有理数混合运算简便算法与技巧

有理数的计算方法与技巧

有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。

一、四个原则：

①整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。

②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。

③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。

④分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运

二、运算技巧

①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算, 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

1 1

例：计算：—(0.5) -( —3 — ) + 2.75 —(7—)

4 2

1 i

解法一：一(0.5) —( —3丄)+ 2.75 —(7 -)

4 2

1 1

=(—0.5 + 2.75) + (3 - —7 —)

4 2

1

=2.25 —4丄

4

解法二：- 1 1

-(0.5) —( —3丄)+ 2.75 —

=-0.5 + 3 1+ 2.75 - 71

4 2

1 1

=(3 + 2 —7 ) + ( —0.5 + 丄+ 0.75 —1 )= —2

4 2

评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题•同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法.

②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。

将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率.

例：计算：-11-2- 4- -5111-3.8

6 3 5 3 6

分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。

11 2 1 4

解：原式=(-1 1—) (_ 2 5 —) (4 3.8)

6 6 3 3 5

一8 1

一7

例：计算：19 + 299+ 3999+ 49999

解：19 + 299+ 3999+ 49999

=20—1 + 300—1 + 4000—1 + 50000- 1 =(20 + 300+ 4000+ 50000) —4

=54320—4

=54316.

③ 分解：将一个数分解成几个数和的形式，或分解为它的因数相乘的形式

1111

例：计算：「2 — 5 4— 3 —

4 2 3 6

（1 1 1 1、

解：原式十2+5_4+3

）+（寸亍3+6）

I 12 12 12 12 丿

2004

评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决•解这类问

题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决.

=2 - =2 丄

12 12

例：计算：2008 200920092009-2009 200820082008。 解：原式=2008 2009 100010001-2009 2008 100010001

=0

例：计算

2005x

裟-

1001 x

誥-

解: 2005 X

2003 - 1001 "001

2004 1002

=(2004 + 1) X

哋-(1002 - 1) x ㈣

2004 1002

=(2003 - 1001) + ( 2003 +

2004

1001) 1002)

=1003

2001

④ 约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简

6

( 111

例：计算：-25

5

-0

・125

「纣。6 2

- 8 1

；

6

-2.5 0.125 1.25 5

2 1 1 1

0.6 2 1 2 8 4

所以原式=4005

⑥裂项相消法：凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法

解：原式 ⑤倒序相加: 利用运算律，改变运算顺序

,简化计算。

例: 计算

1_ 2 丄 4005

2003 +

2003 2003 2003

解: 设一盘佥

丄■ 2003

籍，把等式右边倒序排列，得

4005 . 4004 …

2003

2003

A

2003

2003

将两式相加,

+

2003

啤 (^_

2003 2003

2003 2003 2003

即 2A =2 4005， 所以A=4005

11 | | 11 | 11

⑦正逆用运算律：正难则反，逆用运算定律以简化计算。

乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算.而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立, 有时逆用也可使运算简便。

在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵 活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快.

例：计算：17.48 X 37+ 174.8 X 1.9 + 8.74 X 88.

解: 17.48 X 37+ 174.8 X 1.9 + 8.74 X 88 =17.48 X 37+ (17.48 X 10) X 1.9 +

17.48 X 44

=17.48 X 37+ 17.48 X 19+ 17.48 X 44 =17.48 X (37 + 19+ 44) =1748 .

评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率.

⑧变序

在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中, 技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算.

i 4 |

1 1 --- + ----- + 1x4 4x7

例: