年湖南省株洲市中考数学试卷(解析版)

2０16年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，本题共10小题，共3０分)
１．下列数中,﹣3的倒数是（）
A.﹣ﻩB．ﻩC.﹣3ﻩD．３
2．下列等式错误的是（）
A．(２mn)2=4m2ｎ2B．(﹣2ｍn)２=4ｍ２n2
C.（2m２n2）3=8m6ｎ６Ｄ．(﹣2m2n2)3=﹣8m5n5
3．甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩(环）及方差统计如表,现要根据这些数据,从中选出一人参加比赛,如果你是教练员，你的选择是（）
队员平均成绩方差
甲９.7 2.12
乙９．6 0.56
丙9.7 0.56
丁９.6 1.３4
Ａ．甲 B.乙C．丙 D.丁
４.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°,∠B＝５0°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形Ａ′B′C，若点B′恰好落在线段ＡＢ上，AC、A′B′交于点O，则∠CＯＡ′的度数是（）
A．５0°ﻩＢ.６０°C．７0°Ｄ.80°
5.不等式的解集在数轴上表示为（)
A．ﻩB. C．
D.
６.在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（）
A.2x﹣1+6x=3(３x+1）Ｂ．２（x﹣１)+６x=3(3ｘ+1）
C．2(x﹣1）+ｘ=3（3x+１）ﻩD.（x﹣1)+x＝3(x+1）
7.已知四边形ＡBＣD是平行四边形,对角线ＡＣ、ＢD交于点O,Ｅ是ＢＣ的中点，以下说法错误的是（)
A．OＥ=DＣﻩB．OA=OCﻩC.∠BOＥ＝∠OBＡﻩＤ．∠OBE=∠OCＥ
８.如图，以直角三角形a、ｂ、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方
=S3图形个数有()
形,上述四种情况的面积关系满足S1+Ｓ
２
A．1 B．2 Ｃ．3 D．４
9.已知，如图一次函数ｙ1=ａx＋b与反比例函数y
=的图象如图示,当ｙ1<y2时,x的取值范
２
围是( )
A.ｘ＜２ﻩB．x>５ﻩＣ．２<ｘ＜5 Ｄ．0＜x<2或x>5
10.已知二次函数y＝ax２+ｂｘ＋c(a＞０）的图象经过点A(﹣1，2)，B（2，5）,顶点坐标为（m,ｎ)，则下列说法错误的是(）
A．ｃ＜3 B.m≤ﻩC．ｎ≤２D．b<1
二、填空题(本题共8小题,每题３分,共24分）
１1．计算：3a﹣(2a﹣1)=．
12.据民政部网站消息，截至2014年底，我国６0岁以上老年人口已经达到2.1２亿,其中２.１２亿用科学记数法表示为.
1３．从１，2，3…99，１00个整数中，任取一个数,这个数大于６0的概率是．１4.如图,正六边形ＡBCDEＦ内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为.
15．分解因式：(x﹣8）(x＋2)+６ｘ= .
16.△ABC的内切圆的三个切点分别为D、Ｅ、F，∠A=７5°,∠B=45°,则圆心角∠EOF= 度．
17．已知Ａ、B、Ｃ、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOＢ≌△COD.设直线AＢ的表达式为ｙ1=k1x+ｂ1,直线CD的表达式为y2＝k2x+ｂ
，则ｋ1•k2=.
２
18.已知点P是△ABC内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则P点叫△ABC的费马点（Fermat pｏｉnt）．已经证明:在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠ＡＰＢ=∠APC=∠ＢPC=１20°时，P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PＥ+ＰF= .
三、解答题（本大题共8小题,共6６分）
１9.计算：.
20.先化简，再求值:,其中ｘ=３．
21.某社区从2０１１年开始,组织全民健身活动,结合社区条件，开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目,现将参加项目活动总人数进行统计，并绘制成每年参加总人数折线统计图和201５年各活动项目参与人数的扇形统计图，请你根据统计图解答下列题
（1）２０１5年比2011年增加人;
（2）请根据扇形统计图求出20１5年参与跑步项目的人数;
（３）组织者预计20１６年参与人员人数将比２0１5年的人数增加１5%,名各活动项目参与人数的百分比与2０1６年相同，请根据以上统计结果，估计２01６年参加太极拳的人数.
2２．某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核,规定如下:考核综合评价得分由测试成绩(满分10０分)和平时成绩(满分1０0分）两部分组成，其中测试成绩占80％,平时成绩占20%,并且当综合评价得分大于或等于8０分时,该生综合评价为A等．
（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为１85分，而综合评价得分为91分,则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分?
(2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到Ａ等吗?为什么？
(3)如果一个同学综合评价要达到A等,他的测试成绩至少要多少分?
2３．已知正方形ＡＢCD中，BC＝3,点Ｅ、F分别是CB、CＤ延长线上的点，ＤF=ＢE，连接AE、AF,过点A作AＨ⊥ED于Ｈ点．
（1)求证：△AＤF≌△ＡＢＥ;
(2)若ＢE=1，求ｔan∠AEＤ的值.
24．平行四边形ABCD的两个顶点Ａ、C在反比例函数y=（k≠０）图象上，点B、Ｄ在
x轴上,且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于Ｐ点
（1）已知点A的坐标是(2，３)，求ｋ的值及C点的坐标;
(2)若△APO的面积为2,求点Ｄ到直线AＣ的距离．
2５．已知ＡB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点,D是ＢC延长线上一点,过点D的直线交ＡC于E点,且△AＥF为等边三角形
（1)求证:△DFＢ是等腰三角形；
（２）若DA＝ＡF，求证：CF⊥AB.
26．已知二次函数y=ｘ２﹣(2k＋1)x+k2+ｋ(k＞0）
（1）当ｋ=时,求这个二次函数的顶点坐标；
（2）求证：关于x的一元次方程x２﹣(2k+１)x+k2+k=０有两个不相等的实数根；
(３）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于Ｃ点，P是ｙ轴负半轴上一点，且OP＝1,直线AP交BC于点Q，求证：．
20１6年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题只有一个正确答案，本题共1０小题,共30分)
１．下列数中，﹣3的倒数是（ )
A ．﹣
B ．
C ．﹣３
D ．3
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义，用1÷（﹣3),算出结果即是﹣３的倒数.
【解答】解:1÷(﹣3)==﹣．
故选A ．
2．下列等式错误的是( ）
A.（２m ｎ）２=4m 2ｎ2 Ｂ．（﹣２m ｎ）2=4m 2n 2
C.(2m ２n ２)３=8m 6n 6
D.(﹣2ｍ２n 2)3=﹣８ｍ5n 5
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值,再判断即可．
【解答】解:Ａ、结果是4m 2n 2,故本选项错误;
Ｂ、结果是４ｍ2n ２,故本选项错误；
Ｃ、结果是8ｍ6n 6,故本选项错误；
B 、结果是﹣8ｍ6ｎ6,故本选项正确；
故选Ｄ.
3.甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环)及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛,如果你是教练员，你的选择是（ )
队员 平均成绩 方差
甲
9.7 2.12 乙
9.6 0．56 丙
9.７ 0.56 丁
9.6 1.３4 A ．甲ﻩB.乙 C.丙ﻩD ．丁
【考点】方差.
【分析】首先比较平均数，然后比较方差,方差越小,越稳定.
【解答】解：∵＝＝9．7,Ｓ2甲＞S 2乙,
∴选择丙.
故选C.
4．如图,在三角形AB Ｃ中,∠ACB=９０°，∠Ｂ=50°，将此三角形绕点Ｃ沿顺时针方向旋转后得到三角形Ａ′B ′Ｃ，若点B ′恰好落在线段AB 上，ＡC 、A ′B ′交于点O,则∠C ＯA ′的度数是( )
A．５0°Ｂ.６0° C.7０°ﻩD.８0°
【考点】旋转的性质．
【分析】由三角形的内角和为180°可得出∠A=40°,由旋转的性质可得出BC=Ｂ′C,从而得出∠B=∠ＢＢ′C＝50°，再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论．
【解答】解:∵在三角形ABＣ中，∠ACB=9０°,∠B=50°,
∴∠Ａ＝１80°﹣∠ＡCB﹣∠B=40°.
由旋转的性质可知：
BC=B′C，
∴∠Ｂ＝∠BB′C=５0°.
又∵∠BB′C=∠A＋∠ACB′＝40°+∠ACB′，
∴∠AＣB′＝10°，
∴∠COA′=∠ＡOB′=∠ＯB′Ｃ+∠ＡＣB′=∠B+∠ＡＣB′=60°.
故选B．
5．不等式的解集在数轴上表示为( ）
A. B． C.
D.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集,再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则判断即可.
【解答】解:解不等式2x﹣1≥1，得:x≥１，
解不等式x﹣2<0,得：ｘ＜2，
∴不等式组的解集为:1≤ｘ<2，
故选：C.
6.在解方程时，方程两边同时乘以６,去分母后，正确的是（)
A.２ｘ﹣1+6x＝3（3ｘ+1)ﻩ
B.2(ｘ﹣1)+６x＝3(3x+1)
C．2(x﹣1)＋x=３（3x+1)ﻩＤ．（x﹣1）+x=3（x+1)
【考点】解一元一次方程．
【分析】方程两边同时乘以6,化简得到结果，即可作出判断.
【解答】解：方程两边同时乘以6得：２（x﹣1）＋6ｘ=3（３ｘ＋1）,
故选Ｂ．
7．已知四边形ＡBCＤ是平行四边形,对角线AC、BＤ交于点Ｏ,E是BC的中点,以下说法错误的是（）
A.ＯE＝DCﻩＢ.ＯA=OC Ｃ.∠BＯE＝∠OBAﻩD.∠OBE=∠OＣＥ
【考点】平行四边形的性质.
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确;由ＯB≠OC,得出∠OBE≠∠OCE,选项D错误；即可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OＣ,OB=ＯD，AＢ∥DＣ，
又∵点Ｅ是BC的中点，
∴ＯE是△BCD的中位线，
∴OE＝DC，OE∥DC，
∴ＯE∥AB,
∴∠ＢOE=∠OBA,
∴选项A、B、C正确;
∵ＯB≠OC,
∴∠OBE≠∠OCＥ,
∴选项D错误;
故选:D．
8．如图，以直角三角形ａ、ｂ、ｃ为边,向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方
=S3图形个数有( ）
形，上述四种情况的面积关系满足Ｓ1+S
２
A.１ﻩB．2 C．３ D.4
【考点】勾股定理.
【分析】根据直角三角形a、b、ｃ为边，应用勾股定理，可得ａ2+b2=c２．
（1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积;然后根据a2+b2＝c2，可得Ｓ1+S2＝Ｓ
．
３
(２)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积;然后根据ａ2+ｂ2＝c 2,可得S 1+Ｓ2=S 3．
(3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a 2＋ｂ２＝c ２,可得S １+S 2=S 3．
（4)第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据ａ2+b 2=c 2，可得Ｓ1+S 2=S ３.
【解答】解:(1）S 1=
a 2，S 2＝
b ２，S 3=
c 2，
∵a 2+b 2=c 2, ∴a 2＋b ２=c 2, ∴S 1+S 2＝Ｓ3．
(2)S 1=a ２,Ｓ２=b 2，S 3=c 2,
∵ａ２+b 2=c 2, ∴a 2+b 2=c 2，
∴Ｓ１＋S ２=S 3．
(3)S 1=a 2,S ２=b 2，S ３＝c 2，
∵a 2＋b ２=ｃ2， ∴ａ2+b ２＝c ２，
∴Ｓ１+S 2＝S ３．
(4）S 1＝a 2,Ｓ2=b ２,S ３=ｃ２，
∵a 2+b 2=c 2,
∴Ｓ１+S 2=Ｓ3．
综上，可得
面积关系满足S １＋S 2=S 3图形有４个.
故选:D ．
9.已知,如图一次函数ｙ1=ａx +b 与反比例函数y 2＝的图象如图示,当y 1＜ｙ2时，x 的取值范围是（ )
A.x＜２ﻩB．x>5ﻩC．2<x<５D．０<x<2或x>5
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据图象得出两交点的横坐标,找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可．
【解答】解:根据题意得：当y1<y2时,x的取值范围是０<x<2或x＞５.
故选：D．
1０.已知二次函数y=aｘ2+ｂx+ｃ（ａ>０)的图象经过点A（﹣１,2），B（2，5）,顶点坐标为(ｍ,n）,则下列说法错误的是( ）
A.c<3 Ｂ.m≤C.n≤2 D.b<1
【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据已知条件得到,解方程组得到c=３﹣2a＜3,b=１﹣a<１，求得二次函数的对称轴为ｘ=﹣=﹣=﹣＜,根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．
【解答】解：由已知可知：,
消去ｂ得:c=3﹣2a<3，
消去c得:b=1﹣a＜１，
对称轴:x＝﹣＝﹣＝﹣<，
∵A(﹣1，2）,a＞0,那么顶点的纵坐标为函数的最小值,
∴n≤2，
故Ｂ错.
二、填空题(本题共8小题，每题3分,共24分）
１1．计算:3ａ﹣(2ａ﹣１）= a+１．
【考点】整式的加减．
【分析】原式去括号合并即可得到结果.
【解答】解:原式＝3a﹣２ａ＋1=a+1,
故答案为：ａ+1．
12．据民政部网站消息,截至2０14年底,我国60岁以上老年人口已经达到2.12亿，其中２．1２亿用科学记数法表示为 2.１2×１0８.
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为ａ×10n的形式，其中1≤|ａ|＜10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，ｎ是正数;当原数的绝对值＜1时,n是负数.
【解答】解：2.1２亿=21２00000０=2.1２×10８，
故答案为：2.12×108.
１3.从1，２,３…99,１00个整数中，任取一个数,这个数大于６０的概率是0.4 ．
【考点】概率公式.
【分析】直接利用概率公式计算.
【解答】解:从1,２,３…99,100个整数中，任取一个数,这个数大于６０的概率==0.4．故答案为0.4．
14．如图，正六边形ABCDＥF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为π．
【考点】正多边形和圆;弧长的计算．
【分析】求出圆心角∠AOB的度数,再利用弧长公式解答即可．
【解答】解：如图，连接OA、ＯB，
∵ABCDＥF为正六边形,
∴∠AOB=360°×＝60°,
的长为=π.
故答案为：π．
15．分解因式：（x﹣8)（x＋2）+6x＝(x＋4)（x﹣4）.
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】原式去括号、合并同类项后,运用平方差公式分解即可得到结果.
【解答】解：原式＝x2+2ｘ﹣8x﹣16+6x
＝x２﹣16
=（x+4)（x﹣4），
故答案为：(x+4）（x﹣4）.
16．△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F,∠A=75°,∠B=45°，则圆心角∠ＥOＦ＝1２0 度．
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】首先根据∠A=7５°,∠B＝４5°，求出∠Ｃ＝６０°；然后根据△ＡBC的内切圆的三个切点分别为D、Ｅ、F，可得∠ＯEC=∠ＯFC=90°，再根据四边形OEＦC的内角和等于３60°，求出圆心角∠ＥOF的度数是多少即可.
【解答】解：∵∠A=７5°，∠B=45°，
∴∠C=18０°﹣７5°﹣4５°
=10５°﹣4５°
=６０°
∵△ＡＢC的内切圆的三个切点分别为Ｄ、E、F,
∴∠OEC＝∠OFＣ=90°,
∵四边形OEＣF的内角和等于360°,
∴∠EOＦ=360°﹣(90°+９0°+6０°)
＝３6０°﹣240°
=120°
故答案为:120.
１7．已知A、B、Ｃ、D是平面坐标系中坐标轴上的点,且△AOB≌△COD．设直线AB的
表达式为y1=k1x＋ｂ1,直线CD的表达式为y
２=k2x+b2，则k1•k
２
＝1.
【考点】两条直线相交或平行问题；全等三角形的性质．
【分析】根据A（0，a）、B(b,0)，得到OＡ=ａ,OB＝﹣b，根据全等三角形的性质得到OＣ=ａ，OD＝﹣b，得到C(ａ，0)，D（０,ｂ),求得k1=，k2=,即可得到结论．
【解答】解：设点A(０,ａ）、Ｂ(ｂ，０),
∴OＡ＝a,OB＝﹣ｂ，
∵△AＯB≌△COD，
∴OC＝a，OD=﹣b，
∴C（a,０），Ｄ（0，b)，
∴k1==,k2=＝，
∴k1•ｋ２=１，
故答案为：1．
１8．已知点P是△AＢＣ内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则P点叫△AＢC 的费马点（Feｒｍaｔpoiｎｔ）．已经证明：在三个内角均小于１2０°的△ABC中,当∠A ＰＢ=∠ＡPC=∠BPC＝12０°时,P就是△ABＣ的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE＋PＦ=+1．
【考点】解直角三角形；等腰直角三角形.
【分析】根据题意首先画出图形,过点D作DM⊥EF于点M，过E、Ｆ分别作∠MEＰ=∠MFP=３0°就可以得到满足条件的点Ｐ,根据特殊直角三角形才求出PＥ，PF,PM,DＰ的长，进而得出答案.
【解答】解:如图:等腰Rt△DEF中,DE=ＤF＝，
过点D作DＭ⊥EＦ于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，
则ＥM=DM=１,
故cos３0°＝，
解得:PE=ＰF＝=，则PM=,
故DP=1﹣，
则ＰD＋PE＋PＦ＝２×+1﹣=+1.
故答案为：＋1.
三、解答题(本大题共8小题，共6６分)
19.计算:．
【考点】实数的运算;零指数幂；特殊角的三角函数值.
【分析】原式利用算术平方根定义,乘方的意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解:原式=３＋1﹣2=2.
20.先化简，再求值：,其中x=３.
【考点】分式的化简求值.
【分析】首先通分计算括号里面的，再计算乘法，把多项式分解因式后约分，得出化简结果，再代入x的值计算即可．
【解答】解：
=•
＝，
当ｘ=3时，原式==.
21．某社区从20１1年开始，组织全民健身活动，结合社区条件,开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参加项目活动总人数进行统计，并绘制成每年参加总人数折线统计图和2０1５年各活动项目参与人数的扇形统计图,请你根据统计图解答下列题(１）20１5年比20１1年增加990人；
（2)请根据扇形统计图求出201５年参与跑步项目的人数;
（3）组织者预计2０16年参与人员人数将比2０15年的人数增加１5％，名各活动项目参与人数的百分比与20１6年相同,请根据以上统计结果，估计201６年参加太极拳的人数.
【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图.
【分析】（1）用201５年的人数﹣201１年的人数即可;
(２）用201５年总人数×参与跑步项目的人数所占的百分数即可；
（3）2０1５年总人数×（１+１５%）×参加太极拳的人数所占的百分数即可.
【解答】解:(1)１600﹣6１0=（人);
故答案为：9９0人；
（2)１６０0×５5%=88０（人)；
答:２015年参与跑步项目的人数为88０人；
(３)1600×(１＋１5%）×（1﹣５5％﹣30％﹣5%）＝184(人）；
答：估计20１6年参加太极拳的人数为１84人.
22．某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核,规定如下:考核综合评价得分由测试成绩(满分10０分）和平时成绩(满分１0０分）两部分组成，其中测试成绩占８0%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．
(1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分,而综合评价得分为９1分,则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？
(２)某同学测试成绩为７0分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？
(3）如果一个同学综合评价要达到A等,他的测试成绩至少要多少分?
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】(１)分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分,而综合评价得分为91分,分别得出等式求出答案;
(2)利用测试成绩占８0%，平时成绩占２0％，进而得出答案；
(3）首先假设平时成绩为满分，进而得出不等式，求出测试成绩的最小值．
【解答】解:（1）设孔明同学测试成绩为x分,平时成绩为y分，依题意得：
解之得：
答:孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为９５分；
(2）由题意可得：8０﹣7０×80％=２4,
2４÷20%=120＞１０0,故不可能．
(3)设平时成绩为满分,即100分，综合成绩为100×20％＝２0,
设测试成绩为a分，根据题意可得:2０+80%ａ≥80，
解得:a≥７5
答：他的测试成绩应该至少为75分.
２3.已知正方形ＡBＣD中，ＢC＝3,点E、F分别是CB、CD延长线上的点,DF＝BE,连接AE、AF，过点Ａ作ＡH⊥ED于H点．
(1）求证:△ADF≌△AＢE；
(2）若ＢＥ=1,求tan∠AED的值.
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.
【分析】（1)根据辅助线的性质得到AD=AB，∠ADＣ=∠ABC＝9０°,由邻补角的定义得到∠ADF=∠AＢE＝90°，于是得到结论；
(2）过点Ａ作AH⊥DE于点H,根据勾股定理得到AE=,ED==５,根据三角形的面积Ｓ△AED＝AD×BA=,S△ADＥ=ＥＤ×AH=,求得AH=1.8，由三角函数的定义即
可得到结论．
【解答】解：（１）正方形ABCＤ中，
∵AD＝AB，∠ＡDC=∠ABC=９０°,
∴∠ADF＝∠ABE＝9０°，
在△AＤF与△ABE中，
,
∴△ADF≌△ABE；
(２）过点Ａ作AＨ⊥DE于点Ｈ,
在Ｒt△ABE中,∵AＢ=ＢＣ=３，
∵ＢE=1,
∴AE＝，ED==5,
∵S△ＡED＝AD×BA=，
S△ADＥ=ＥD×AH＝,
解出AH=１.8，
在Rt△AHE中，EH=２.6，
∴tａn∠ＡED＝．
2４．平行四边形ＡＢCD的两个顶点Ａ、C在反比例函数y=（k≠0）图象上，点B、D
在x轴上,且B、D两点关于原点对称,AD交y轴于P点
(1)已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（２)若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的性质.
（1）根据点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=(k 【分析】
≠0)图象上，点Ｂ、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称,可以求得k的值和点C的坐标；
(2)根据△ＡPO的面积为２，可以求得OＰ的长，从而可以求得点Ｐ的坐标,进而可以求得直线ＡP的解析式，从而可以求得点Ｄ的坐标，再根据等积法可以求得点D到直线AC的距离．【解答】解:（１）∵点A的坐标是(2,3）,平行四边形ABCD的两个顶点A、Ｃ在反比例函数y=（ｋ≠０）图象上,点Ｂ、Ｄ在x轴上，且B、D两点关于原点对称，
∴３=,点C与点A关于原点O对称，
∴k＝6，C（﹣2，﹣3)，
即k的值是６，Ｃ点的坐标是（﹣2，﹣３)；
（2）∵△APＯ的面积为２,点A的坐标是(2,3），
∴，得OP=2,
设过点Ｐ(0，2)，点A（2，3)的直线解析式为ｙ=ax+ｂ,
解得，,
即直线PC的解析式为y=,
将ｙ=0代入y=，得ｘ═﹣4,
∴ＯＰ=4,
∵A(2，3),C(﹣2,﹣3）,
∴AC=，
设点D到ＡＣ的距离为m，
∵S△ACD＝S△ODＡ＋Ｓ△ODC,
∴,
解得,m=,
即点Ｄ到直线AC的距离是．
2５.已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点,过点D的直线交ＡC于Ｅ点,且△AEF为等边三角形
(1)求证:△DＦB是等腰三角形;
（2）若DA=AF,求证：CF⊥AB.
【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质;垂径定理.
【分析】（1)由AB是⊙O直径，得到∠ACB＝90°,由于△AEF为等边三角形，得到∠CＡＢ=∠EFA=６０°,根据三角形的外角的性质即可得到结论;
(2)过点Ａ作AM⊥DＦ于点M,设AＦ=2a,根据等边三角形的性质得到FＭ=ＥN=a，AＭ=ａ，在根据已知条件得到AB=AF+ＢF=8ａ,根据直角三角形的性质得到AE=EＦ＝AF=CＥ=２a,推出∠ECF=∠EＦC,根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解:（1)∵AＢ是⊙O直径,
∴∠AＣB=９０°,
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAＢ=∠EFＡ=６０°,
∴∠B=３０°,
∵∠EFA=∠B+∠ＦDB,
∴∠B=∠FDB=３0°，
∴△DＦＢ是等腰三角形;
（2)过点Ａ作AM⊥DF于点M,设ＡF=2a,
∵△AEF是等边三角形,∴FM=EN＝a，AM=a,
在Rt△ＤAM中，ＡＤ=AF=2ａ,AＭ＝,
∴DM=５ａ，∴DF＝BF=６a,
∴AＢ=AＦ＋ＢF=8a,
在Rｔ△ABＣ中,∠B＝30°,∠ＡCB=90°,∴AC=４a,
∵ＡE=ＥＦ=AF=ＣE＝2a，∴∠ＥCF=∠ＥFC，
∵∠ＡEF=∠ＥCF+∠ＥFC=６0°，∴∠ＣFＥ=3０°，
∴∠AＦC=∠AFE+∠EＦＣ＝60°+30°＝9０°,
∴ＣF⊥AB.
26.已知二次函数ｙ＝x2﹣(2ｋ＋1)x+ｋ2＋k（k＞0)
(1）当ｋ＝时,求这个二次函数的顶点坐标；
(2）求证：关于x的一元次方程x2﹣(2k+1)ｘ+k2＋k=0有两个不相等的实数根；
(3）如图,该二次函数与x轴交于Ａ、B两点(A点在B点的左侧）,与y轴交于C点，P是y
轴负半轴上一点，且OP=１,直线AＰ交BC于点Q，求证：．
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标;
（2）利用根的判别式得出△=1,进而得出答案;
(３)根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出ＯA，AB的长，再利用两点之间距离求出AQ的长,进而求出答案.
【解答】解：（１)将k＝代入二次函数可求得,
y=x２+２x+
=(x+１)2﹣，
故抛物线的顶点坐标为：（1，﹣）；
(2）∵一元次方程x2﹣(2k＋1)x＋k２＋k=0，
∴△=b２﹣４ac=[﹣（2k+１）]２﹣4（k2＋k）＝1＞０,
∴关于x的一元次方程ｘ2﹣(2k+1)x+k2+k＝0有两个不相等的实数根；
(3)由题意可得:点P的坐标为(0,1),
则0＝ｘ2﹣(2k＋1)x+k2+ｋ
0=（x﹣ｋ﹣1)(x﹣ｋ)，
故A(k,０),B(k+1,0),
当x=0,则ｙ＝k2+k，
故C（0,k2+k)
则AＢ=k+１﹣ｋ=1,OA=k,
可得
，
y BC=﹣kx＋k2＋k,
当x﹣1=﹣kx＋k2+k，
解得:ｘ=k+,
则代入原式可得:y=,
则点Ｑ坐标为
运用距离公式得:ＡQ2＝（)2+()2=，
则OA2=k2,AB2=１，
故+＝+1＝=,
则.
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