附--磁悬浮系统模型

1.1 磁悬浮系统的基本结构
磁悬浮控制系统主要由铁心、线圈、传感器、控制器、功率放大器及其控制对象刚体等元件组成。

系统结构如图2-1所示。

图2-1 磁悬浮系统结构图
Figure2-1 Structure diagram of magnetic levitation system
1.2 磁悬浮系统的工作原理
磁悬浮系统是利用电磁力来控制刚体悬浮的空间位置。

其工作原理是控制电磁铁绕组的电流，产生与刚体重量等价的电磁力，使得刚体稳定悬浮在平衡位置。

由于电磁力与悬浮气隙间存在非线性反比关系，这种平衡并不稳定，一旦受到外界干扰（如电压脉动或者风），刚体就会掉下来或被吸上去，因此必须实行闭环控制。

采用位置传感器在线获取刚体位置信号，控制器对位移信号进行处理产生控制信号，功率放大器根据控制信号产生所需电流并送往电磁铁，电磁铁产生相应磁力克服重力使得刚体稳定在平衡点附近。

当刚体受到干扰向下运动时，刚体与电磁铁的距离增大，传感器所敏感的光强增大，其输出电压增大，经过功率放大器处理后，使得电磁铁控制绕组的控制电流增大，电磁力增大，刚体被吸回平衡位置。

反之亦然。

1.3 磁悬浮系统的动力学模型
1.3.1 刚体运动方程
刚体受力情况如图2-2所示，图中mg 表示刚体所受得重力，(,)F i x 表示线圈通电时刚体所受的电磁力，()d f t 表示系统所受的干扰力，()t θ表示刚体与参考平面的距离，0()t θ表示电磁铁与参考平面的距离，()x t 表示电磁铁与刚体之间的距离，取向上为正。

参考平面
图2-2 刚体受力示意图
Figure2-2 Schematic diagram of strained rigid body
根据牛顿第二定律，可得刚体的运动方程：
22
d ()(,)()d d x t m F i x mg f t t =-- (2-1) 1.3.2 电磁力模型
电磁铁与刚体构成磁路，磁路的磁阻主要集中在两者间的气隙上，其中有效气隙磁阻可表示为
02()x
R x S
μ=
(2-2) 式中0μ为空气的导磁率，70410/H m μπ-=⨯；S 为电磁铁的极面积；x 为导轨与磁极表面的瞬时间隙。

由磁路的基尔霍夫定理可知
(,)()Ni i x R x =Φ (2-3)
式中N 为电磁铁线圈匝数，i 为电磁绕组中的瞬时电流，(,)i x Φ为铁心磁通。

将式（2-2）代入式（2-3），可得铁心磁通为
0(,)2SNi
i x x
μΦ= (2-4)
当电磁铁工作在非饱和状态时，电磁铁的磁链
20(,)(,)2SN i
i x N i x x
μλ=Φ=
(2-5)
另外，电磁力可由与它磁场同能量的关系表示为
(,)
(,)c W i x F i x x ∂=∂ (2-6)
式中(,)c W i x 为磁能能量，并且
(,)(,)d t
c W i x t x t λ=⎰ (2-7)
将式（2.5）代入式（2.7），再代入式（2.6），可得电磁力为
22
0220(
)4(,)()4
SN i SN i
x
F i x x
x
μμ∂=
=
∂ (2-8) 令2
04
SN k μ=
，则有
2(,)()i
F i x k x
== (2-9)
由式子（2-9）可知，电磁吸引力F 与气隙x 成非线性的反比关系，这正是磁悬浮系统不稳定的根源。

1.3.3 绕组回路的电学方程
根据电磁感应定律，可知电磁铁绕组回路的电压u 与电流i 的关系为
d d
[(,)]d d u Ri Ri L i x i t t λ=+=+⋅ (2-10)
式中(,)L i x 为绕组中的瞬时电感，可表示为
(,)
(,)N i x L i x i
Φ=
(2-11) 将式（2-4）代入式（2-11）可得
2
0(,)2SN L i x x
μ=
(2-12)
再将式（2-12）代入式（2-10），可得电学方程为
22002
22SN i SN i
u Ri i x x
x
μμ=+⋅-⋅ (2-13) 由上可知，磁悬浮系统垂直运动的动力学方程由下列数学方程描述：
22
d ()
(,)()d d x t m F i x mg f t t =-- 22002
22SN i SN i
u Ri i x x
x
μμ=+⋅-⋅ 220(,)
()
4
SN i
F i x x
μ= 及边界条件
2200
000
(,)()4
SN i mg F i x x μ==
(2-14)
1.4 线性化模型分析
将电磁力(,)F i x 在平衡点00(,)i x 附近进行泰勒展开，并忽略高阶项得：
0000000(,)(,)(,)()
(,)()
i x F i x F i x F i x i i F i x x x =+-+- =0000(,)()()i x F i x k i i k x x +-+-
=00(,)()()i x F i x k i t k x t +∆+∆ (2-15) 式（2-15）中00(,)F i x 表示在平衡点处（气隙为0x 、电流为0i ）刚体的电磁力；系数i k 表示电流变化单位量时电磁力变化的值，x k 表示气隙变化单位长度时电磁力变化的值，由式（2-8）可得
200
2
2i SN i k x μ=
(2-16)
22
003
2x SN i k x μ=-
(2-17)
在电磁铁绕组中，电压u 的变化u ∆为
0()()()u t u t u t ∆=-
=220000002
d()()d()
()2()
d 2()
d N S i i N Si t x x R i i Ri x t t
x t t
μμ+∆+∆+∆+
-
-
=2200020
d ()d ()2d 2d N S N Si i t x
R i t x t
x
t
μμ∆∆∆+
-
=0x R i L i
L x ∆+∆-∆ (2-18) 式（2-18）中0L 表示平衡点的电感，
2
000
2SN L x μ=
(2-19)
2
002
2x SN L i x
μ=
(2-20)
由式（2-1）、（2-14）、（2-15）和式（2-18）可得
0()()i x d x mx
k i k x f t u t R i L i L x
=∆+∆-⎧⎨∆=∆+∆-∆⎩ (2-21) 取状态变量为[,,]x x
i ∆∆∆ ，则由式（2-21）可得磁悬浮系统的线性化状态方程 00
001000100()()100x i d x
x
x k k x x u t f t m m m i i L R L L L ⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎢⎥∆∆⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=∆+∆+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
(2-22) []100x y x i ∆⎡⎤
⎢⎥=∆⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦
(2-23) 对应的系统框图如图2-3所示。

图2-3 线性系统的结构框图
Figure2-3 Structure diagram of linear system
对方程组（2-21）做拉氏变换，可得悬浮气隙位置x ∆和输入电压u ∆之间的传递函数
()
()x s u s ∆=∆03200
i x
k mL Rk R S S L mL +- (2-24)
系统的特征方程为：
3200
0x
Rk R S S L mL +
-＝ (2-25)
由劳斯判据知，系统的特征系数存在零和负值，所以这个系统是一个三阶不稳定系统，因此需要设计一个反馈控制器，保证磁悬浮系统稳定。