数学建模之冰山运输

数学建模之冰山运输

1.冰山运输

在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地,水资源十分贫乏,不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水,成本大约是每立方米淡水0.1英镑.有些专家提出从相距9600km之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾,以取代淡化海水的办法.这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性.

模型准备为了计算用拖船运送冰山获得每立方米所花的费用，我们根据建模的需要收集到以下数据。

1.三种拖船的日租金和最大运量

船型小中大

日租金(英镑)4.06.28.0

最大运量(立方米)

2.燃料消耗(英镑/千米)。主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略。

冰山体积()

船速(km/h)

18.410.512.6 310.813.516.2 513.216.519.8 3.冰山运输过程中的融化速率(即米/天)。指在冰山与海水、大气接触处每天融化的深度。融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故。

与南极距离(km)

船速(km/h)01000 4000 100.10.3 300.150.45 500.20.6

模型假设:1.船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距离9600km。

2.冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同。这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，体积的变化才能简单地计算。

3.冰山到达目的地后，1冰山融化成0.85水。

模型构成:首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中的燃料消耗，由此可以算出到达目的地的冰山体积和运费，在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式。模型构成可以分为以下几步。

1，冰山融化规律

问题分析:记冰山球面融化速率r米/天，船速为u km/h，拖船与南极距离为d km

根据表5中给出的数据，运用MATLAB绘制出三维图，其程序和三维图如下: u=[1,3,5];

d=[0,1000,4000];

[X,Y]=meshgrid(u,d);

r=[0,0,0;0.1,0.15,0.2;0.3,0.45,0.6];

surf(X,Y,r)

1.

可以看出是存在着线性关系，故假设如下:

(1)

r=

其中a1,a2,b为待定参数。从上可以确定出:(2) 当拖船从南极出发航行第T

天时，与南极距离为 (3)

(1)得记第t天冰山球面半径融化速率为，将(2)(3)代入(4)

记第t天冰山半径为，体积为，则

(5)

(6)

其中，为从南极启运时冰山的初始体积和半径。由(4)--(6)可知冰山体积是船速u，初始体积和航行天数t的函数，记作V(u,,t)有 (7)

其中由(4)表示

2.燃料消耗费用:

分析表4给出的燃料消耗的数据可以看出，q对船速u和冰山体积V的对数均按线性关系变化，所以设

(8)

C1,c2 c3为参数，据表可以确定

(9)

由(7)--(9)可以将拖船航行第t天的燃料消耗记作q(u,,t)有 (10)

3.运送冰山费用:

费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成。有表3知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积决定，记日租金为f(),显然 4.0,

f()=6.2,(11)

8.0,

因为当船速为u时冰山抵达目的地所需天数为，所以租金费用为。而整个航程的燃料消耗为，由(10)得

(12)

4冰山运抵目的地后可获得水的体积

将t=T代入(7)知，冰山运抵目的地后的体积为

(13)

注意到假设(3)，则得到水的体积为

(14)

5.每立方米水所需费用

记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为，由(12)，(14)有 (15)

模型求解

这个模型归结为选择船速u和冰山初始体积，使(15)表示的费用最小。是

分段函数，故固定一系列值对u求解。

u 33.5 44.5 5

0.07230.06830.0649 0.0663 0.0658 0.22510.20130.01834 0.1842

0.1790 78.90329.82206.2138 5.4647 4.5102

结果分析

由上可知选最大的冰山初始，船速u=4--5,每立方米的费用约为0.065英

镑。小于海水淡化的费用，但是未考略其他的因素，一些假设和现实有差距，故这个模型很简单。