2019-2020年高考数学一轮复习第八章立体几何层级快练48文

2019-2020年高考数学一轮复习第八章立体几何层级快练48文

1．(2017·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π

答案 A

解析 如图，作PM⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R(R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R

2

－(6－R)2

＝(23)2

，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2

＝64π.

2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π

答案 C

解析 由V ＝Sh ，得S ＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R ＝1222＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为S ＝4πR

2

＝24π.故选C.

3．若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π

答案 C

解析 设正方体的棱长为a ，则a 3

＝8. 因此内切球直径为2，∴S 表＝4πr 2＝4π.

4．(2017·课标全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4

答案 B

解析 根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r ＝

22－12

2＝32，所以圆柱的体积V ＝πr 2

h ＝π×(32)2×1＝34

π.故选B. 5．(2018·安徽合肥模拟)已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为( ) A.324

B.92

4 C.322

D.

92

2

答案 D

解析 设该球球心为O ，因为球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，所以三棱锥S －OAB 是棱长为3的正四面体，其体积V S －OAB ＝13×12×3×332×6＝92

4，

同理V O －ABC ＝924，故三棱锥S －ABC 的体积V S －ABC ＝V S －OAB ＋V O －ABC ＝92

2

，故选D.

6．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.317

2

B ．210 C.132 D ．310 答案 C

解析 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M.

又AM ＝12BC ＝52，OM ＝1

2AA 1＝6，

所以球O 的半径R ＝OA ＝

（52）2＋62＝13

2

. 7．(2018·广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的7

8时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积

等于( )

A.7

6π B.43π C.2

3π D.12

π 答案 C

解析 由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的1

8，三棱锥形容器的体积为

13·34·42·63·4＝1623，所以没有水的部分的体积为223.设其棱长为a ，则其体积为13×34a 2×63a ＝223，∴a ＝2，设小球的半径为r ，则4×13×3×r ＝223，解得r ＝66，∴球的表面积为4π×16＝2

3

π，故选C.

8.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，S －ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.25π16

B.49π

16

C.81π

16 D.243π128

答案 C

解析 如图所示，O 为球心，设OG 1＝x ，则OB 1＝SO ＝2－x ，同时由正方体的性质可知B 1G 1＝

22

，则在Rt △OB 1G 1中，OB 12＝G 1B 12＋OG 12，即(2－x)2＝x 2

＋(22)2，解得x ＝78，所以球的半径R ＝OB 1＝98，所以球的表面积S ＝4πR 2＝81π16

，故选C.

9．(2018·郑州质检)四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )

A ．9π

B ．3π

C ．22π

D ．12π

答案 D

解析 该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF 被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22，可得正方形ABCD 的边长a ＝2，在△PAC

中，PC ＝22

＋（22）2

＝23，球的半径R ＝3，∴S 表＝4πR 2

＝4π×(3)2

＝12π. 10．(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 B

解析 此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r ＝1

2×(6＋8－10)＝2，故选B.

11．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 答案 92

π

解析 设正方体的棱长为a ，则6a 2

＝18，得a ＝3，设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3a ＝3，得R ＝32，所以该球的体积为43πR 3

＝43π(32)3＝92

π.

12．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1

S 2＝________．

答案

63

π

解析 设正四面体的棱长为a ， 则正四面体的表面积为S 1＝4·

34

·a 2＝3a 2

，