数值分析第二章学习小结

第二章学习小结

本章为线性方程组的解法，求解线性方程组的方法可以分为两大类：直接方法和迭代方法（简称迭代法）。本章前几节讨论直接法，迭代法只在最后一章进行讨论。直接方法的特点是，运用此方法求解线性方程组时，如果计算过程没有舍入误差，那么经过有限次运算就能求出方程组的精确解。

本章主要有四节内容1.Gauss消去法2.直接三角分解法3.矩阵的条件数与病态线性方程组4.迭代法

1.Gauss消去法：Gauss消去法由消元和回代两个过程。消元过程就是对方程组的增广矩阵进行有限次的初等行变换，使它的系数矩阵部分变换为上三角矩阵。主要可分为顺序Gauss消去法和列主元素Gauss消去法两种。顺序Gauss消去法计算出的解相对于精确解会有很大的误差。因此顺序Gauss消去法的数值稳定性是没有保证的。当A可逆时，Ax=b有唯一解，但顺序高斯消去法不一定能够进行到底。列主元高斯消去法是避免把接近于0的数做分母，把绝对值最大的元素交换到第K行的主对角线位置上，此方法只需系数矩阵A非奇异，而且对一般线性方程组，此方法具有良好的数值稳定性，能够进行到底，而且和顺序消去法具有相同的计算量。

2.直接三角分解法：这一节中主要讲解了前两小节2.2.1Doolittle 分解法和Crout分解法、2.2.2选主元的Doolittle分解法。如果方程组的系数矩阵A能分解成A=LU，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。方程组就可化为两个容易求解的三角形方程组Ly=b，Ux=y。

先求Ly=b 解出向量y ，再由Ux=y 解出向量x,这就是原方程组的解向量。列主元的Doolittle 分解法是使初等置换阵Q ，使QA 可做Doolittle 分解，QA=LU 其中L 是单位下三角矩阵，U 是上三角矩阵。只要矩阵A 非奇异，则通过对A 做适当的行变换就可进行Doolittle 分解，而不必要求A 的前n-1个顺序主子式都不为0. 缺点是条件苛刻，且不具有数值稳定性。选主元的Doolittle 分解法特别适用于在同一个计算问题中须要求解多个具有相同系数矩阵A 而具有不同右端向量的线性方程组，第K 步先计算中间量，分解的本质是QA=LU 。

3.矩阵的条件数与病态线性方程组：对非奇异矩阵A ，称量1A A -

为矩阵A 的条件数，记作1cond =A A - （A ）

1cond =A A - （A ）矩阵 A 的条件数刻画了线性方程组Ax=b 的一种性态。A 的条件数越大，方程组Ax=b 的病态程度越严重，对于严重病态的线性方程组，当A 和b 有微小变化时，即使求解过程是精确进行的，所得的解相对原方程组的解也会有很大的相对误差。因此要掌握对病态方程组的求解方法

（1）采用高精度的算术运算（2）平衡法（3）残差矫正法。

4.迭代法：迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量，即使计算过程是精确进行的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，只能逐步逼近。迭代法常用于求解大型稀疏线性方程组。要求掌握迭代收敛的充分必要条件、Jacboi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、逐次超松弛迭代法，能够判断迭代格式的收敛性。

心得：这一章是非常重要的，需要熟练掌握线性方程组的解法：盖斯

消去法、直接三角分解法、迭代法，判断方程组的性态良性的或者病态的，病态方程组的矫正问题。而且这一章中程序的求解问题也比较多，应参考任玉杰的那本书对程序的应用求解问题多多练习，如果有可能自己也可以编一个更简单的程序，需要花费一定的时间去练习，熟练掌握MATLAB的操作。