微分方程模型2

f ( x0 , y0 ) 0 g ( x0 , y 0 ) 0
记为
P0 ( x 0 , y 0 )
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稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的 解 ( x (t ), y (t )) 从这个邻域内的某一初值 ( x ( 0 ), y ( 0 )) 出发，满足
C） B） A）
aij 0, i , j 1, 2,3; ai 0 0, i 1, 2,3
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说明下列微分方程组的生态意义
dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x 2 a13 x3 ) dx 2 x 2 ( a 20 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 ) dt dx 3 dt x 3 ( a 30 a 31 x1 a 32 x 2 a 33 x 3 )
假定组(1)的右端函数 f ( x , y ), g ( x , y )在平面区域 G 满足解 的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。
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平衡点 （Equilibrium） ：使得 f 2 ( x0 , y0 ) g 2 ( x0 , y0 ) 0 的点 ( x 0 , y 0 ) 为组(1)的平衡点，否则称为常点。 即 平衡点满足
N 表示 t 时刻的种群数量， r 称
为内禀增长率。
r (t t0 )
N (t ) N (t 0 ) e
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN N r (1 ) N dt K
N (t ) K 1
K N (t0 ) N (t0 )
K 表示该种群的最大容纳量。
e r (t t0 )
线性化，得
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dx x ( a 10 a 11 x a 12 y ) dt dy y ( a a x a y ) 20 21 22 dt
1) a 10 ( a 20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2) a11 0, a 22 0 表示甲（乙）种群为非密度制约，
dx r1 f 1 ( x ) g 1 ( y ) xdt dy r2 f 2 ( x ) g 2 ( y ) ydt
dx x ( a 10 a 11 x a 12 y ) dt dy y ( a a x a y ) 20 21 22 dt
A） B） C）
aij 0, i , j 1, 2,3; ai 0 0, i 1, 2,3
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dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx 2 x2 ( a 20 a 21 x1 a22 x2 a 23 x3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
种群(Population)：是指在特定时间里占据
一定空间的同一物种的有机体集合。
种群生态学（population ecology） ：
主要研究种群数量的时间动态与环境相互作用 关系的科学。 种群分为单种群和多种群。
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1 单种群的数学模型： 1)马尔萨斯(Malthus)模型
dN rN dt
q0
鞍点(saddle)
p 0, q 0, p 2 4q 稳定退化结点 p 0, q 0, p 2 4q 不稳定退化结点
1 , 2 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 0
p, q
平衡点类型
稳定性 stable unstable unstable stable unstable stable unstable unstable
p 0, q 0, p 2 4q 稳定结点(node) p 0, q 0, p 2 4q 不稳定结点
A C ）
aij 0, i , j 1, 2,3; ai 0 0, i 1, 2,3
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dx 1 dt x1 ( a 10 a 11 x1 a 12 x 2 a 13 x 3 ) dx 2 x 2 ( a 20 a 21 x1 a 23 x 3 ) dt dx 3 dt x 3 ( a 30 a 31 x1 a 32 x 2 )
A） B） C）
aij 0, i , j 1, 2,3; ai 0 0, i 1, 2,3
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种群模型的求解方法：
微分方程定性与稳定性理论 数值方法
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微分方程定性与稳定性理论
平面自治系统
dx f ( x, y ) dt dy g ( x , y ) dt
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3） 一般的种群模型
dN Nf ( N ) dt
4) 开发了的单种群模型
dN Nf ( N ) h dt dN Nf ( N ) h ( t ) dt
具有常数收获率 具有时变收获率
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2 两种群的一般模型
两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种 情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 t 时刻的数量为 x (t ), y (t ) ，则
微分方程模型
主讲人
窦霁虹
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生物数学（biomathematics）
生物数学是指介于生物学和数学之间的边缘学科。 这门学科主要目的是对与生物有关的数学方法 进行理论研究，同时利用数学方法来解决生物 学问题。 生物种群模型就是这门学科的重要组成部分。
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生物种群模型
lim x ( t ) x 0 , lim y ( t ) y 0
t t
称平衡点 P0 ( x 0 , y 0 ) 是稳定的（stable）；否则
P0 是不稳定（unstable）的。
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平面线性微分方程组的平衡点分类
dx ax by dt dy cx dy dt ( 2)
A） B C
aij 0, i , j 1, 2,3; ai 0 0, i 1, 2,3
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（3）捕食链：A是B的食饵， B是C的食饵。
dx 1 dt x1 ( a 10 a 11 x1 a 12 x 2 ) dx 2 x 2 ( a 20 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 ) dt dx 3 dt x 3 ( a 30 a 32 x 2 a 33 x 3 )
C B ）
aij 0, i , j 1, 2,3; ai 0 0, i 1, 2,3
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（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B ， C 。
dx1 dt x1 ( a10 a12 x 2 a13 x 3 ) dx 2 x 2 ( a 20 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 ) dt dx 3 （ B x ( a a x a x a x ) 3 30 31 1 32 2 33 3 dt
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3 三种群的一般模型
三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但 建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中 每两个种群之间的关系仍可归结为： 相互竞争、相互依存、弱肉强食。 三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。 这些模型用方程组表示，或用图形表示。
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记三个种群分别为
a11 0, a 22 0 表示甲（乙）种群为密度制约；
3) 4)
a12 0, a 21 0 a12 0, a 21 0
表示甲、乙种群相互竞争； 表示甲、乙种群相互依存；
5) a12 a 21 0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。
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模型的应用
1）同一行业的大鱼吃小鱼现象； 2）企业合作或竞争对企业业绩的影响。
(1)
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相平面： 轨线：
x , y 所在的平面。
dx f ( x, y ) dt dy g ( x , y ) dt
l ( x(t ), y(t )) : x f ( x(t ), y(t )), y g ( x(t ), y(t )), t
1t 1t x ( t ) c11e c12te y (t ) c e 1t c te 1t 21 22
1t
2t
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p ( a d ), q ad bc
1, 2
p
p 2 4q 2
C A B A
C B C B A
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下面对于种群种内影响和种间影响均为线性 情形，建立其相互作用的数学模型（Volterra 模型） （1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。 设 A，B，C 在t 时刻的密度分别为 x1 (t ), x 2 ( t ), x 3 ( t ) 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的；
A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且
相互竞争。图示如下：
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dx 1 dt x1 ( a 10 a 11 x1 a 12 x 2 a 13 x 3 ) dx 2 （ A x ( a a x a x a x 2 20 21 1 22 2 23 3 ) dt dx 3 dt x 3 ( a 30 a 31 x1 a 32 x 2 )
其中 p (a d ), q ad bc
1, 2
p
唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。 方程组（2）解的一般形式为
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方程组（2）解的一般形式为
x(t ) c11e c12 e y (t ) c e 1t c e 2t 21 22
其中 a , b , c , d 是常数。
a 记系数矩阵 A c b d
det A 0
系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。
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记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：
a b D() 2 p q 0 c d (3)
p 2 4q 2
A） B） C）
aij 0, i , j 1, 2,3; ai 0 0, i 1, 2,3
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dx 1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 ) dx 2 x 2 ( a 20 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 ) dt dx 3 dt x 3 ( a 30 a 31 x1 a 32 x 2 a 33 x 3 )
1
2
3
Leabharlann Baidu
并约定
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1 2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
2
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1 4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1 5）种群 1 与种群 2 互惠共存： 1
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2 2
如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系， 则三者关系有三种： 两个食饵种群，一个捕食者种群。 一个食饵种群，两个捕食者种群。 捕食链。