专题学习-乘法公式

专题学习：乘法公式（练习加强版）

〖平方差公式〗 22))((b a b a b a -=-+

公式描述：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差

公式特点：公式的一边是两个多项式相乘，其中有两项是相同的，有两项是相反的；另一边就等于相同项的平

方减去相反项的平方。

特点利用：利用上述特点，首先可以判断一个式子可否用平方差公式计算，如果可以，就找出相同项与相反项，

再平方后相减就可以了。例：

))((b a b a ---，观察可知b 是相同项，a 是相反项（不用管符号）

，所以就等于2

2a b -。 〖完全平方公式〗 2222)(b ab a b a +±=±

公式描述：两数和（或差）的平方等于这两个数的平方和再加上（或减去）它们的积的两倍。

公式特点：① 公式的一边是一个和或差的平方，另一边就先将这两项平方相加（总是平方相加，不会出现差的

形式），再加或减这两项积的2倍；

② 如果完全平方公式底数中的两项同号，就用只含加号的公式；异号则用含减号的公式。即：

22)()(b a b a --=+，222)()()(a b b a b a -=+-=-

【知识点一】直接套用公式进行运算

〖例〗=-+)2)(2(b a b a 22224)2(b a b a -=-

2

22224129)2(232)3()23(y xy x y y x x y x +-=+⋅⋅-=- 〖练习〗⒈ 根据乘法公式直接写出答案：

① 2)12(-a ② )23)(23(x x +-＝ ③ 2

)3(n m -＝

④ )32)(32(b a b a --+-＝ ⑤ )2)(2(2

2+-x x ＝

⑥ 2)32(y x --＝ ⑦ 2)23(b a +-＝

⑧ )1)(1)(1)(1(24-+++x x x x ＝ ⑨ )1()1)(1)(1)(1)(1(64842+⋅⋅⋅++++-x x x x x x ＝ ⒉ 利用乘法公式进行因式分解：

① 229y x -＝ ② 22254y x -＝ ③ 12

2-y x ＝

④ 22)(c b a -+＝ ⑤ 14

-x ＝

⑥ 2244y xy x +-＝ ⑦ 2

)()(816y x y x -+--＝

⑧ 25)(20)(42++-+b a b a ＝ ⑨ 2

2)(9)(4b a b a --+＝

【知识点二】辨别两个多项式相乘要选用哪一种乘法公式

〖要点〗① 两个多项式相乘，如果既有相同项又有相反项，那么一定是用平方差公式；如果全是相同项或全是相

反项，那么就要用完全平方公式。 ② 如果两个多项式互为相反数，就等于其中一个多项式的平方的相反数。例：2

)())((b a b a b a +-=--+

〖练习〗① )32)(32(n m n m -+-＝ ＝

②)5)(5(33m n n m -+＝ ③)1)(1(---xy xy ＝ ④)2.02)(22.0(x y y x -+＝

【知识点三】了解乘法公式的几何意义 〖平方差公式的几何意义〗

如图1，在边长为a 的正方形中截去一个边长为b 的正方形， 再通过割补法拼成如图2形状；分别用代数式表示两图面积为： 图1：2

2

b a - 图2：))((b a b a -+ 两个图形面积相等，则有平方差公式。 〖完全平方公式的几何意义〗

图1

图2

图3中，用两种方式表示大正方形的面积： ① 等于边长的平方：2

)(b a +

② 等于图中4个小图形的面积和：ab b a 22

2

++

所以有第一个完全平方公式；

试根据图4说明第二个完全平方公式：

〖练习〗①如图5，将边长为a 的正方形截去一个边长 为b 的正方形，沿虚线剪开，再如图6拼成一个梯形， 根据这两个图形的面积关系可证得 公式。

② 如图7是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿虚线 剪开，拼成如图8所示的正方形；则可以用两种方法 表示图8中的阴影部分面积：

⑴ ⑵ 由此可得公式：

（参知识点五）

【知识点四】了解完全平方式，掌握配方法

〖要点〗① 诸如2

2

2b ab a +±的代数式称为完全平方式，它可以写成2

)(b a ±； ② 要了解完全平方式的特点，

它有两个平方项，还有一项是两个平方项的底数的乘积的2倍； ③ 给出完全平方式的任意两项，要能根据其特点推出第三个项。

〖例1〗xy x 1292-+ ＝(x 3－ )2

方法说明：先将2

9x 项改写成2)3(x ，将xy 12项提出一个2和x 3写成⋅⋅)3(2x ，则此空上应是y 2，再将

其平方就是所求答案；所以第一空填2

4y ，第二空填y 2。 〖例2〗 2294y mxy x ++是完全平方式，则m ＝

方法说明：先将两个平方项的底数写出：2

2

)2(4x x =，2

2

)3(9y y =，则中间项为±y x 322⋅⋅＝±xy 12 所以m ＝±12.注意，中间项都要考虑±两种情况，只在一种情况下只有一种符号，如： 若2

2

94y mxy x ++＝2

)32(y x -，则m ＝－12

〖练习〗① +-x x 442 =( － )2 ② 2x + +29y =(x + )2

③ 92

+-mx x 是完全平方式，则m 的值为 ；④ --=--22)1(12a a a ；

⑤ =++101242a a (2a + )2+ ； ⑥ 若6)2(2=-x ，则=+-742

x x ；

⑦ 利用配方法分解因式：562++x x ＝++x x 62

－ ＝（x + )2－

＝ ＝

⑧ 已知054222=++-+y x y x ，求2013)(y x +的值。（提示：配成两个平方式的和）

⑨ 求代数式1002452

2

++-+b ab b a 的最小值。（提示：配成两个平方式的和加一个常数）

⑩ 添加一个单项式，使12+x 成为一个完全平方式。（提示：答案不止一个，请尽量找完全）

图3

图4

图5

图6

图7

图8