置换群与对称群
置换群与对称群
Th 1 任一个n次置换 都可以分解为两两不相交的 循环的乘积，而且这种分解式除因子的次序不同外是 唯一的。 证明:先证明分解式的存在性：从{1,2, …,n}中 任选一个数作为i1 ，依次求出 (i1)=i2, (i2)=i3, … 直至这个序列中第一次出现重复，这个第一次出现 重复的数必然是i1 ，即存在ir ，使 (ir)= i1 ，于是得 到循环 1 = (i1i2… ir ) 。 然后再取 j1 (i1i2… ir )，重复以上步骤可得 2 = (j1j2… js )，并且由映射的定义知 1与 2无公 共元素。 如此下去，直至每一个元素都在某一个循环中， 因而得到的分解式 = 1 2 … k
再证明分解式中对换个数的奇偶性的唯一性： 证明的基本思想是用一对对换 =(a b)右乘，令 N( )表示分解式中所含对换的个数，则N( (a b))与 N( ) 有相反奇偶性，并注意到N()=0 （这里是恒等变 换）即可。 为了证明 N( (a b))与N( )有相反奇偶性，我们注 意有下述等式： (ac1c2…ch) (bd1d2 …dk) (a b) = (ac1…ch bd1…dk) (ac1…ch bd1…dk)(a b)= (ac1c2…ch) (bd1d2 …dk) 事实上，由于(a b) -1= (a b),从而第一个等式可由第 二个等式右乘(a b)得到。对于第二个等式，可以从它们 作用到1，2，…，n 的每一个数码上的像来验证。
2.6.置换群
6.2 置换的表示方法 行法 置换的表示方法:2-行法
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
பைடு நூலகம்
π:
ai → aki
i = 1, 2,...n !
这样一个置换所发生的作用完全可以 ( (2, 由 (1, k1 ) ， k2 ) ， …， n, kn ) 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
但 π1 只使得 r k < r 个元变动，照归纳法的假定，可 以写成不相连的循环置换的乘积： 在这些 η 里 i1 , i2 ,..., ik 不会出现.不然的话,
ηl = ( i p iq ) , p ≤ k
π 1 = η1η 2 η m
那么 i p 同 iq 不会再在其余的 η 中出现, π1 也必使 ai → ai 但我们知道, π1使得 ai p不动,这是一个矛盾.这样, π 是 不相连的循环置换的乘积: π = ( i1i2 ik )η1η2 ηm
6.1 置换群
定义1 一个有限集合的一个一一变 定义 换叫做一个置换 置换． 置换 一个有限集合的若干个置换作成的一 个群叫做一个置换群 置换群． 置换群
我们看一个有限集合 A ，A 有 n 个元 a1 , a2 ,...an ．由 Ⅱ，５， A 的全体置换作成一个群 G ．
第6节置换群
关于置换的运算
1.置换的乘积：
1 p1 2 p2 n p1 p2 , pn k1 k2
pn 1 2 k k kn 2 1
n n
n kn
1 2 2.单位（恒等）置换： 1 2
3.置换的逆：
（i1 i2 i3 ik )，（i2 i3 ik i1 )， ，或（ik i1 i2 ik 1 )
注：循环置换的表示一般也不是唯一的。 习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为
(1) (2) (3)
( n)
S3 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 例 三次对称群为：
1 5 3
5 1 4
S3 是有限非交换群.
而且，可以说 S3 是最小的有限非交换群.因为我们 后面会看到，阶数小于6的群都是交换的。
命题1
j1 设 1 (1) j1 j1 2 j1
jk jk (1) jk jk jk 1 jk 1(2)
S3 {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
注：并不是每个置换都是循环置换。
2 3 4 5 1 不是循环置换，但 4 5 2 1 3
2 3 4 5 1 3 4 5 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 (135)(24) 2 5 4 1 1 4 3 2 5 3
第5章置换群
第五章置换群
目的：
1．物理上的应用——比如n个全同粒子系统的对称性；
2．作U(n)和O(n)等李群的表示用到置换群。
一、整数的分割与杨图
1．轮换结构的分割描述
λ=λ1λ2⋯λn,
λ1=ν1+ν2+⋯+νn
λ2=ν2+⋯+νn
⋮
λn=νn
可见
λ1≥λ2≥⋯≥λn, λ1+λ2+⋯+λn=n,构成自然数n的一个分割。分割与S n群的共轭类有一一对应关系。
两个分割的排序：λ>λ′意味着按字典排序后者在前。2．杨图Young diagram
把分割画成方格，左对齐。
例S2
S3
S4
对称杨图
二、 杨表及其引理
1． 杨表
在杨图中填入1，2，…，n 标准杨表（杨盘、杨台）：左≤右，上≤下
2． 杨算符
✧ 行(row)置换
对同一行的数字的任意置换。对上图， R T
= 1 , 12 , 15 , 25 , 125 , 152 , 34 , 12 34 , 15 34 , 25 34 , 125 34 , 152 34 ,
P T ≝ p p∈R (T )
.
✧ 列(column)置换
对同一列的数字任意置换。 C T
= 1 , 13 , 16 , 36 , 136 , 163 , 24 , 13 24 , 16 24 , 36 24 , 136 24 , 163 24 ,
Q T ≝ δq q q∈C (T )
.
其中δq 表示q 的置换宇称。
✧ 杨算符
Y T ≝P T Q T = δq pq p∈R T q∈C (T )
3． 杨算符是未归一化的原始幂等元
于是由杨算符对应的投影算符，就可以求出S n 群的所有不等价不可约表示。 杨算符可是归一化为
群论中的置换群
群论是数学中的一个重要分支，研究集合上的一种代数结构——群。而在群论中，置换群是一类非常特殊并且重要的群。
什么是置换群？简单地说，置换群是由一组可交换的置换（即对集合元素进行全体排列的操作）所组成的群。在数学中，置换是指将集合中元素的位置进行改变，但不改变元素的本质属性。例如，对于集合{1, 2, 3, 4}，一个典型的置换可以是将元素1和2进行交换，元素3和4进行交换，即得到置换(12)(34)。
置换的符号表示法可以更加简洁地表示置换操作。在置换群中，常用的表示法是使用圆括号，例如(12)表示将元素1和2进行交换，而(12)(34)则表示先将元素1和2交换，再将元素3和4交换。另外，置换还可以表示为行列式的形式，称为矩阵表示法。
置换群的运算规则与普通群的运算规则相同，即满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元。对于任意两个置换，可以进行运算得到另一个置换。例如，对于置换群S4，如果有两个置换(12)和(34)，我们可以进行运算得到(12)(34) = (14)(23)。
置换群在数学和其他领域中有广泛应用。在数学中，置换群常常用于研究对称性和排列组合问题。在物理学中，置换群被广泛应用于对称性和粒子对称性的研究。在密码学中，置换群用于构造加密算法，保护信息的安全性。
置换群也有许多有趣的性质。例如，置换群中的每个置换都可以分解为若干个不相交的循环。循环是一种特殊的置换，它仅仅改变集合中的一部分元素的位置，保持其他元素不变。另外，置换群的阶（元素个数）可以通过求置换的最小公倍数来计算。
总之，置换群在群论中是一类非常重要的群。它通过对集合中的元素进行排列操作，研究群的结构和性质。置换群在数学、物理学、密码学等领域都有广泛应用，对于理解对称性和排列组合问题具有重要意义。通过对置换群的研究，我们可以深入了解群论的基本概念和方法，丰富数学的应用领域。
置换群
置换群 - 正文 由置换组成的群。n 元集合到它自身的一个一一映射，称为Ω上的一个置换或 n元置换。Ω上的置换σ可表为 或简记为,其中i1,i2,…,in是1，2，…,n的一个排列，α是 αk在置换σ下的像。有时也把α 在σ下的像记为ασ。根据映射的乘法可以定义Ω上任意两个置换σ与τ的乘积στ为。对于这样定义的运算，Ω上全体置换所组成的集合Sω成一个群，称为Ω上的对称群或n元对称群，简称对称群，其阶为 n!。对称群的子群称为Ω上的置换群或简称置换群。当Ω＝{1,2,…,n}时把Sω 记为Sn。较置换群更为一般的概念，有所谓的作用。[编辑本段]作用 G是一个群，Ω是一个非空集合。G中每个元素g都对应Ω的一个映射：x→xg，x∈Ω，若满足：①；②xe=x（e是G的单位元素），则称G作用于Ω上。G作用于Ω上的充分必要条件是，G同态于Ω上的一个置换群。 设G是Ω上的一个置换群，H是Γ上的一个置换群。如果存在Ω到Γ上的一个一一对应ρ，以及G到H上的一个一一对应φ,使得对Ω中任一个点α及G中任一个置换g都有,那么G与H 称为置换同构的。两个置换同构的置换群一定是同构的。但是同构的置换群不一定是置换同构的。 如果 Ω与Γ都是n元集合，那么Sω与Sг是置换同构的。因此，n元对称群都与Sn置换同构。 设σ是Ω上一个置换,若Ω中一些点α1,α2,…,αs使得 而σ保持Ω中其余的点不动，那么σ称为一个轮换，记作(α1,α2,…,αs)。若两个轮换没有公共的变动点，则称这两个轮换是不相交的。每一个置换都可表为不相交轮换的乘积，称为置换的轮换表示法，而且除表示式中轮换的次序以外，置换的轮换表示法是惟一的。[编辑本段]两个点的轮换称为对换 任一置换都可表为一些对换的乘积,表示法不是惟一的,但是表示式中对换个数的奇偶是惟一确定的。若σ可表成偶数个对换的乘积,则称σ为偶置换。若σ可表成奇数个对换的乘积,则称σ为奇置换。 Sω中全部偶置换组成Sω的一个正规子群，称为n元交错群,简称交错群,记作Aω。Sn的交错子群记作An。n元交错群都与An置换同构。当n≥2时,An的阶为n!/2。当n≠4时，An是单群，这是一类很重要的有限单群。 置换群是有限群的一类重要例子，有限群的研究是从置换群开始的。置换群的重要性还在于下述事实。[编辑本段]凯莱定理 任一有限群都与其元素的一个置换群同构。 区及轨道 设G是Ω上一个置换群,墹是Ω的一个子集，g是G中任一元素,用墹g表示墹在g下的像集。若对于G中任一元素 g都有墹g=墹，或，则称墹是一个区。空集═以及Ω都是区,称为平凡区。其余的区称为非平凡区。两个
置换群全同粒子系统的对称群
全同粒子系统的分类
根据粒子的排列方式，全同粒子系统 可以分为晶体和无序系统。晶体是由 规则排列的粒子组成的，而无序系统 中的粒子则以随机方式排列。
根据粒子的种类和数量，全同粒子系 统可以分为单组分和多组分系统。单 组分系统是由一种粒子组成的，而多 组分系统则由多种粒子组成。
探索更高维度空间的对称性
随着数学和物理学的发展，人们开始探索更高维度空间的对称性，这将有助于深入了解物质的本质和推动科学技术的 发展。
发展新的对称群理论和方法
随着对称群理论的不断发展，将会有新的理论和方法被提出，这将有助于更深入地研究置换群全同粒子 系统的对称性，推动物理学和其他学科的发展。
Leabharlann Baidu
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01
02
03
封闭性
对称群中的操作仅限于置 换群中的置换操作，不涉 及其他变换。
传递性
对于任意两个粒子，存在 一个对称群中的操作可以 将一个粒子变换为另一个 粒子。
有限性
对称群中的操作数量是有 限的，因为置换群中的置 换操作数量有限。
置换群全同粒子系统的对称群的分类
循环群
由单一的全同粒子通过循 环置换操作构成的对称群。
03 对称群基础概念
对称群的定义
对称群
一个集合的元素经过一系列变换 后仍然能够保持不变，这些变换 的集合就是对称群。
第9讲第6节置换群
1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 5 2
求（1）循环置Βιβλιοθήκη Baidu分解，（2）逆元，（3）阶
（4） ,
第15页/共16页
性质1 两个不相连的循环置换是可以交换的. 性质2 k—循环置换的阶为k.
性质3 不相连的循环置换乘积的阶为各个阶的 最小公倍数.
性质4
i1i2 L ik 1 ikik1 L i1
第16页/共16页
n
an
第9页/共16页
三、循环置换及置换的循环置换分解表示
定义 Sn中的一个将 i1 变到 i2 ，i2 变到 i3 , , ik
变回到 i1 ，而其余元素（如果还有其他元素）不发生
变化的置换，叫做 k—循环(置换)或轮换，记为
（i1 i2 i3 L ik )，（i2 i3 L iki1 )，L ，或（iki1 i2 L ik1 )
不是循环置换，但
1 2 3 4 5 3 4 5 2 1
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 5 4 1 1 4 3 2 5
(135)(24)
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定义 设 i1, i2,L , ik 和 j1, j2,L , js
第6节 置换群
第1页/共16页
一、置换和置换群
定义1：一个有限集合的一个一一变换叫做一 个置换。 定义2： 一个有限集合的若干个置换构成的群 称为一个置换群。 定义3：一个含有n个元素的有限集合的所有 置换构成一个群，称为n次对称群。记作Sn
第7讲 置换群及群的同构和同态
13
置换群S4子群
S4子群 ？ 个
平凡子群：<(1)>, S4,
二阶子群：<(12)>, <(13)>, <(14)>, <(23)>, <(24)>,<(34)>，
<(12)(34)>, <(13)(24)>, <(14)(23)>， 三阶子群：<(123)>， <(124)>， <(134)> ， <(234)>
六阶子群： S3=<(12),(123)> ，<(12),(124)>， <(13),(134)>， <(23),(234)> 十二阶子群：A4
15
置换群S4子群D4
D4 2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1), (13),(24), (12)(34),(14)(23), 1 2 (1234),(13)(24),(1432)}
2018/6/29 31
同态核性质应用
例 设f 为G1 到G2 的同态, 则f −1(f(a)) = akerf , 证 a∈G1, x∈f −1(f(a)) ⇔ f(x) = f(a) ⇔ f (a)−1f(x) = e2 ⇔ f(a−1x) = e2 ⇔ a−1x∈kerf ⇔ x∈akerf
离散数学中的置换群和对称多项式
在离散数学中，置换群和对称多项式是两个重要的概念。置换群是代数学中的
一个重要概念，用来描述对某个集合进行置换操作的全部可能。对称多项式则
是数学中重要的一类多项式，具有对称性质。在研究多项式的性质和解的时候，对称多项式起到了重要的作用。
首先，我们来了解一下置换群。置换群是指对一个集合进行重新排列的所有可
能形成的群结构。例如，对于集合{1, 2, 3}，可以得到六个不同的置换：(1, 2, 3)，(2, 1, 3)，(3, 2, 1)，(1, 3, 2)，(3, 1, 2)，(2, 3, 1)。这六个
置换将集合中的元素重新排列，形成新的集合。将这些置换操作进行组合，就
可以形成一个群结构，称为置换群。
置换群中的操作可以进行组合，形成新的置换。例如，将置换(1, 2, 3)与(2, 1, 3)进行组合，可以得到(2, 1, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2)，即先进行置换(1, 2, 3)，再进行置换(2, 1, 3)。同样地，置换群还满足封闭性、结合律、单位
元和逆元等群的性质。
对称多项式是指对于多项式中的变量进行任意置换操作后，多项式的值保持不
变的多项式。例如，对于多项式f(x, y) = xy + x + y + 1，可以将x和y进
行置换，得到f(y, x) = xy + y + x + 1。可以看到，无论对x和y如何置换，多项式f(x, y)的值都保持不变。
对称多项式是研究代数学中一个重要的问题。它们在很多领域中都有广泛的应用。例如，对称多项式在组合数学中有着重要的作用，可以用来计算组合数、
置换群与对称群幻灯片
例：
1 52 33 64 75 16 27 48 8 (1 5 )(2 3 6 )(4 7 )(8 )
1 32 43 64 75 16 57 2 (1365)(247)
4
1.6.2 置换的对换分解
(Transposition Resolving of Permutation)
它是r-1个对换的乘积。因此，任一个n次置换 都
可以分解为对换的乘积。
5
再证明分解式中对换个数的奇偶性的唯一性：
证明的基本思想是用一对对换 =(a b)右乘，令 N( )表示分解式中所含对换的个数，则N( (a b))与 N( ) 有相反奇偶性，并注意到N()=0 （这里是恒等变
换）即可。
为了证明 N( (a b))与N( )有相反奇偶性，我们注
Def：长度为2的循环 称为对换， =(a b)。 Th 2 任一个n次置换 都可以分解为对换的乘积，
= 1 1 … s 而且的个数 s 的奇偶性由 唯一确定，与分解方法
无关。
证明：由于每一个循环
对换的乘积
=
(i1i2…
ir
)都可以写成
(i1i2… ir )= (i1i2) (i1i3)…(i1 ir )
然后再取 j1 (i1i2… ir )，重复以上步骤可得
第六章 置换群Sn(permutation group or symmetric group)
Q中一个循环
循环长度相等
i 1,2, P
只需取
i b1i b2i bbi xi a i a i a i 1 2 bi
i i （ bli b 都省略了，因为它们不涉及到置换） 1 li 2
4! =3 2!2!2! 4! =6 4
S3
S4 (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x x) (x x) (x x) ( x x x x)
1．将下列置换化为独立循环的乘积
i 122312, iபைடு நூலகம் 123134321
iii1234 1 , iv1452 4326 , v 123 426 3456
i i i i b1i b2 a1i a2 bli ali i i a a a i b i b i b i li 2 3 1 1 2 i i a1i a2 ali i i i a a a Qi i i 1 2 li a a a i 1 2 3
n
满足形式的 1 2 n 决定了一组共轭元素类
i 1
6.2.3 杨氏图（young patterns）
令
1 2 3 n 1 2 3 n 2
离散数学中的置换群与对称性
离散数学中的置换群与对称性是一个重要的概念，它们
在许多数学领域都有着重要的应用。置换群是一类结构，它由一组元素和一组置换操作组成，它们满足一定的结构性质。置换群的元素可以是任何类型的对象，比如数字、字母、图形等。置换操作是一种操作，它可以把一组元素中的一个元素替换成另一个元素，从而改变置换群中的元素的排列顺序。
对称性是一种特殊的置换群，它满足一定的对称性质。
对称性的定义是：如果一个置换群中的元素满足某种特定的对称性，那么这个置换群就是对称的。比如，如果一个置换群中的元素满足“任何两个元素之间的距离都是相等的”，那么这个置换群就是对称的。
置换群和对称性在许多数学领域都有着重要的应用，比
如在几何学中，它们可以用来描述图形的对称性；在抽象代数中，它们可以用来描述群的结构；在组合学中，它们可以用来描述排列的结构；在统计学中，它们可以用来描述数据的分布。
总之，离散数学中的置换群与对称性是一个重要的概念，它们在许多数学领域都有着重要的应用。它们可以用来描述图形的对称性，也可以用来描述群的结构，排列的结构，以及数据的分布。
关于对称群和置换群的数学原理和应用案例
关于对称群和置换群的数学原理和应用案例数学中的对称群和置换群是两个重要的概念，它们是研究代数
结构的基本工具之一。对称群描述的是一个几何图形、集合或其
他对象在变换下不变的性质，而置换群则是指一个集合上所有置
换构成的群。这两个概念在数学、物理、化学等领域都有广泛的
应用。
一、对称群的数学原理
对称群是指一个几何图形或其他对象在变换下不变的群。比如，一个正方形在旋转、翻转、反射等变换下仍保持不变，它的对称
群就可以描述为D4（四面体群）。这个群中包含了所有对正方形
产生不同变换的对称性质。
对于任意一个几何图形或集合，其对称群都可以表示成一个置
换群的形式。其中，置换群是指在一个集合上所有置换构成的群。一个置换是指将这个集合的元素排列的映射，它可以对这个集合
进行置换或排列。具体来说，一个置换群可以由若干个置换所组成，每个置换都可以表示为一个从这个集合的元素到它本身的一
一映射。
二、置换群的数学原理
置换群描述的是一个集合上所有置换构成的群。一个置换是指将这个集合的元素排列的映射，它可以对这个集合进行置换或排列。置换群中的元素是置换操作本身，而不是任何一个置换操作所作用的对象。
置换群是一个重要的概念，它可以用来表示很多算法的计算复杂度。一个算法的复杂度通常是指该算法的计算时间增长率。置换群可以用来描述算法运行的时间，因为一个算法的某些循环结构可以看作是集合置换所形成的置换群的元素。
三、对称群和置换群的应用案例
对称群和置换群在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。其中，对称群在物理学中有着重要的应用，它可以描述物体在空间中的对称性，同时也可以用来推导物理定律。
近世代数课件--2.6 置换群
( i1i 2 i k ) ( i1i k )( i1i k 1 ) ( i1i3 )( i1i 2 )
2. 每一个对换可以写出形如: (12),(13),…(1n)的乘积. 提示: (ij)=(1i)(1j)(1i)
3. 每一个形如: (12),(13),…(1n)的对换可以写成 (12),(23),(34)…(n-1 n)的乘积. 提示: (13)=(12)(23)(12) (14)=(13)(34)(13) …………
1
1
1
2
2
3
k
k
k
j
k
k
1
j
j 1
k
ai ai ai ai
1 2 k
1
因为 只使 r 个元变动，k r ，假如 k r ， 本身已经是一个循环置换，我们用不着再证明 什么．假如 k r ，由公式（1），
i1i 2 i k i k 1 i r i r 1 i n ' ' i 2 i3 i1i k 1 i r i r 1 i n i1i 2 i k i k 1 i r i r 1 i n i1 i k i k 1 i r i r 1 i n ' ' i 2 i3 i1i k 1 i r i r 1 i n i1 i k i k 1 i r i r 1 i n i1i 2 i k 1
群论中的置换群和对称群
在群论中，置换群和对称群是两个基本的概念。它们在数学中起着重要的作用，尤其是在代数学和几何学中。本文将探讨这两个概念的定义、性质和应用。
首先，我们来介绍一下置换群。所谓置换群，就是由一个集合上的所有置换所
构成的群。这里的置换是指对集合进行重新排列的操作。形式上，一个置换可
以理解为集合上的一个双射函数。在群论中，我们通常将置换群表示为S(n)，
其中n是集合的元素个数。例如，S(3)表示一个有3个元素的集合上的置换群。
置换群有一些重要的性质。首先，它是一个群，即满足封闭性、结合律、单位元、逆元等群公理。其次，置换群的阶等于集合中元素的个数。例如，如果一
个集合有n个元素，那么相应的置换群S(n)的阶为n!，即n的阶乘。最后，置换群的乘法操作是置换的复合。即，如果f和g是两个置换，那么它们的乘积
可以表示为fg(x)=f(g(x))，其中x是集合中的一个元素。
对称群是置换群的一个特殊子群。它由一个集合上的所有自同构置换所构成。
自同构是指保持集合上所有结构和关系的变换。形式上，自同构置换可以理解
为一个集合上的双射，且保持集合中元素间的相对次序不变。在群论中，我们
通常将对称群表示为Sym(n)，其中n是集合的元素个数。例如，Sym(3)表示一
个有3个元素的集合上的对称群。
对称群也有一些重要的性质。首先，它是一个置换群，因此也满足群的一些性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。其次，对称群的阶等于置换群S(n)
的阶。换句话说，对称群Sym(n)是置换群S(n)的一个子群。最后，对称群的乘法操作也是置换的复合。
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= (i1i2… ir )
1 2 3 4 5 6 (1345) 3 2 4 5 1 6
是一个长度为4的循环，或称4阶循环。 两个循环 = (i1i2… ir ), = (j1j2… js ) 称为不相交的， 如果对任何的k, l，都有 i k ≠ jl 两个置换的乘积一般是不可交换的，但是可以证明， 两个不相交的循环的乘积是可交换的。
再证明分解式中对换个数的奇偶性的唯一性： 证明的基本思想是用一对对换 =(a b)右乘，令 N( )表示分解式中所含对换的个数，则N( (a b))与 N( ) 有相反奇偶性，并注意到N()=0 （这里是恒等变 换）即可。 为了证明 N( (a b))与N( )有相反奇偶性，我们注 意有下述等式： (ac1c2…ch) (bd1d2 …dk) (a b) = (ac1…ch bd1…dk) (ac1…ch bd1…dk)(a b)= (ac1c2…ch) (bd1d2 …dk) 事实上，由于(a b) -1= (a b),从而第一个等式可由第 二个等式右乘(a b)得到。对于第二个等式，可以从它们 作用到1，2，…，n 的每一个数码上的像来验证。
1 2 3 4 5 6 7 (1365)(247) 3 4 6 7 1 5 2
1.6.2 置换的对换分解 (Transposition Resolving of Permutation)
Def：长度为2的循环 称为对换， =(a b)。 Th 2 任一个n次置换 都可以分解为对换的乘积， = 1 1 … s 而且的个数 s 的奇偶性由 唯一确定，与分解方法 无关。 证明：由于每一个循环 = (i1i2… ir )都可以写成 对换的乘积 (i1i2… ir )= (i1i2) (i1i3)…(i1 ir ) 它是r-1个对换的乘积。因此，任一个n次置换 都 可以分解为对换的乘积。
由于上述两个等式，若 (a b)右乘，且a，b在的 同一个循环中出现，则N( (a b))=N( )-1 ；
若 a，b在的不同循环中出现，则N( (a b))=N( )+1。 总之， N( (a b))=N( ) ±1。 今设有一个表示成 m 个对换的乘积的表示式 = (a b) (cd) …(pq) 由于(a b) -1= (a b),从而 (pq) … (cd) (a b) = e。但 是， N(e)=0 ，故N( ) ±1 ±1 … ±1＝0,因此 m 与 N( )有相同的奇偶性。 证毕 例： 1 2 3 4 5 6 7 (1365)(247) (13)(16)(15)(24)(27)
Th 1 任一个n次置换 都可以分解为两两不相交的 循环的乘积，而且这种分解式除因子的次序不同外是 唯一的。 证明:先证明分解式的存在性：从{1,2, …,n}中 任选一个数作为i1 ，依次求出 (i1)=i2, (i2)=i3, … 直至这个序列中第一次出现重复，这个第一次出现 重复的数必然是i1 ，即存在ir ，使 (ir)= i1 ，于是得 到循环 1 = (i1i2… ir ) 。 然后再取 j1 (i1i2… ir )，重复以上步骤可得 2 = (j1j2… js )，并且由映射的定义知 1与 2无公 共元素。 如此下去，直至每一个元素都在某一个循环中， 因而得到的分解式 = 1 2 … k
再证明分解式的唯一性： 若 有两个不同的分解式，则一定出现两个数码 i≠j，在一个分解式中 j 紧接着 i 出现，而在另一个分 解式中紧接着 i 的不是 j 。这表明，从第一个分解式 得 (i)= j ，而从第二个分解式得 (i) ≠ j ，矛盾。 例：
1 2 3 4 5 6 7 8 (15)(236)(47)(8) 5 3 6 7 1 2 4 8
1.6.1 置换的循环分解 (Cyclic ReΒιβλιοθήκη Baiduolving of Permutation)
在前面我们知道，一个置换, 可以表示成如下的形式,
1, 2...n i i ... i n 1, 2
其中i1i2 … in 是 1，2，…，n的一个排列。
Def：设 是一个n次置换，满足 (1) (i1)=i2, (i2)=i3, … (ir)=i1; (2) 保留1，2，…，n 中的其余元素不变。 则称为长度为r的循环，或称r阶循环。记为
3 4 6 7 1 5 2
置换 如果可以分解为偶数个(奇数个)对换的乘积, 则它表示为对换乘积的任一个表达式中所含对换的个 数都是偶数(奇数),此时,称置换 为偶置换(奇置换). 置换 的乘积的性质: 1. 两个偶置换的乘积是偶置换; 2. 两个奇置换的乘积是偶置换; 3. 一个偶置换与一个奇置换的乘积是奇置换. 例 令 An={ ︱∈Sn, 是偶置换} 则恒等置换 e∈An ，又 , ∈An ∈An (封闭性)。 注意到 -1 =e，从而和 -1有相同的奇偶性。 因此， ∈An -1 ∈An (有逆元)。 可见n次对称群Sn 中的全体偶置换An构成Sn的一个子 群，称为n次交代群(n次交错群)。 End
1.6 置换群
(1.6 Permutation Group)
群G的全体置换作成的群叫n次对称群Sn ，置换群是n 次对称群Sn 的子群. 由Cayley定理，任一个有限群必与 一个置换群同构．因此，需要对置换群作进一步的详细 讨论。本节，我们将把置换群分解为循环的乘积，并得 到置换群的一些初步性质。