[数学]置换群

等于个
n! 2
. 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元
n
(恒等置换—零个对换) pe A n，另 偶1 A n ，故 A 构成 S 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 于任意的 p A A n， pS Sn有
n
1 pSpApS An
1 显然商群 S A 是二阶群, 它有两个一维表示 Z1 与Z2 1, 1, 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 S 群一定有两个不等价的一维表示, 1 ，即 Sn中的所有置换都对应于单 其中一个是 Z1 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 Z2 1, 1 , 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换
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人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件） ；譬如有 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群） ，大多数还在 等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
② . 一般地 , 每个循环的表达方法不唯一 , 例 如.
1 4 2 3 5 2 3 5 1 4 5 1 4 2 3
1 2 1 3 1 3 2 (1 3)(1 2) (1 2
3)
由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性 2019/1/29
p1, p2 , , pk
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代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 显然，两没有 公共数字的独立循环之间是相互对易的，如
1 4 2 3 6 2 3 6 1 4 4 1 3 6 2 1 4 2 3 6 ( 2 3 6) 1 4 3 6 2 4 1
p (1 2 3) (4 6) (5)
其配分为： 6=3+2+1 或简记为[3 2 1]. 由于相互共轭的元素具有相同的
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定理 每一个有限群都与置换群同构. 证明：设
G a1 , a2 ,...,an ， i H n S n ；令
: ai i ,
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对 中的每个数字分别施行置换
(615)(42)(3) 1
得：
与前面所得结果相同. 由上面的讨论可见， 与它的共轭元素 1 有 相同的循环结构. 反之，有相同的循环结构的元素 2019/1/29
一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 成一个共轭类，为了确定 Sn 群中共轭类的数目, 人 们引入了配分的概念: 约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这 样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n的配分， 如置换
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 (1 2 3)
1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 (1 2 3)
4 2 3 5 可写成循环置换的形式: 1
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注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以
发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. “8 元置换 1 4 2 3 5 ”
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式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行 置换. 如在上例中，我们有
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6 (132 )(45 )(6)
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3 (163 )(25 )(4)
群论理论
-----置换群
对称性在无机化学中的应用
1
分子的对称性与偶极矩
2
分子的对称性与旋光性
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1.分子的对称性与偶极矩
若分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶 极矩等于零，否则分子就有偶极矩，这种分子就是 极性分子。偶极矩不仅有大小，而且有方向，是一 个向量。
凡是具有对称中心或具有对称元素公共交点的 分子，偶极矩为零，分子无极性。 例如：H2O和NH3分子有偶极矩，为极性分子； CO2的永久偶极矩为零；
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(1)
§12.2置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结 果却简单明了，从应用的角度来考虑， 本章将主要介绍置换群的有关结论.
置换群 S 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解
n
介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：
1 2 n p p p p 1 2 n
对 的上下两行数字同时施行置换 得：

1
6 5 1 4 2 3 1 6 5 2 4 3 615 4 2 3
若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 的共轭 置换 1 , 先将 与 写成独立的循环之积的形
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结
果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
单循环往往省去不写，如(2)式可写成
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1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如
1 2 3 P 2 3 1 1 2 3
2 3 1 P 1 1 2 3 1 3 2
显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与 一个偶置换之积为奇置换. 记所有偶置换的全体为 A ，则 A 的数目正好
n n
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而一般情况下可以证明：
p1 p2 pk p1 pk p1 pk1 p1 pk2 p1 p2 (3 ) p1 p 2 p 2 p 3 p 3 p 4 pk 1 pk
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当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易 的，如
1 2 n 1 2 n
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这一结果表明，欲求置换 的共轭置换 1，只 需对置换 中的上下两行数字同时施行置换 , 例如
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3
却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 1 2 3 4 1 22 33 4 1 41 31 2 . 反之，若长度k为 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 1 2 3 1 22 3 1 31 2 . 任一置换 P 和它的逆 P -1 具 有相同的奇偶性. 如
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§
12.2置换群
一． 置换群的基本概念
定义 1
任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个 变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射） ， 那么这个变换为 A 的一个置换。有限集合 A 的若干 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .
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循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍 一种记法.设有 8
2 3 4 5 6 7 8 1 元置换 , 4 3 5 2 1 6 7 8
的变换过程为 1 4 2 3 5 1,即其他元素都不改 变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换
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§12.2置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结 果却简单明了，从应用的角度来考虑， 本章将主要介绍置换群的有关结论.
置换群 S 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解
n
介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：
1 2 n p p p p 1 2 n
n n
n
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都对应于－1.
2.
Sn
的共轭类
n
现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类. 设有两个置换 与 ，它们都是 S 的群元素， 其中
1 2 n 1 2 n
则 的共轭元素为：
1
1 2 n 1 2 n 1 2 n
H n 为一置换群。
则 : G H n 的一一映射，由凯莱定理直接可得结论。 以上定理表明，任何一个抽象群都可以找到一个具 体的群与它同构;而每一个同构的群，除了元素的差别外， 就其代数性质，即由代数运算而产生的性质来说，则是完 全一致的．特别的,每一个有限群都可以在置换群里找到例 子,用置换群作为有限群的例子是最合理的.
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CCl4分子永久偶极矩为零。
2.分子的对称性与旋光性
分子有无旋光性就看它是否能跟它的镜像重合。 如果二者能重合，则该分子没有旋光性；反之，分 子就有旋光性。
称不具备任意次旋转－反映轴Sn的分子为不对
称分子，所有不对称分子都具有旋光性。
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教学目的和要求: • 置换群是一种特殊的变换群。换句话说， • 置换群就是有限集上的变换群。由于是定 义在有限集上， • 故每个置换的表现形式，固有特点都是可 揣测的。
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(1)
其中 pi 是1－n中的某一数字. (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 积来表示，如
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6 5 ( 2)
其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 一般用记号
1 2 n
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n 1