-k-1xn-k-1＋…＋g1x＋g0
并设信息元多项式 m(x)＝mk-1xk-1＋mk-2xk-2＋…＋m1x＋m0 要编码成系统循环码形式，须用xn-k 乘以m(x)，再加上校 验元多项式r(x)，这样得到的码字多项式c(x)为： c(x)＝xn-k m(x)＋r(x) ＝mk-1xn-1＋mk-2xn-2＋…＋m0xn-k＋rn-k-1xn-k-1＋…＋r1x＋r0 其中 r(x)＝rn-k-1xn-k-1＋…＋r1x＋r0
x3 + x 2 + 1 x 4 x 4 + x3 x3 x3 + x 2 x2
x +1 + x +1 +1 +1
+x
多项式的系数运算
1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0
15
实现以上除法运算的除法电路如图9.3所示
图9.3 以b(x)＝x3＋x2＋1为除式的除法电路
4
c1 : c2 : c3 : c4 : c5 : c6 : c7 : c 15 :
0001011 0010110 0101100 1011000 第一循环 0110001 1100010 1000101
0000000
c8 : c9 : c10 : c11 : c12 : c13 : c14 : c16 :
7
比较c(x)和c (1) (x)后可得 c (1) (x)＝x c (x), mod xn－1 mod xn－1 (9－3) 定理9.1 在以多项式xn－1为模的剩余类全体所构成的n维线 定理 V V 性空间Vn中，其一个子空间Vn,k是一个循环子空间（循环码） 的充要条件是：Vn,k是一个理想。 一个（n，k）循环码的码字多项式都是模xn－1运算 下多项式剩余类环中的一个理想，而且一定是一个主理想 子环。反之，多项式剩余类环的一个主理想子环也一定生 成一个循环码。
12
c(x)一定是g(x)的倍式，即有 c(x)＝xn-km(x)＋r(x)＝q(x)g(x) 或 c(x)＝xn-km(x)＋r(x)＝0， mod g(x)
注意到g(x)为n－k次多项式，而r(x)至多为n－k－1次多项式，必 有 r(x)＝xn-km(x)， mod g(x) 即r(x)必是x n-k m(x)除以g(x)的余式。 (9－6)式指出了系统循环码的编码方法： 首先将信息元多 项式m(x)乘以xn-k成为 xn-km(x)； 然后将xn-km(x)除以生成多项式 g(x)得到余式r(x)，该余式就是校验元 多项式，从而得到码字多项式 c(x)＝xn-km(x)＋r(x)。
2
本章重点： 本章重点： 1.循环码的基本概念； 循环码的基本概念； 循环码的基本概念 2. 循环码的编码和译码方法； 循环码的编码和译码方法； 3. BCH码。 码
3
9.1 循环码的一般概念 9.1.1 循环码的定义
将任一码字中的7个码元排在一个圆周上，则从圆周 的任一码元开始，按顺时针方向移动一周，都将构成该码 的一个码字。这就是循环码的由来。（见图9.1）
10
综上所述，有如下结论： ①（n，k）循环码的生成多项式g(x)是一个次数最低的唯 一的首一多项式，其次数r＝n－k正好是码字中校验元的数 目； ② 生成多项式g(x)是xn－1的因式。要构造一个（n，k）循环码， 就是要在xn－1的因式中找一个n－k次的首一多项式g(x)，它的 所有次数低于或等于n-1的倍式就构成一个（n，k）循环码。反 之，循环码的每一个码字多项式必是g(x)的倍式； ③ 由xn－1＝g(x)h(x)，h(x)称为校验多项式。对于任意一个 （n，k）循环码，必有 g(x)h(x)＝0 mod xn－1 及 G·H T＝ 0 循环码是线性分组码的一个子类。因此，所有线性分组 码的性质均适用于循环码。
0011101 0111010 1110100 1101001 第二循环 1010011 0100111 1001110
1111111
5
图9.1 （7，4）汉明码的码字循环图
定义9.1 一个线性分组码，若具有下列特性，则称其为 定义 循环码。设码字 循环码 c＝（cn-1，cn-2，…，c1，c0） 若将码元循环左移一位，得 c (1)＝（cn-2，…，c1，c0，cn-1） c (1)也是一个码字。
21
【例9.3】以g(x)＝x4＋x3＋x2＋1为生成多项式的（7，3）循环码 例 （示于表9.1），能纠正一个错误。 设传送出现一个错，错误图样e＝（0 0 0 1 0 0 0），即e(x)＝x3， 其伴随式 s(x)＝e(x) mod g(x)＝x3 mod (x4＋x3＋x2＋1)＝x3， 即s ＝ （1 0 0 0） 现设错误图样e1＝（0 0 1 0 0 0 0）,即e(1)(x)＝xe(x)＝x4，相应的 伴随式s(1)(x)＝x4 mod (x4＋x3＋x2＋1)＝x3＋x2＋1,即 s1＝（1 1 0 1） s1是s在图9.5所示的g(x)＝x4＋x3＋x2＋1除法电路中无输入时，右移 一位的结果，也即自发运算的结果。 图9.5 （7，3）循环码的伴随式计算电路
( )
( )
19
循环码的译码可按以下三个步骤进行：
（１）由接收到的y(x)计算伴随式多项式s(x)；
ˆ （２）根据伴随式s(x)找出对应的估值错误图样 e( x) ；
ˆ ˆ ˆ ˆ （３）计算 c( x ) = y ( x ) + e( x ) ，得到估值码字c( x) 。若c ( x ) = c ( x ) ˆ ，则译码正确，否则，若 c( x) ≠ c( x) ，则译码错误。
6
9.1.2 循环码的多项式描述
设c＝（cn-1 cn-2 … c1 c0）是（n，k）循环码的一个码字， 则与其对应的多项式 c (x)＝cn-1xn-1＋cn-2xn-2＋…＋c1x＋c0 (9－1) 称为码字c的码字多项式 码字多项式（或码多项式）。 码字多项式 如果c＝（cn-1 cn-2 … c1 c0）是（n，k）循环码的一个码字， 则c (1)＝（cn-2 …c1 c0 cn-1）也是该循环码的一个码字。这就是 说 c (x)＝cn-1xn-1＋cn-2xn-2＋…＋c1x＋c0 和 c (1) (x)＝cn-2xn-1＋…＋c1x2＋c0x＋cn-1 都是（n，k）循环码的码字多项式。