第1章三角函数章末归纳总结

第一章 章末归纳总结
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[规律总结] 变．
本题主要考查了函数的图像及三角函数的性
质，解决此类问题要掌握相应的数学思想方法，以不变应万
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π 若 0<x<2，则下列命题中正确的是( 3 A．sinx<πx 4 2 C．sinx<π2x 3 B．sinx>πx 4 2 D．sinx>π2x
[答案] C
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[规范解答] fx>0， ∴cosx<0， 0<x<3，
∵f(x)· cosx<0， fx<0， 或cosx>0， 0<x<3.
由图可知，当 f(x)>0 时，1<x<3；当 f(x)<0 时，0<x<1. 1<x<3， ∴ π 3π 2kπ＋2<x<2kπ＋ 2 k∈Z， 0<x<1， 或 π π 2kπ－2<x<2kπ＋2k∈Z. π ∴2<x<3 或 0<x<1，故选 C.
[思路分析] 本题主要考查同角三角函数的基本关系式． [答案] B
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[规范解答]
∵cos(－80° )＝k，∴cos80° ＝k，
2 1 － k ∴sin80° ＝ 1－k2，∴tan80° ＝ k ，
1－k2 ∴tan100° ＝－tan80° ＝－ k .
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函数的值域与最值
π 3 [例 4] 若3≤x≤4π， 求函数 y＝sin2x＋sinx＋1 的最大值和 最小值．
[规范解答] 知
sinx∈
π 3 令 t＝sinx，由3≤x≤4π，
2 2 ，即 t ∈ ， 1 ， 1 2 . 2
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知识梳理
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本章主要学习了周期现象，角的概念的推广，弧度制，正
弦函数、余弦函数的定义、性质、图像与诱导公式，正切函 数，y＝Asin(ωx＋φ)的图像以及三角函数的简单应用． 1 ．在我们的日常生活、生产实践中存在着大量周期性变 化的现象，这些周期现象的规律是：若一变量每经过相同的间
2 2
必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数 的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，应能 灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值 时，要注意根式前面的符号的确定．
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(3)诱导公式： π k· α(k∈Z)的各三角函数值，当 k 为偶数时，得到 α 的同 2± 名三角函数值，当 k 为奇数时，得到 α 的异名三角函数值，然 后前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号． 简单概括为： “奇变偶不变，符号看象限”．
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4 π π 若 sinα＝－5，且 α∈(－2，2)，则 tanα＝__________. 4 [答案] －3
[分析] 本题考查同角三角函数的基本关系式．
4 π π [解析] ∵sinα＝－5且 α∈(2，2)， 故 α 为第四象限角，所以 cos>0， 3 4 ∴cosα＝5，∴tanα＝－3.
)
[答案] D
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π π [解析] 用特殊值法，取 x＝3可排除 B、C；取 x＝6可排 除 A.故选 D.
[点评]
此类问题是近几年高考考查的热点，解题时要注
意根据问题的题设灵活运用相应的方法．
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1
知 识 结 构
2
知 识 梳 理
3
专 题 探 究
4
即 时 巩 固
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知识结构
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[规律总结]
通过换元，把原函数转化为二次函数类型，
再结合二次函数的图像即可求得最值，这是一类常见题型．换 元后确定 t 的取值范围是解决此类问题的关键所在． 三角函数的值域常常利用函数有界性：|sinx|≤1，|cosx|≤1 和二次函数配方法求解．
当sinx＝1时，ymax＝2，
∴函数的值域为[－6,2]．
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(2)y＝－sin2x－sinx＋1， π π 令 t＝sinx，∵x∈－4，4，
∴t∈ －
2 2 ， ， 2 2
求三角函数解析式 [例5] 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像
如图所示，试确定该函数的解析式．
[思路分析]
可根据最高点、最低点确定 A，由于 P，M，
Q，S，N 这“五点”的相位是相对固定的，即相邻两点之间的 π 相位相差2，可由 M，N 两点的相位，求出 ω 和 φ.
隔，另一变量就重复出现相同的数值，则说变量 y 是周期性变
化的． 2 ．角的概念的扩展中，学习了有关的正角、负角和零 角，终边相同的角及表示方法，象限角及表示方法，用集合、 图形表示角．
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3 ．在弧度制中，定义了一弧度的角及弧度与角度的换算
关系以及扇形的弧长公式和面积公式． 4 ．通过单位圆定义了正弦线、余弦线和正切线，使我们 明确了三角函数可以用一个实数的比值表示．给出了正弦、余 弦及正切函数的诱导公式，为研究三角函数的求值、化简、证
明等提供了方便．
5 ．通过研究正弦、余弦函数和正切函数，使我们对三角 函数有了更深刻的认识，通过研究三角函数的性质(定义域、值 域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值)，大大提升了解 题能力．
23 11 23 11 (2) 6 π＝2π＋ 6 π，∴ 6 π 与 6 π 的终边相同． 11 11 而 6 π＝ 6 ×180° ＝330° ，是第四象限角， 23 故 6 π 是第四象限角． 3π (3)－4＝－2π＋(2π－4)，且－ 2 <－4<－π， π ∴2<2π－4<π，∴－4 为第二象限角.
[规范解答] (1)∵－480°＝240°－2×360°，
∴ 与－ 480°角终边相同的角是 240°角，它是第三象限 角；
(2)∵660°＝300°＋360°，
∴与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限角；
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(3)－950°8′＝129°52′－3×360°， ∴与－950°8′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象 限角． [规律总结] 正的角度除以360°，按通常除法进行；负的
角度除以 360°，商是负数，负数的绝对值应比被除数为其相
反数时相应的商大1，以使余数为正值．
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三角函数与不等式
[例 3] 已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数， f(x)的图像如图所 示，那么不等式 f(x)· cosx<0 的解集是( A．{x|0<x<1 或 2<x<3} π π B．{x|1<x<2或2<x<3} π C．{x|0<x<1 或2<x<3} D．{x|0<x<1 或 1<x<3} )
2
∴原函数化为 y＝－t
12 5 －t＋1＝－t＋2 ＋4，
1 5 ∴当 t＝－2时，有 ymax＝4. 1－ 2 2 当 t＝ 2 时，有 ymin＝ 2 ，
1－ ∴函数的值域为 2
2
5 ，4.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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三角函数
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原函数等价于 y＝t
2
12 3 ＋t＋1＝t＋2 ＋4.
结合二次函数的图像可知， 2＋3 2 3 当 t＝ 2 ，即 x＝4π 时，ymin＝ 2 ， π 当 t＝1，即 x＝2时，ymax＝3.
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求下列函数的值域． (1)y＝－sin2x＋4sinx－1； (2)y＝－sin
2
π π x＋1－sinx，x∈－4，4.
[解析] (1)y＝－sin2x＋4sinx－1 ＝－(sinx－2)2＋3. ∵－1≤sinx≤1， ∴当sinx＝－1时，ymin＝－6；
把下列各角化成 2kπ＋α(0≤α≤2π 且 k∈Z)的形式， 并指出 23 是第几象限角：(1)－1500° ；(2) 6 π；(3)－4.
5 [解析] (1)－1500° ＝－1800° ＋300° ＝－10π＋3π， 5π ∴－1500° 与 3 终边相同，是第四象限角．
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6．研究函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)，学会了作 函数图像的五点法和平移伸缩变换法，加强了对函数图像和性 质的内在联系的理解和掌握，提高了解决复杂问题的能力． 7 ．通过学习三角函数的简单应用，增强了用三角函数解
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[规律总结]
(1)设 P(x，y)是角 α 终边上的任一点，它到坐
y x y 标原点的距离为 r，则 sinα＝r ，cosα＝ r，tanα＝x. (2)同角关系式： sinα sin α＋cos α＝1，cosα＝tanα.
决实际问题的能力．
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专题探究
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成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 ·0°间，找出与下列各角终边相同的角，
并判断它们是第几象限角． (1)－480°；(2)660°；(3)－950°8′.
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利用三角函数的定义、诱导公式及同角关系式 化简求值
[例 2] 记 cos(－80° )＝k，那么 tan100° ＝( 1－k2 A． k k C． 1－k2 1－k2 B．－ k k D．－ 1－k2 )