课堂练习1

探索特殊矩阵的性质

1.Toeplitz，意为“托普利茨矩阵”。是代数中的

一种特殊矩阵

条自左上至右下的斜线上的元素是常数。形如：

a b c d

e a b c

f e a b

素相同。

matlab中生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。

toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。

例如：

T=toeplitz(1:6).

c=[1:6],r=[1,12:2:30]

T1= toeplitz(c,r)

2.汉克尔矩阵(Hankel Matrix) 是指每一条副对角线上的

元素都相等的方阵

就把toeplitz转90度

例如

a b c d e

b c d e f

c d e f g

d e f g h

e f g h i

就是反对角线上元素一样

生成Hankel矩阵。Hankel矩阵的构成方式是：先指定第一列和最后一行，矩阵中其他所有元素都与其左下角相邻位置的元素相等，即H(i,j)=H(i+1,j-1)。

如

c=1:3,r=[3,7:10]

h=hankel(c,r)

3．魔方矩阵magic

魔方矩阵是有相同的行数和列数，并在每行每列、对角线上的和都相等。你能构造任何大小（除了2x2）的魔方矩阵。

在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。

4 9 2

3 5 7

8 1 6

这就是一个最简单的3阶平面魔方。因为魔方的智力性和趣味性，很多游戏和玩具都与魔方有关，如捉放曹、我们平时玩的六面体，也成为学习编程时的常见问题。如

for n=3:20

A=magic(n)

r(n)=rank(A)

end

4. 帕斯卡矩阵pascal

帕斯卡矩阵：由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。

杨辉三角形表是二次项(x+y)^n 展开后的系数随自然数n 的增大组成的一个三角形表pascal(4)

P=pascal(10)

5. Hilbert矩阵

其元素A（i,j）=1/(i+j-1)，i,j分别为其行标和列标. 希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。

如

%Hilbert

tic

[x,y]=meshgrid(1:20,1:100);z=x+y;H=(1./(z-1));toc