十字相乘法PPT课件
合集下载
十字相乘法公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
把下列各式分解因式
(1) x2-7x-8 =(x+1)(x-8) (2) m2-3m-10 =(m+2)(m-5) (3) y2+4y+4 =(y+2)2 (4) a2-2a-8 =(a+2)(a-4) (5) b2-2b-3=(b+1)(b-3)
把下列各式分解因式
(1) x2-5x+4 =(x-1)(x-4) (2) m2-5m-6 =(m+1)(m-6) (3) y2-8y+16 =(y-4)2 (4) a2+4a-21 =(a-3)(a+7) (5) b2+15b-16 =(b-1)(b+16)
=(m+n-2)(m+n-3)
想一想:
把下列各式分解因式
(3) y2-2y(x-1)-15(x-1)2
=[y+3(x-1)][y-5 (x-1)]
=(y+3x-3)(y-5 x+5)
想一想: (4) a2-12a(b+c)+36(b+c)2 =[a-6(b+c)][a-6 (b+c)]
=(a-6b-6c)2
把下列各式分解因式
(1) x2-4x-5 =(x+1)(x-5) (2) m2+5m-6 =(m+6)(m-1) (3) y2+8y-9 =(y+9)(y-1) (4) a2-12a+36 =(a-6)2 (5) b2-7b-18 =(b+2)(b-9)
想一想:
把下列各式分解因式
(1) x2-4xy-5y2 =(x-y)(x-5y) (2) m2+5mn-6n2 =(m+n)(m-6n) (3) y2-8xy+12x2 =(y-2x)(y-6x) (4) a2-12ab+36b2 =(a-6b)2 (5) b2-7bx2-18x4 =(b+2x2)(b-9x2)
十字相乘法[初中七年级数学]课件
![十字相乘法[初中七年级数学]课件](https://img.taocdn.com/s3/m/fcd07150fad6195f312ba677.png)
pq
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
步骤：
x
7
x 1
7
或
1
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
x 7x 6x 顺口溜：竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
试一试：
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
练一练： 将下列各式分解因式 z x xk
x2 5x 6
x2 x 6
x2 7x 12
x2 3x 10
小结：用十字相乘法把形如 x2 px q 二次三项
式分解因式 q ab, p a b
下列各式是因式分解吗？
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
x2 px q x2 (a b)x ab =（x + a ）（x + b）
当q>0时，a、b( 同号 )当q<0时， a、b( 异号 )
试将 x2 6x 16分解因式 x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再 因式分解 。
六、独立练习：把下列
y2 3x 18
各式分解因式
解：原式=
x2 2x 15
十字相乘法(八年级数学精品课件)
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
x 1
x7x 6x
因式分解：
(1) x2 14x 45= (x 5)(x 9) (2) x2 7 x 60= (x 12)(x 5)
(3) x2 29x 138= (x 23)(x 6)
(4) x2 14x 72= (x 4)(x 18) x2 (a b)x ab = (x a)(x b)
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
十字相乘法(1)PPT课件
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解能写成 二次三项式。
例1、把 x2-6x+8 分解因式
2020/10/13
1
例2、把 y4-7y2-18 分解因式 例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
练一练： 把下列各式分解因式
1、x2-11x-12 2 、x2+4x-12
3、x2-x-12
4、x2+5x-6
5、x2-5x-14
6、y2-11y+24
2020/10/13
2
用十字相乘法分解下列因式
1、p2+10p+16 2、x4-13x2+36
3、a8+7a4-98
4、x2+3xy-4y2
5、x2y2+16xy+48 6、(2+a)2+5(2+a)-36 7、x4-2x3-48x2
2020/10/13
3
例4、把 6x2-23x+10 分解因式
十字相乘法的要领是：“头尾 分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14、10(y+1)2-29(y+1)+10
2020/10/13
4
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
6
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 分解因式
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解能写成 二次三项式。
例1、把 x2-6x+8 分解因式
2020/10/13
1
例2、把 y4-7y2-18 分解因式 例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
练一练： 把下列各式分解因式
1、x2-11x-12 2 、x2+4x-12
3、x2-x-12
4、x2+5x-6
5、x2-5x-14
6、y2-11y+24
2020/10/13
2
用十字相乘法分解下列因式
1、p2+10p+16 2、x4-13x2+36
3、a8+7a4-98
4、x2+3xy-4y2
5、x2y2+16xy+48 6、(2+a)2+5(2+a)-36 7、x4-2x3-48x2
2020/10/13
3
例4、把 6x2-23x+10 分解因式
十字相乘法的要领是：“头尾 分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14、10(y+1)2-29(y+1)+10
2020/10/13
4
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
6
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 分解因式
因式分解——十字相乘法 —初中数学课件PPT
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= 9a4-(4a2-4a+1)
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48 = (x2+x-2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= 9a4-(4a2-4a+1)
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48 = (x2+x-2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
十字相乘法(经典教学课件)
试一试：
因式分解：2x2-3x-2
x
解原式=(x-2)(2x+1)
-2
+1
2x
因式分解：
6 x 7 xy 5 y
2
2
2 x y 3x 5 y
2x
-y
5y
3x
a1a2 x a1c2 a2c1 x c1c2
2
a1 x
c1
a2 x
所以原式可以分解为：a1 x c1
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
例1把下列各式分解因式
⑴ x2 - 7x-12
⑵ y2- 8y+15
利用十字交叉线来分解系数，把二次 三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
练习1：把下列各式分解因式。 （1）x2–3x-4
（2）y2 +2y-8
(3) m2-3m-28
(4)x2y2-7xy-18
作业:
1.(1)X2-7x+12
(3)x2+8x+12 (5)x2+6xy-16y2 2. (1) 2x2-7x+3 (2) x2-4x-12 (4) x2-11x-12 (6) x2-11xy+24y2 （2) 5x2+6xy-8y2
3.（1）(m+n)2-5(m+n)+6 (2) a2-12a(b+c)+36(b+c)2
c2
a2 x c2
1.十字相乘法分解因式的公式：
x (a b)x ab ( x a)(x b)
2
a1a2 x a1c2 a2c1 x c1c2 a1 x c1 a2 x c2
十字相乘法-PPT-课件资料
综合运用 7.分解因式：
综合运用
综合运用
综合运用
(1)请你再选择两个类似的部分试一试， 看看是否符合这一规律； (2)换一个月的月历试一下，是否有同样 的规律？ (3)请你利用整式的运算对以上的规律 加以证明．
拓广探索
拓广探索 12.某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有 三种方案： （1）第一次提价p%，第二次提价q%； （2）第一次提价q%，第二次提价p%；
１
ｐ
１
ｑ
ｑ + ｐ = p+q
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式 ，这种方法叫做十字相乘法．
例题 用十字相乘法分解因式：
１ １ 3+ 2+
得换一种拆分方式 现在数是对的， 3 2 符号不对，怎么办呢？ 46
4 ≠ -8 6 ≠ -8
归纳
用十字相乘法分解因式的步骤：
１
-2
１
-6
补充题
提示：二次项是负的，可以先提取出来． 答案：-（y+6）（y-2）
补充题 答案：（5x-4y）（x+2y）
补充题 答案：（3x-y）（5x+4y）
整体思想 答案：（a+b-1）（a+b-3）
整体思想 答案：（xy-9）（xy+2）
整体思想
整体思想 答案：（2x-1）（5x+8）
整体思想
（2）（x+9）（x-2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+7）（x-1）
（2）（x-2）（x-4）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x-1） （2）（x-5）（x+3）
十字相乘法PPT课件
用十字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ乘法解一元二次方程
学习目标 : 理解并学会熟练运用十字相乘法进行因
式分解，解一元二次方程 .
学习重点 : 准确应用十字相乘法进行因式分解并进
行适当变式练习。
一、温故知新、自主学习
1．类比：
多位数乘以多位 数
125
x +7
× 13
× x -1
3 75
-x -7
③求二次函数y=kx2+x－k+1（k≠0，k 为常数）图象与x轴的交点坐标.
五、自我评价:
1，本节课我主要是学习了： 2，仍感觉有困惑 ： 3，我认为我这一节课的表现： （A很棒 B一般 C没发挥出来D还需力）. 4，下节课我打算：
=（x+a）（x+b）
其中 p=a+b ，q=ab
二、探究新知、合作交流
1．自主探究：（十字相乘法解一元二次方程） (1)X2+4X+3=0 (2)X2-7X+12=0
(3) X2-7X-30=0
(4)
X2+2X+
3 4
=0
2．合作交流：（十字相乘法法解一元二次方程） (1)3X2-5X+2=0 (2)12y2-5y-2=0
1 2 5
x2 +7x
16 2 5
X2 +6x -7
（x+7 ）（x-1）= X2 +6x -7
过程的对称：
2．计算：
（x+1）(x+2)= （x+3）(x-5)=
3．因式分解： X2-7X+12=
学习目标 : 理解并学会熟练运用十字相乘法进行因
式分解，解一元二次方程 .
学习重点 : 准确应用十字相乘法进行因式分解并进
行适当变式练习。
一、温故知新、自主学习
1．类比：
多位数乘以多位 数
125
x +7
× 13
× x -1
3 75
-x -7
③求二次函数y=kx2+x－k+1（k≠0，k 为常数）图象与x轴的交点坐标.
五、自我评价:
1，本节课我主要是学习了： 2，仍感觉有困惑 ： 3，我认为我这一节课的表现： （A很棒 B一般 C没发挥出来D还需力）. 4，下节课我打算：
=（x+a）（x+b）
其中 p=a+b ，q=ab
二、探究新知、合作交流
1．自主探究：（十字相乘法解一元二次方程） (1)X2+4X+3=0 (2)X2-7X+12=0
(3) X2-7X-30=0
(4)
X2+2X+
3 4
=0
2．合作交流：（十字相乘法法解一元二次方程） (1)3X2-5X+2=0 (2)12y2-5y-2=0
1 2 5
x2 +7x
16 2 5
X2 +6x -7
（x+7 ）（x-1）= X2 +6x -7
过程的对称：
2．计算：
（x+1）(x+2)= （x+3）(x-5)=
3．因式分解： X2-7X+12=
十字相乘ppt课件免费
中等难度实例解析
总结词
中等难度实例涉及稍微复杂的因式分 解和乘法运算。
详细描述
例如，将3x^3 - 9x^2 + 6x分解为(x - 2)(3x^2 - 3x + 2)，这个过程需要 更深入的理解因式分解的概念，并掌 握更复杂的乘法运算。
高难度实例解析
总结词
高难度实例涉及复杂的因式分解和乘法运算，需要较高的数学技巧。
教师可设计多样化的练习题目，让学生充分练习 和掌握十字相乘法的技巧，提高解题能力。
教师还应关注学生的反馈和表现，及时给予指导 和帮助，促进学生的学习进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
总结词
求解一元一次方程
详细描述
最后，我们将交叉相乘的结果相加或相减，得到一元一次方程的解。如果一元一次方程有两个解，则原多项式方 程也有两个解。
04 实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例主要涉及基本的因式分解和 乘法运算。
详细描述
例如，将2x^2 - 4x + 2分解为(2x 2)(x - 1)，这个过程需要理解因式分解 的概念，并掌握基本的乘法运算。
= b，则这两个数就是方程的两个根。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为两个一元一 次方程，从而求解出方程的根。
这种方法的关键在于找到合适的 m 和 n，使得它们满 足上述条件。
Hale Waihona Puke 原理的数学表达如果 ax^2 + bx + c = 0 是我们要解的 一元二次方程，那么我们可以通过以下 步骤找到它的根
对学生的建议
学生应熟练掌握十字相乘法的步骤和技巧，通过多练习来提高自己的解题能力。
在学习过程中，学生应积极思考和探索，尝试不同的方法和思路，以培养自己的数 学思维和创新能力。
12.2因式分解的方法(第4课时 十字相乘法)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
解法：
am＋an＋bm＋bn
＝(am＋an)＋(bm＋bn)
＝a(m＋n)＋b(m＋n)
＝(m＋n)(a＋b)．
观察上述因式分解的过程，解答下列问题：
(1)分解因式：mb－2mc＋b2－2bc；
解：原式＝(mb－2mc)＋(b2－2bc)
＝m(b－2c)＋b(b－2c)
＝(b－2c)(m＋b)；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－4bc＋4ac－ab＝0，判
−2
4 2 − 11 − 12.
1
1
−2
6
4 2 − 11 + 12
= + 1 − 12 .
1
1
1
−12
新知探究
如何将 2 + 7 + 12 2 因式分解？
类比二次三项式 2 + 7 + 12的因式分解，同样考虑十字相乘法.
将 2 + 7�� + 12 2 看作关于的二次三项式，它的二次项系数是1，
.
一次项的系数
课本例题
例7
1 2 + 7 + 12;
解 1 2 + 7 + 12
= +3 +4 .
2 2 − 8 + 12;
1
1
3
4
3 2 + 4 − 12；
3 2 + 4 − 12
= −2 +6 .
2 2 − 8 + 12
= −6 −2 .
1
1
−6
如果关于x的二次三项式 2 + + 的常数项q能分解成两个因
数与的积，且一次项系数p又恰好等于a + b,那么 2 + + 就可
十字相乘法非常非常好用详解PPT课件
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
a p q,b pq
(3x) (5x) 8x
x2-5x+6 X2+5x-6 x2-5x-6 X2+5x+6
注意：
当常数项是正数时，分解的 两个数必同号，即都为正或都为 负，交叉相乘之和得一次项系数。 当常数项是负数时，分解的两个 数必为异号，交叉相乘之和仍得 一次项系数。因此因式分解时， 不但要注意首尾分解，而且需十 分注意一次项的系数，才能保证 因式分解的正确性。
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
十字相乘法非常非常好用详 解
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的 反向运算，它适用于分解二次 三项式。
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
a p q,b pq
(3x) (5x) 8x
x2-5x+6 X2+5x-6 x2-5x-6 X2+5x+6
注意：
当常数项是正数时，分解的 两个数必同号，即都为正或都为 负，交叉相乘之和得一次项系数。 当常数项是负数时，分解的两个 数必为异号，交叉相乘之和仍得 一次项系数。因此因式分解时， 不但要注意首尾分解，而且需十 分注意一次项的系数，才能保证 因式分解的正确性。
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
十字相乘法非常非常好用详 解
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的 反向运算，它适用于分解二次 三项式。
《分解因式-十字相乘法》ppt课件63264
哪组分解来进行分解因式。
a
11
作业
1. 若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次因式 乘积，则符合条件的整数m个数是多少？
2. ⑴ x2+5x+6； ⑵ x2-5x+6；
(3) x2+5x-6； (4) x2-5x-6
(5) (x－y)2 ＋(x－y) －6
a
12
bYE~
a
13
（4）-12= 1× (-12)或(-1)×12或2×(- 6)或(-2)× 6或 3×(-4) 或(-3)× 4
（5）24= 1× 24或(-1)×(-24)或2× 12或(-2)× (-12) 或 3×8或(-3)× (-8)或4× 6或(-4)× (-6)
（6）-24= 1×(- 24)或(-1)×24或2× (-12)或(-2)× 12或3×(8)或(-3)× 8或4×(-6)或(-4)× 6
十字相乘法
a
1
口答计算结果
*小提示： 整式乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(1)(x+3)(x+4) (2)(x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
提问：
你有什么快速计算类似以上多项式的方法吗？
a
2
观察与发现
两个一次二项式相乘的积 整式乘法 一个二次三项式
4
试一试
把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
(+1)＋(+2)＝+3
x
1
∴x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
顺口溜：竖分常数交叉验，
x 7x 6x
横写因式不能乱。
试一试： (顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。) 2 小结：
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
5 3
用十字相乘法把形如
x px q
2
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
整式乘法中，有
1、口答计算结果
(1)(x+3)(x+4)
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(2)(x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4)
(4) (x-3)(x-4)
2、提问：你有什么快速计算类似 以上多项式的方法吗？
观察与思考
( x 2)(x 3) x 3x 2 x 3 2 （1）
2
x 2 5x 6
x +2 x +3 +3x+2x
反之
x 2 5 x 6 ( a 4 )( a 1 ) a a 4a 4 (1) （2）
a 2 3a 4
a -4 a +1 -4a+a
反之
a 3a 4 (a 4)(a 1)
(2)x2+[(-1)+(-2)]x+(-1) ×(-2)
= [x+(
2 (3)x +
-1)][x+( -2 )]
[(-2) + 1]x + (-2) ×1
观 察 与 思 考
= [x + ( -2)]( x + 1 )
公式推导 归纳总结 2 x + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab = x(x + a) + b(x + a) = (x + a) (x + b) ∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b) 运用公式必须同时具备的三个条件：
一次项系数1 =(-1) +2 ≠1+(-2)
分析: (2)二次项系数为1，常数项-15=1×(-15)=(-1) ×15 =3×(-5)=(-3) ×5,
(2)解: x2-2x-15 =(x+3)(x-5) 2.常数项是负数时，它分解成两个异号因数， 其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相 同。
一次项系数-2=3+(-5) ≠(-3) +5
-
-
t 2 10t 56 =（t
- 4）（t __ __ + 14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数 符号）与p符号相同
例1：分解因式 (1)x2+3x+2 (1)解: x2+3x+2 =(x+1)(x+2)
(2)x2 -7x+6
分析: (1)二次项系数为1，常数项2=1×2 = （-1）×（-2）， 一次项系数3 = 1+2 ≠ （-1）+（-2） 分析:(2)二次项系数为1，常数项6=1×6 =(-1)×(-6) =2×3 =(-2) ×(-3), 一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
(3x) (5x) 8x
练一练： 将下列各式分解因式
x 5x 6
2
x x6
2
x 7 x 12
2
小结： 用十字相乘法把形如
2
x 3 x 10
2
x px q 二次三项式分解因式 q ab, p a b
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
2
x 7 x 60 ( x 12)(x 5)
2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
x 14x 72 ( x 4)(x 18)
2
2 x +
(a+b)x + a b型式子的因式分解
学习目标：
( a + b) x + a b =（x + a) ( x + b ) 2 2、运用公式会对x + (a+b)x + a b型的二次三项式进行因式 分解。
2
类似的
2 ( a 2 )( a 3 ) a 3a 2a (2) (3) （3）
a 2 5a 6
a -2 a -3 -3a-2a
反之
a 5a 6 (a 2)(a 3)
2
下列各式是因式分解吗？
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填
2
、 符号
__ + __ +
1） 1）
__ + 3）（x = （ x x 4x 3
x 2 x 3 =（x __ 3）（x
2
-
y 2 9 y 20 =（y __ 4）（y __ 5）
观察：p与a、b符号关系
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 且（a、b符号）与p符号相同
x 2 7 x 60 ( x 12)(x 5)
x 2 14x 72 ( x 4)(x 18)
2 1.掌握公式x +
1、计算
温故而知新
（1）(x +1) ( x + 2 ) = x2 + ( 1 + 2 )x + 1×2 （2）(x -1) ( x + 2 ) = x2 +[(-1) + 2]x + (-1)×2
（3）(x + a) ( x + b )= x2 +
( a + b )x + a b
2、下列各式能因式分解吗？ （1） x2 + ( 1 + 2 )x + 1×2 = (x +1) ( x + 2 ) （2） x2 +[(-1)+2]x+(-1)×2 = (x -1) ( x + 2 ) （3） x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) ( x + b )
(1)x2+(1+4)x+1×4 = (x + 1 )(x + 4)
将下列各式因式分解
(1)x2+6x+8
2 (3)x -5x+4 2 (5)x -2x-8
(2)y2+7y+12
2 (4)x +2x-8 2 (6)y -7y-18
＋
(7)a2b2-a b-2
小结： 1.运用公式x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b) 必须同时具备的三个条件： (1)二次项系数式是1的二次三项式 (2)常数项是两个数之积 (3)一次项系数是常数项的两个因数之和 2.常数项因数分解的一般规律： (1) 常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
(1)二次项系数式是1的二次三项式 (2)常数项是两个数之积
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x
x
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
2
7
7
或
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
1
(2) 常数项是负数时，它分解成两个异号因数， 其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同。
例3 分解因式 3x －10x＋3 2 x 解：3x －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 3x
2
2
－3
－1 －9x－x=－10x ＋3
例4 分解因式 5x －17x－12 解：5x －17x－12
2
5x
=(5x＋3)(x－4)
－4 x －20x＋3x=－17x
1.分解因式 ：
我最棒，我能行!
最棒最棒我最棒
(1) x2+5x-6
(2) x2-5x-6
(3) x2+5x+6
(4) x2-5x+6
(5) -6x2+7x+5
因式分解时常数项因数分解的一般规律： 1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
例2. 分解因式 (1)x2+x-2
分析：(1)二次项系数为1，常数项-2=(-1) ×2 =1× (-2),
(2)x2-2x-15
(1)解: x2+x-2 =(x-1)(x+2)