人教版高中 数学必修4学案 平面向量基本定理

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2．3.1 平面向量基本定理

自主学习

知识梳理 1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量a ，____________实数λ1，λ2，使a ＝________________.

(2)基底：把__________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2. 两向量的夹角与垂直

(1)夹角：已知两个______________a 和b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则__________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．

①范围：向量a 与b 的夹角的范围是__________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.

(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作________．

自主探究

设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量．通过作图法可以证明：一定存在一组实数(λ1，λ2)使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立，并且(λ1，λ2)是唯一的，请你根据图1和图2叙述这一过程．

对点讲练

知识点一 对基底概念的理解

例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1

＋μ2e 2)；

④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②

回顾归纳 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．

变式训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2；

②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；

④e 1＋e 2与e 1－e 2.

其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号) 知识点二 用基底表示向量

例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b 试用a ，b 表示DC →、BC →、MN →.

回顾归纳 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．

变式训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →

＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.

知识点三 平面向量基本定理的应用

例3 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.

回顾归纳 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；

(2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握． 变式训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，OD →＝2DB →

，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →

＝b .

(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →

； (2)若OE →＝λOA →

，求实数λ的值．

1．对基底的理解 (1)基底的特征

基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．

(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.

课时作业

一、选择题

1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋1

2e 2

C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2

D ．e 1＋e 2，e 1－e 2

2．等边△ABC 中，AB →与BC →

的夹角是( ) A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

3．下面三种说法中，正确的是( )

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③

4．在△ABC 中，D ，E ，F 依次是BC 的四等分点，以AB →＝e 1，AC →＝e 2为基底，则AF →等于( )