《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第2章 电磁场的基本规律

第2章 电磁场的基本规律电磁学的三大实验定律（库仑定律、安培定律和法拉第电磁感应定律）的提出，标志着人类对宏观电磁现象的认识从定性阶段到定量阶段的飞跃。

以三大定律为基础，麦克斯韦提出两个基本假设（关于有旋电场的假设和关于位移电流的假设），进而归纳总结出描述宏观电磁现象的总规律——麦克斯韦方程组。

本章先介绍电磁场的源量（电荷和电流），再从基本实验定律引入电磁场的场量，并讨论其散度和旋度，最后讨论媒质的电磁特性和麦克斯韦方程组。

2.1电荷守恒定律电荷周围要产生电场，电流周围要产生磁场，电荷和电流是产生电磁场的源量。

2.1.1 电荷及电荷密度自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。

带电体所带电量的多少称为电荷量。

迄今为止能检测到的最小电荷量是质子和电子的电荷量，称为基本电荷的电量，其值为191.60210e -=⨯C （库仑）。

质子带正电，其电荷量为e ；电子带负电，其电荷量为-e 。

任何带电体的电荷量都只能是一个基本电荷量的整数倍。

也就是说，带电体上的电荷是以离散的方式分布的。

在研究宏观电磁现象时，人们所观察到的是带电体上大量微观带电粒子的总体效应，而带电粒子的尺寸远小于带电体的尺寸。

因此，可以认为电荷是以一定形式连续分布在带电体上，并用电荷密度来描述这种分布。

1. 电荷体密度电荷连续分布于体积V ’内，用电荷体密度()ρ'r 描述其分布。

设体积元'V ∆内的电荷量为q ∆，则该体积内任一源点处的电荷体密度为'0d ()lim'd 'V q qV V ρ∆→∆'==∆r (2.1.1) 式中的r ’是源点的位置矢量，电荷体密度的电位为3C/m 。

利用电荷体密度()'ρr 可求出体积内V ’的总电荷量()d 'Vq V ρ'=⎰r (2.1.2)2.电荷面密度电荷连续分布于厚度可以忽略的曲面'S 上，用电荷面密度(')S ρr 描述其分布。

设面积元'S ∆上的电荷量为q ∆，则该曲面上任一源点处的电荷面密度为'0d ()lim'd 'S S q qS S ρ∆→∆'==∆r (2.1.3)电荷面密度的电位为2C/m 。

面积'S 上总电荷量为()d 'S Sq S ρ'=⎰r (2.1.4)3.电荷线密度电荷连续分布于横截面积可以忽略的细线'l 上，用电荷线密度()'l ρr 描述其分布。

设长度元'l ∆上的电荷量为q ∆，则该细线上任一源点处的电荷线密度为'0d ()lim'd 'l l q ql l ρ∆→∆'==∆r (2.1.5) 电荷线密度的电位为C/m 。

细线l ’上的总电荷量为()d 'l lq l ρ'=⎰r (2.1.6)4. 点电荷点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将其视为一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。

当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其中的电荷分布已无关紧要，就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上，即将带电体抽象为一个几何点模型，称为点电荷。

设电荷q 分布在中心位于坐标原点、半径为a 的小球体V ∆内。

在r a >的球外区域，电荷密度为零；在r a <的球内区域，电荷密度为很大的数值。

当a 趋于零（即0V ∆→）时，电荷密度为无穷大，但对整个空间而言，电荷的总电量仍为q 。

点电荷的这种密度分布可用数学上的δ函数来描述。

位于坐标原点的点电荷q 的电荷密度可用()δr 函数表示为()()q ρδ=r r (2.1.7)式中的r 是位置矢量，而()0,0,0δ≠⎧=⎨∞=⎩r r r且()0,0d ,0V V δ⎧=⎪=⎨=⎪⎩⎰r r r 积分区域不包含的点积分区域包含的点1若点电荷q 的位置矢量为r ’，其电荷密度则为()()'q ρδ=-r r r (2.1.8)式中0'(),'δ≠⎧'-=⎨∞=⎩r r r r r r ，且()0,''d ,'V V δ⎧=⎪-=⎨=⎪⎩⎰r r r r r r 积分区域不包含的点积分区域包含的点1应该指出，在这里我们只是将δ函数作为点电荷密度分布的一种形式，并从极限的意义来理解它。

点电荷的概念在电磁理论中占有很重要的地位。

2.1.2 电流及电流密度电流是由电荷作定向运动形成的，通常用电流强度来描述其大小。

设在t ∆时间内通过某一截面S 的电荷量为q ∆，则通过该截面S 的电流强度定义为()0d limA d t q q i t t∆→∆==∆ (2.1.9)电流强度一般简称为电流，它的单位为A （安培）。

若电荷的运动速度不随时间改变，则为恒定电流，用I 表示。

在电磁理论研究中，常用到体电流模型、面电流模型和线电流模型。

1. 体电流电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流。

一般情况下，在导体内某一截面上不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。

为了描述该截面上电流的分布，引入电流密度矢量J ，其定义为：空间任一点J 的方向是该点上正电荷运动的方向，J 的大小等于在该点与J 垂直的单位面积的电流，即0d limd n nS i iS S∆→∆==∆J e e (2.1.10) 电流密度的单位是22)/A/m 安米(。

式(2.1.10)中的n e 为电流密度J 的方向，也是面积元S ∆的正法线单位矢量，如图2.1.1所示。

J 也称为体电流密度矢量，但要注意它的单位是2A/m 。

通过任意截面S 的电流则为d Si =•⎰J S (2.1.11)2. 面电流电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量S J 来描述其分布，如图2.1.2所示。

与电流方向垂直的横截面厚度趋于零，面积元S ∆变为线元l ∆，则面电流密度矢量为0d limd S n n l i il l∆→∆==∆J e e (2.1.12)面电流密度的单位是()/A/m 安米。

式中的n e 为面电流方向单位矢量。

通过薄导体层上任意有向曲线l 的电流为()1d S li =•⨯⎰J n l (2.1.13)式中的1n 为薄导体层的法向单位矢量。

3. 线电流电荷在一个横截面积可以忽略的细线中作定向流动所形成的电流称为线电流，可以认为图2.1.2 面电流密度矢量图2.1.1 体电流密度矢量电流是集中在细导线的轴线上。

长度元d l 中流过电流I ，将d I l 称为电流元，也是电磁理论中的重要概念。

2.1.3 电荷守恒定律与电流连续性方程实验表明，电荷是守恒的，它既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。

也就是说，在一个与外界没有电荷交换的系统内，正、负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变，这就是电荷守恒定律。

根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面S 内流出的电荷量应等于闭合面S 所限定的体积V 内的电荷减少量，即d d d d d d S V q V t tρ=-=-⎰⎰J S (2.1.14) 此即电流连续性方程的积分形式。

设定闭合面S 所限定的体积V 不随时间变化，则将全导数写成偏导数，式(2.1.14)变为d d SV V tρ∂=-∂⎰⎰J S (2.1.15) 应用散度定理，d d SVV =∇⎰⎰J S J ，式（2.1.15）可写为d 0V V t ρ∂⎛⎫∇= ⎪∂⎝⎭⎰J + (2.1.16) 因闭合面S 是任意取的，因此它所限定的体积V 也是任意的。

故从式(2.1.16)得0tρ∂∇+=∂J (2.1.17) 此式称为电流连续性方程的微分形式。

当研究恒定电流场时，要维持电流不随时间改变，就要求电荷在空间的分布也不随时间改变。

因此，对于恒定电流场必然有d 0S=⎰J S ，0∇=J (2.1.18)这表明从任意闭合面穿出的恒定电流为零，或恒定电流场是一个无散度的场。

2.2 真空中静电场的基本规律空间位置固定、电量不随时间变化的电荷产生的电场，称为静电场。

描述电场的基本物理量是电场强度矢量。

根据亥姆霍兹定理，静电场的性质由其散度和旋度来描述。

在这一节中，首先讨论静电场的基本实验定律——库仑定律，在此基础上导出电场强度的表达式，进而讨论电场强度的散度和旋度。

2.2.1 库仑定律电场强度 1. 库仑定律 库仑定律是关于两个点电荷之间作用力的定量描述，它以“点电荷”模型为基础。

法国科学家库仑通过著名的“扭秤实验”于1785年总结出来的，其数学表示式为q q图2.2.1 两个点电荷之间的作用力121212230044Rq q q q R R πεπε==F e R (2.2.1)式中的12F 表示点电荷1q 对点电荷2q 的作用力，R e 表示由1q 指向2q 的单位矢量，21R R ==-R e r r ，如图2.2.1所示。

91201108.8510F/m 36επ--≈⨯≈⨯称为真空（或自由空间）的介电常数。

12F 的单位是N （牛）。

若真空中有N 个点电荷12N q q q 、、、，分别位于12N '''r r r 、、、，则位于r 处的点电荷q 受到的作用力等于其余每个点电荷对q 的作用力的叠加，表示为()31'4'Niii iq q πε==--∑F r r r r (2.2.2)这就是静电力的叠加原理。

实验表明，任何电荷都在自己周围空间产生电场，而电场对于处在其中的任何其它电荷都有作用力。

如图2.2.2所示，产生电场的源是点电荷q ，它所在位置称为源点，位置矢量是'r ；取试验电荷0q ，它所在的位置称为场点，位置矢量是r 。

根据库仑定律，0q 受到的作用力为030'4'qq πε-=-r r F r r (2.2.3)可见，此作用力F 与试验电荷0q 的比值仅与产生电场的源电荷q 以及试验电荷所在点的位置有关，故可以用它来描述电场。

因此，电场强度矢量的定义为000limq q →=FE (2.2.4) 式中取00q →的极限是表明试验电荷0q 应为电量足够小的点电荷，以使其引入不会扰动源电荷q 的电场。

将式(2.2.3)代入式(2.2.4)，即得到点电荷的电场强度()33000'44'q q q R πεπε-===-F r r E r R r r (2.2.5) 可见，电场强度E 是一个矢量函数。

点电荷的电场强度的大小等于单位正电荷在该点所受电场力的大小，其方向与正电荷在该点所受电场力方向一致。

电场强度的单位是V/m （伏/米）。