两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教师版)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【最新考纲】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能利用两角和(差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β

．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan 2α＝

2tan α

1－tanα

．

3．有关公式的变形和逆用(1)公式T(α＋β)的变形：

①tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C 2α的变形： ①sin 2

α＝1

2

(1－cos_2α)；

②cos 2α＝1

2(1＋cos_2α)．

(3)公式的逆用

①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；

②sin α±cos α＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫

α±π4.

4．辅助角公式

ɑsin α＋bcos α＝ɑ2＋b 2sin (α＋φ)(其中tan φ＝b

a

)．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和cos Acos B 大小不确定．( ) (3)公式tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β

＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )

(4)公式ɑsin x ＋bcos x ＝ɑ2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( )

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×

2．(2015·课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )

A ．－

32 B.32 C ．－12 D.1

2

解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1

2

.

答案：D

3．(经典再现)已知sin 2α＝23，则cos 2

(α＋π4)＝( )

A.16

B.13

C.12

D.2

3

解析：∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝

1＋cos ⎝

⎛⎭⎪

⎫

2α＋π22

＝1－sin 2α2＝1－

2

32＝16

.

答案：A

4．(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan (α＋β)＝1

2，则tan β＝( )

A.17

B.16

C.57

D.5

6

解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）·tan α

＝12－1

31＋12×

13＝17.

答案：A

5．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________．

解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan (α＋β)＝ 3.

又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π

3.

答案：π

3

一点注意

三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．

两个技巧

1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β

＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫α2＋β.

2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等． 三种变化

1．变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．

2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．

3．变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．

一、选择题

1．若sin α2＝3

3，则cos α＝( )

A ．－23

B ．－13 C.13 D.2

3

解析：cos α＝1－2sin 2

α

2＝1－2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫332＝13.

答案：C

2.3－sin 70°

2－cos 210°

＝( ) A.12 B.22 C ．2 D.32 解析：原式＝3－sin 70°

12（3－cos 20°）＝2（3－sin 70°）3－sin 70°＝2.

答案：C

3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－α＝( ) A.118 B.1718 C.89 D.2

9 解析：由sin α＋cos α＝13

得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－8

9

，

所以sin 2⎝

⎛⎭

⎪⎫

π

4－α＝

1－cos ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

π2－2α2

＝1－sin 2α2＝17

18

. 答案：B