误差理论

考虑到宁大勿小原则，就求方和根值为绝对不确定度
N ( f f f f x1 ) 2 ( x2 ) 2 ( x3 ) 2 ... ( xn ) 2 x1 x2 x3 xn
对有些函数关系是乘除，先求相对不确定度，
然后再求绝对不确定度较为方便。 相对不确定度： ln N ln f ( x1 , x 2 ...... n ) x
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2. 物理实验的任务和目的 大学物理实验是对理工科学生进行科学实 验基本训练的一门独立基础必修课，是学生进 入大学后受到系统实验方法和实验技能训练的 开始。
3. 物理实验的基本程序 大学物理实验课的内容：测量某一物理量 或研究某一物理量随另一物理量变化的规律， 学会正确使用某些仪器设备。
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基本实验 (1)实验课分类
三、实验数据处理
1.测量值的处理 （1）直接测量 1）单次测量：最佳测量值=单次测量值 不确定度 x 仪 表示为： y x 仪 2）多次测量：最佳测量值=测量的算术平均值
1 n x xi n i 1
不确定度为
x 2 2 A B
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结果表示为： y x x
N ln f ln f ln f ln f ( x1 ) 2 ( x2 ) 2 ( x3 ) 2 ... ( xn ) 2 N x1 x2 x3 xn
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前面式中的x1，x2，……xn是包括了测量误 注意：
差和仪器误差。如果只是单次测量只有仪器误差。 最后的N位数只取一位，且只进不舍。 2.不确定度的计算 （1）仪器误差的确定 (B类不确定度)
如：满量程Am=100mA，k =1.5级，则
仪 100 1.5% 1.5mA
此时就算是测量的值只有2mA也这个误差。 电阻箱的不确定度为： 仪 x k % 读数级别% 数字仪表按规定如：某万用表（0.8%读数+3字）
若读数为1.346， 仪 0.0138
B 仪 0.014
（2）简接测量
首先导出不确定度的传递公式
1）单值函数
dN f , dx
N f (x)
dN f dx,
其中dN是微小量，即是不
确定度N， x是测量值的不确定度。 dx
df f 是不确定度的传递函数， dx df N x 为不确定度的传递公式。 dx
2）多元函数 N f ( x1 , x2 ,....xn )
1. 3 6 2 3 米尺 游标尺 螺旋测微仪 指针式表 数字仪表
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（2）有效数字运算规则 二条规则： ①最后运算结果的有效数字只保留一位估计位； ②由不确定度决定有效数字。 1）加减运算：有效数字的位数对齐，如： 24.8+3.96=28.76=28.8，
537-61.28=475.72=476，
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二、实验误差理论
（一）测量 1.测量的定义
测量将待测的物理量与一个选来作为标准的同类 量进行比较，得出它们之间的倍数关系。这倍数称 为待测量的数值，标准的同类量称为单位。 2.测量分类 （1）直接测量：由仪器或量具与待测物进行比较 直 直接得出的结果； （2）间接测量：由直接测量的数据，根据一定的 公
4）有效数字的其它表示：
①科学表示时，有效数字的位数是底数； 1.28 105 如： 表示3位有效数字， 不能写成128000。 ②对参与运算的常数如：， ，N
0
等不是测量值，一般是比测量值多取一位参加运算。 13
4.测量结果的表示
最佳测量值
测量值=最佳测量值不确定度
y x x（单位）
因为我们用算术平均值来作为最佳值，所以用 算术平均标准偏差表示。公式为
Sx Sx n
n 1 xi2 n( n 1) i 1
所以默认不确定度为
S
2 B
2 x
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例1. 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系
统误差和粗大误差，测得数据如下（单位：mm） 75.02，75.04，75.06，75.00，75.04，
75.08，75.06，75.02，75.06，75.08 解： 可得平均值为 x 75.046mm 求不确定度。
0.00644 0.027mm 标准偏差为 S x 10 1 n 1 算术平均值的 S S x 0.027 0.0085mm x 标准偏差为 n 10
不确定度为
综合性实验 设计性实验 预习实验 (2)实验程序 进行实验
预习实验原理、 15% 要求、方法等 学习仪器使用 55% 测物理量等 实验数据处理 30% 误差计算分析
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实验报告
(3)评分方法
（3）实验报告的撰写： 主要有四部分内容，用统一实验报告册； ①实验预习：实验名称、目的、仪器、原理、 方法等； ②测量的原始数据记录，一般用表格记录； ③数据处理，包括作图，误差计算等； ④小结，回答问题等。
V 1 2D 2d 2 2 Ex ( h) ( 2 D) ( 2 d )2 V h D d2 D d2
来自百度文库
0.081
绝对不确定度为
V ExV 0.081 9.436 0.07643 0.08cm
若结果是0.07336也取0.08，宁大勿小。 结果表示为
统计规律，我们就是研究随机误差。 （3）过失误差：这是人为造成的粗大误差，是要剔除。 系统误差与随机误差，对测量者而言，这二种误差 都存在。
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（4）正确度、精密度、精确度概念 正确度：表示实验（测量）结果中系统误差大小的 程度，实验系统误差小即正确度高。
精密度：表示实验（测量）结果中随机误差大小的 程度，实验随机误差小即精密度高。 精确度(准确度)： 表示实验（测量）结果与真值的 一致程度，实验系统误差和随机误差都很 小，则其精确度高。
规律是与位数最少的有效数字相同。运算过程中， 多余的数按尾数舍入法的规则，小于5则舍，大于5则 入，等于5则把尾数凑成偶数。 4.327504.328，4.328504.328，4.237494.237
37.8437.8， 2.252.2， 2.2512.3，
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2）乘除运算： 1.724.1=7.052=7.1， 5.39÷23=0.234347…=0.23， 取有效数字位数最少的位数。 3）其它运算：乘方、开方由底数位数确定， 对数、指数、三角函数由不确定度来决定其位数。 如：25.362=643.1296=643.1， 36.87 6.0720631 6.072
提高计算效率等内容。它不光是一种处理数据的方法，
而且也是实验方法的一个不可分割的内容。
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作图法的优点是直观、方便、有取平均的效果。 测量的数据标在图上，或是计算后的数据标在图上， 常用有等分线性和对数坐标的图。 已知在温度t=010C的区间内，水的饱和蒸气压 例3： PW的数值如下表所示，求7.7C下水的饱和蒸气压。
f f f f 求全微分可得 dN dx1 dx2 dx3 ... dxn x1 x2 x3 xn 16
f f f f dN dx1 dx2 dx3 ... dxn x1 x2 x3 xn
即
N
f f f f x1 x 2 x3 ... x n x1 x 2 x3 x n
关系式，通过运算得出和结果。
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（二）误差理论
1.测量误差的普遍性 (1)真值 X：每个物理量本身的客观实际值，称为真 值。 (2)测量值 x：由仪器或量具等得出的数值。
由于仪器或量具的分辩率、灵敏度、精确度等限
制，测量值不可能绝对准确，与真值有差别。 (3)误差 ： x X , 称为测量误差。测量误差贯 穿于测量过程的始终，误差可以小，但不可能没有。 ①绝对误差， ②相对误差。
（1）绝对不确定度 x
不确定度
测量值的单位
1)A类不确定度： 用统计方法评定的不确定度 如： A S x 2)B类不确定度：不能用统计方法评定的不确定度
x （2）相对误差： Ex 100% x
如：系统、仪器误差等， B
仪 C
修正因子 C=1
不确定度为： x 2 2 不确定度宁大勿小原则 A B 14
ln V ln

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ln h ln( D 2 d 2 )
二边微分得
dV 1 2D 2d 0 dh 2 dD 2 dd 2 2 V h D d D d
V 1 2D 2d 0 h 2 D 2 d 2 2 V h D d D d
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可得相对不确定度
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2.误差分类 （1）系统误差： 误差的大小和符号保持不变，或按一 定的规律变化。发现系统误差，减小或修正系统误差
是实验中的一个重要技能，既要有经验又要有理论。
在多次测量中，物理量的 （2）随机误差（偶然误差）： 测量值时大时小，是一种随机性的误差，随机误差是
无法消除，只可能减小。但大量的测量值符合一定的

(a)
(b )
(c )
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3.测量值的有效数字 （1）有效数字的概念与读取 有效数字的组成：把测量结果中可靠的位数加上不 确定的一位（或是有误差的一位）称为测量结果的有 效数字。 如：0.123，2.475，34.20，5.00等； 最后的一位是估计位，不确定的； 前面的0不是有效位数，后面的0是有效位数。
一般按仪器规定取，若没规定则有刻度的按最小分
度值的一半取，数字仪器没有规定取最后一个字。 如：米尺取分度值一半；而游标卡尺的最小分度是 0.02mm，不确定度也是0.02mm；千分尺的最小分度 是0.01mm，但仪器规定不确定度是0.004mm。
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指针式仪表有等级的规定是：
电表为： 仪 Am k %
则结果表示为1.350.02， 而不是1.350.01
这是根据不确定度宁大勿小原则，不确定度是只进不舍。
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（2）随机误差的确定 (A类不确定度) 规定随机误差用标准偏差表示。标准偏差的计算公式为
1 n Sx ( xi x ) 2 n 1 i 1 1 n xi2 n 1 i 1
3
V 9.44 0.08cm
3
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3.实验数据处理基本方法
（1）列表法 表格一般没有统一的格式，可以自行设计。用来记 录测量的数据，直接测量计算的平均值及不确定度，
某些中间结果。要求有名称、单位等。
（2）作图法 用作图法可研究物理量之间的变化规律，可求得物 理量的数值，发现系统误差，作修正曲线或校准曲线，
V

4
h( D d )
2 2
h
d D
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1 3.1416 2.575(3.6002 2.8002 ) 4
9.436cm3
不确定度为， 因为是简接测量，所以要应用
N ln f ln f ln f ln f 2 2 2 ( x1 ) ( x2 ) ( x3 ) ... ( xn ) 2 N x1 x2 x3 xn
( xi x ) 2
S 0.02 0.0085 0.022
2 B 2 x
2 2
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不确定度为 测量结果为
0.03mm
x x 75.05 0.03mm
例2：已知金属环的外径 D=3.6000.004cm， 内径 d=2.8000.004cm，高 h=2.5750.004cm， = 则金属环的体积的测量结果。 解： 体积的公式为
大学物理实验
误差理论与数据处理 陈子栋
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大学物理实验误差理论与数据处理
一、绪论 二、实验误差理论 三、实验数据处理 四、实验常用方法
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一、绪论
1.物理实验的地位和作用 近代科学历史表明，自然科学领域内的所 有研究成果都是理论和实验密切结合的结晶。 随着科学技术的发展，实验也日益广泛和复 杂，实验的精确程度越来越高，实验环节在科 学技术的重大突破中所起的作用也越来越大。 物理实验是科学实验的重要组成部分之一。 物理概念的确定，物理规律的发现，物理理论 的建立都有赖于物理实验。