河海大学材料力学第四章 弯曲内力
合集下载
材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
C
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
材料力学习题册答案-第4章 弯曲内力
第四章 梁的弯曲内力一、 判断题1． 若两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，则两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。
（ × )2． 最大弯矩必然发生在剪力为零的横截面上。
（ × )3． 若在结构对称的梁上作用有反对称载荷，则该梁具有对称的剪力图和反对称的弯矩图。
图 4-1 二、 填空题1．图 4-2 所示为水平梁左段的受力图，则截面 C 上的剪力 SC F =F ，弯矩C M =2Fa 。
2．图 4-3 所示外伸梁 ABC ，承受一可移动载荷 F ，若 F 、l 均为已知，为减小梁的最大弯矩值，则外伸段的合理长度 a= l/3 。
图 4-2 图4-33． 梁段上作用有均布载荷时，剪力图是一条 斜直 线，而弯矩图是一条 抛物 线。
4． 当简支梁只受集中力和集中力偶作用时，则最大剪力必发生在 集中力作用处 。
三、 选择题1． 梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为（ C )。
A Fs 图有突变， M 图无变化 ；B Fs 图有突变，M 图有转折 ；C M 图有突变，Fs 图无变化 ；D M 图有突变， Fs 图有转折 。
2． 梁在集中力作用的截面处，它的内力图为（ B )。
A Fs 有突变， M 图光滑连续 ；B Fs 有突变， M 图有转折 ；C M 图有突变，凡图光滑连续 ；D M 图有突变， Fs 图有转折 。
3． 在图4-4 所示四种情况中，截面上弯矩 M 为正，剪力 Fs 为负的是（ B ）。
图 4-44．梁在某一段内作用有向下的分布力时，则在该段内， M 图是一条（ A ）。
A 上凸曲线； B下凸曲线；C 带有拐点的曲线；D 斜直线。
5．多跨静定梁的两种受载情况分别如图4-5 ( a ）、（ b ）所示，以下结论中（ A ）是正确的。
力F 靠近铰链。
图4-5A 两者的 Fs 图和 M 图完全相同；B 两者的 Fs 相同对图不同；C 两者的 Fs 图不同， M 图相同；D 两者的Fs图和 M 图均不相同。
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
河海大学,材料力学,课件,第4章,平面弯曲,力学解析
d3
32
23.36 103 mm3
2
max
M max Wz
128 .4MPa
⑶ 工字形截面。 选用50C号工字钢,其截面面积为13900mm2。
WZ 2080 10 3 mm 3
max
M max Wz
14.4MPa
结论如下：
在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的
最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最
任一条纤维的线应变为：
a 'b'
o' o' 12
o o ' ' 12
dθ ρ 2
中性层
( y)d d
oo1' '1
aa' '
d
1
oo'2'2
b'b '
2
y
2.物理方面: E Ey
z y
3.静力学方面:
FN
dA E
A
ydA
A
Sz
0
Sz = 0——中性轴z通过横截面的形心。
Iz
Wz
WZ
=
Iz ymax
弯曲截面系数
①
z轴为对称时：
t max
c max
M Wz
② z轴为非对称时:
t max
Myt Iz
c max
Myc Iz
二、纯弯曲理论的推广
1 M (x)
(x) EIZ
M (x) y
Iz
max
M max Wz
例1 ：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采 用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截 面,试求三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为 140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。
材料力学答案4弯曲内力
A
C
B 出剪力图和弯矩图。
x1
x2
解：1．确定约束力
FAy
l
FBy
M /l
M A＝0， MB＝0
Fs:
Ma / l
M:
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC FS x1＝M / l 0 x1 a
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
剪力图和弯矩图
例1
1kN.m
A
C D B 解法2：1．确定约束力
FAY
Fs（ kN） 0.89
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
1.11
（+）
FAy＝0.89 kN FFy＝1.11 kN
（-）
2．确定控制面为A、C 、D、B两侧截面。
3．从A截面左侧开始画
剪力图。
19
剪力图和弯矩图
例1
x 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在
M－x中。
22
剪力图和弯矩图
例2
q
D 解法2：1．确定约束力
A
B
FAy
9qa/4
4a
a qa FBy
FAy＝
9 4
qa
,
FBy＝
3 4
qa
Fs （+）
（-） qa
7qa/4
2．确定控制面，即A 、B、D两侧截面。
3．从A截面左测开始画
剪力图。
23
剪力图和弯矩图
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
材料力学第四章-弯曲内力
例 题 程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．求约束力
由对称性 FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FS
x＝ ql
2
qx
0 x l
M x＝ ql x qx2 0 x l
22
求弯矩的极值
d
M d
x
x ＝ ql
2
qx
Fs
令
(x) =0
得： x l 2
故
M 极值
＝ ql2
x l 2
F2
杆轴
X
平面弯曲：
FA
梁变形后的轴线所在平面与外力所
在平面相重合
FB 纵向对称面
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
非对称弯曲：
构件不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
三、 梁的计算简图
梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
3 0 FA 6 F 4.5 q 3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
FA 15 kN FB 29 kN
2、计算1-1截面的内力 Fs1 FA F 15 8 7 kN M1 FA 2 F 0.5 15 2 8 0.5 26kN m
3 4
qa, 0
x1
a
FA
3 4
qa
x1 a
3qa
C
M
( x1 )
FA
x1
解：1．求约束力
由对称性 FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FS
x＝ ql
2
qx
0 x l
M x＝ ql x qx2 0 x l
22
求弯矩的极值
d
M d
x
x ＝ ql
2
qx
Fs
令
(x) =0
得： x l 2
故
M 极值
＝ ql2
x l 2
F2
杆轴
X
平面弯曲：
FA
梁变形后的轴线所在平面与外力所
在平面相重合
FB 纵向对称面
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
非对称弯曲：
构件不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
三、 梁的计算简图
梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
3 0 FA 6 F 4.5 q 3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
FA 15 kN FB 29 kN
2、计算1-1截面的内力 Fs1 FA F 15 8 7 kN M1 FA 2 F 0.5 15 2 8 0.5 26kN m
3 4
qa, 0
x1
a
FA
3 4
qa
x1 a
3qa
C
M
( x1 )
FA
x1
材料力学 第四章 弯曲内力
q0 L 6 qL x L:Q 0 3 L Q 0:x 3 q0 2 M ( L x x3 ) 6L x 0 :Q
qx x M 0 : M x R A x 0 2 3
q0
q0 2 M ( L x x3 ) 6L
L
RA
q0 L Q(x) 6
dM L 0:x dx 3
q(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
M(x) Q(x) dx A M(x)+d M(x)
dM 2( x) q( x) 2 dx
d 2 M x qx 2 dx
讨论：特别地，当q=c：
1、q=c>0 : 均布载荷向上，则 M 开口向上的二次抛物线
2、q=c=0 : 没有均载荷，则M为直线 3、q=c<0: 均布载荷向下，则 M 开口向下的二次抛物线
第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩
§4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§4–5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 §4–6 平面曲杆的弯曲内力 §4-7 弯曲内力习题课
§4–1 平面弯曲的概念及实例
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
x
1 a
2
b
图（a） B M2 x2 Q2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
qL
1 2 M2 q( x2 a) qLx2 2
图（c）
§4–4 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
qx x M 0 : M x R A x 0 2 3
q0
q0 2 M ( L x x3 ) 6L
L
RA
q0 L Q(x) 6
dM L 0:x dx 3
q(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
M(x) Q(x) dx A M(x)+d M(x)
dM 2( x) q( x) 2 dx
d 2 M x qx 2 dx
讨论：特别地，当q=c：
1、q=c>0 : 均布载荷向上，则 M 开口向上的二次抛物线
2、q=c=0 : 没有均载荷，则M为直线 3、q=c<0: 均布载荷向下，则 M 开口向下的二次抛物线
第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩
§4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§4–5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 §4–6 平面曲杆的弯曲内力 §4-7 弯曲内力习题课
§4–1 平面弯曲的概念及实例
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
x
1 a
2
b
图（a） B M2 x2 Q2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
qL
1 2 M2 q( x2 a) qLx2 2
图（c）
§4–4 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。
在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。
弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。
首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。
在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。
弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。
在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。
其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。
在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。
弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。
通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。
此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。
在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。
一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。
因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。
最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。
在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。
因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。
总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。
通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。
材料力学4材力弯曲内力
m A i0 m A 3 1 1 .5 5 1 0 9.5 k 6N m
§4-2 梁的剪力和弯矩
同样应S联he系ar变F形or来ce定a义nd剪B力enQd和in弯g 矩MMom的e正nt负in。B如ea图m,规定:
为了正计剪算力梁使的微应梁力段和产位生左移上，右首下先的应相该对确错定动梁时在（外Q力≥作0）用。下任一
m
Ai
0 : RBl
q0l 2
2l 3
0
RB
q0l 3 m Bi来自0 : R Al
q0l 2
l 3
0
RA
q0l 6
显然,所得到的RA和 RB与梁上荷载的合力一 起能满足 SY=0 这一平 衡方程，故计算结果是
正确的。
§4-2 梁的剪力和弯矩
Yi例0 4:- 5a 2 S 如hq e0 l图a ar aQ F所C o 示rc0e， andQ C B e nq d2 0a li2 n g M2 2o 0 m2 1 2e n 5 tk inN Beam 一性 根 分m C 在布 c整荷0:个载M C 长作度用q 2 0a l上的2 受悬a 3 线臂0M Cq 6 0a l32 6 0 2 1 3 1.66 kN m
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ.梁的计算简图
例题4－1计算图a所示悬臂梁的支反力。
解:在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为mA的支反力偶和铅垂
支反力RA。设mA和RA的转向和指向如图b所示。 将梁上的均布荷载以其合力ql/2
代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为3l/4。
称为平面弯曲Plane bending，或更确切地称为对称 弯曲。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲 则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单
§4-2 梁的剪力和弯矩
同样应S联he系ar变F形or来ce定a义nd剪B力enQd和in弯g 矩MMom的e正nt负in。B如ea图m,规定:
为了正计剪算力梁使的微应梁力段和产位生左移上，右首下先的应相该对确错定动梁时在（外Q力≥作0）用。下任一
m
Ai
0 : RBl
q0l 2
2l 3
0
RB
q0l 3 m Bi来自0 : R Al
q0l 2
l 3
0
RA
q0l 6
显然,所得到的RA和 RB与梁上荷载的合力一 起能满足 SY=0 这一平 衡方程，故计算结果是
正确的。
§4-2 梁的剪力和弯矩
Yi例0 4:- 5a 2 S 如hq e0 l图a ar aQ F所C o 示rc0e， andQ C B e nq d2 0a li2 n g M2 2o 0 m2 1 2e n 5 tk inN Beam 一性 根 分m C 在布 c整荷0:个载M C 长作度用q 2 0a l上的2 受悬a 3 线臂0M Cq 6 0a l32 6 0 2 1 3 1.66 kN m
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ.梁的计算简图
例题4－1计算图a所示悬臂梁的支反力。
解:在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为mA的支反力偶和铅垂
支反力RA。设mA和RA的转向和指向如图b所示。 将梁上的均布荷载以其合力ql/2
代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为3l/4。
称为平面弯曲Plane bending，或更确切地称为对称 弯曲。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲 则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单
材料力学 第四章弯曲内力
M=±∑M(Fi)左或右 ±
例1: 已知 q=2 kN / m,求 1-1,2-2,3-3 : , , , 截面上的内力. 截面上的内力.
y
1
q
2 2m 2 3 1m 31m
MA FA
1
x
1-1 截面:FS = 2×2 = 4 kN,M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m 截面: × , 2-2 截面:FS = 2×2 = 4 kN, M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 截面: × , 3-3 截面:FS = 2×1 = 2 kN, M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m 截面: × ,
FS
ql / 2
M
ql 2 / 8
q
A FA FS
x l
B FB
ql / 2
ql / 2
M
ql 2 / 8
可见: 发生在梁两端截面上. 可见 剪力图为斜直线 , FS max = q l / 2 , 发生在梁两端截面上. 弯矩图为二次抛物线, 的截面上. 弯矩图为二次抛物线,M max = ql 2 / 8,发生在 S =0的截面上. ,发生在F 的截面上
a A
x
F1
m m
F2
b B
FS = FA- F1
= ∑Fi左 左
FA y A FA
FB F1
m
C
M = FA x - F1 (x-a) )
M
x
m FS x
= ∑M(Fi)左 (
FS=-FB+F2 =∑Fi右 - 右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)-F2(l-x-b) - =∑M(Fi)右
材料力学第四章__弯曲内力精品文档
形、朝向、有无极值，若有极值，求出极 值的位置和数值。
(6)连线,注明端值和极值的位置和数值。
例题
利用M、 Fs和q之间的积分关系， 作图示梁的Fs 、M图。
A b
P
B b
C m=Pb D b
P
解:1.计算 约束反力
A
B
b
b
RA=P/3 (↑) RB=2P/3 (↑)
FS P/3
+
C
m=Pb D
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
qa
q
D
B
a
a
FBy
qa
（-）
（-）
qa/2 qa2/2
（+）
解：1．确定约束力 C 从铰处将梁截开
qa
MA FAy
FDy
q
FDy FBy
FDyqa/2 FBy3qa/2
FAyqa/2 MAqa2/2
讨论与思考题
图示梁中，若将坐 标x的原点取在梁的 右端，且X坐标以指向左为正，问关系式：
王培荣
2019年10月18日
教学要求
(1)深刻理解弯矩、剪力与载荷集度间的微 分关系、积分关系，并掌握用该关系绘制 或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
*(2)了解用叠加原理作弯矩图的基本方法 。
§4．5
Differential relations between the intensity of distributed load q，shearing force Q and bending moment M
1kN.m
建立 FS－x 和 M－x
A C D E F B 坐标系
(6)连线,注明端值和极值的位置和数值。
例题
利用M、 Fs和q之间的积分关系， 作图示梁的Fs 、M图。
A b
P
B b
C m=Pb D b
P
解:1.计算 约束反力
A
B
b
b
RA=P/3 (↑) RB=2P/3 (↑)
FS P/3
+
C
m=Pb D
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
qa
q
D
B
a
a
FBy
qa
（-）
（-）
qa/2 qa2/2
（+）
解：1．确定约束力 C 从铰处将梁截开
qa
MA FAy
FDy
q
FDy FBy
FDyqa/2 FBy3qa/2
FAyqa/2 MAqa2/2
讨论与思考题
图示梁中，若将坐 标x的原点取在梁的 右端，且X坐标以指向左为正，问关系式：
王培荣
2019年10月18日
教学要求
(1)深刻理解弯矩、剪力与载荷集度间的微 分关系、积分关系，并掌握用该关系绘制 或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
*(2)了解用叠加原理作弯矩图的基本方法 。
§4．5
Differential relations between the intensity of distributed load q，shearing force Q and bending moment M
1kN.m
建立 FS－x 和 M－x
A C D E F B 坐标系
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
材料力学第4章第5章
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
0 x1 1
FS x2 25 10x2
25
M
x2
25
0
x2
x2
10
4
x22 2
0 x2 4
20 31.25
kNm
例4-11 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁旳内
AC段 ：
BC段 ：
3） 作剪力图与弯矩图
例4-7 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。
解：1） 求约束反力并验算
2) 分段列内力方程 CA段 ：
DB段 ：
AD段 ： 3）画出梁旳剪力图和弯矩图
例4-8 如图所示简支梁承受均布载荷作用，载荷集度为 q，梁 旳长度为l，试作梁旳 、Mz图解。： 1） 求约束反力并验算
叠加法作弯矩图
F
q
F
q
A
BA
＋
B
A
B
l
l
l
F
F+qL
1/2qL2+FL
FL
qL
1/2qL2
第五章 弯曲应力
§1 纯弯曲
F
F
a
a
A
B
F F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲
F
后，如其横截面上只有弯
矩而无剪力，这种弯曲称
为纯弯曲。
AC段： 剪力弯曲
CB段：
纯弯曲
pure bending
试验现象：
F
mn
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
q
1 1 2m 2 3
2
1m 31m
1-1 截面：FS = 2×2 = 4 kN，M = -2 ×2 ×3 = - 12 kNm 2-2 截面：FS= 2×2 = 4 kN， M = -2 ×2 ×1 = - 4 kNm
3-3 截面：FS= 2×1 = 2 kN， M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kNm
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系
q FP
M(x)
q(x)
M(x)+d M(x)
C FS(x) dx FS(x)+d FS(x)
x
x dx
由∑Fi=0， FS(x)+q(x)dx -[FS(x)+d FS(x)]=0 d FS(x) / dx=q(x) …………… （1） 由∑MC=0， FS(x)dx+ M(x)+q(x) dx· dx/2-[M(x)+d M(x)]=0 d M(x) / dx= FS(x) …………… （2）
d2 M(x) / dx2=q(x) …………… （3）
例 ： 画出 FS图和 M 图。
160kNm 20kN 20kN/m 4 5 6
A
1
23
C
2m 8m
B
2m
D
FRA
解：1°求反力
FRB
由∑MA= 0，FRB= 148 kN.
∑MB= 0，FRA= 72 kN. 2°画FS、M 图。
FS x
M有极值
5. 极值点
4qa2
qa2
a a qa 2a
2q
qa FS
a
3qa
3qa
M 4qa2 4qa2 5qa2 5qa2 5.25qa2 3qa2
§4-5 用叠加法画弯矩图 在线弹性、小变形的范围内，在几个因素
共同作用下所产生的结果，就等于各个因素分
别作用所引起的结果的总和——叠加原理。
m = ql2 / 8
1. 梁段上q(x)＝0
M x
M x Cx D
M图斜直线
FS x C
FS图水平线
2. 梁段上q(x)＝c
FS x Cx D
FS图斜直线
M x 是x的二次fun q
M图抛物线 无突变，但有拐点
P
3.
FS图突变值为P
4.
M
FS图无影响
FS=0
有突变，突变值为M
第四章 弯 曲 内 力
§4-1 概 述
外力特点: 外力或外力偶作用 在包含轴线的平面内。 变形特点: 轴线弯曲;横截面转 动。
轴线
若外力或外力偶作用在纵向对称 面内，杆的轴线在此平面内弯成一平 面曲线——平面弯曲。
以弯曲为主要变形的杆——梁。
梁的种类:
§4-2 弯曲内力
a A
m
FP1
m
FP2 B
FRA
AC: FS(x) = FRA = FPb / l (0＜x＜ a) M (x) = FRAx = FPbx / l (0≤x≤ a)
BC: FS(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l
(a＜x＜ l)
M (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l (a≤x≤l)
q
a
A
x m = ql2 / 8 l
B
FA
M ql FA ( M ) FA (q) l 2
M q
M ( x ) M ( x) M ( x )
B F M F (M ) A A
b
A
x llqc NhomakorabeaA
x l
B FA ql FA ( q )
2
m = ql2 / 8 q
a A
FS——剪力
M——弯矩
FRA A FRA
x
由∑Fiy =0， FRA- FP1 - FQy =0
FRB
M x
FP1
m
C
得 FS= FRA- FP1 由∑MiC =0，
x M
m
FS
m
FP2
B FRB
-FRA x+ FP1(x-a）+ M =0
得 M = FRA x - FP1(x-a）
FS m
例: 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3 截面上的内力。
A FRA
x l
B FRB
M (x) = qlx / 2 - qx2 / 2
例2:已知FP，求FS(x)和M(x)。并画出内力图。
解： 1°求支座反力 a A
x
FP C
l
b B FRB
由∑MB =0 , FRA = FPb / l 由∑MA =0 , FRB = FPa / l 2°求FS(x)和 M (x)。
§4-3 剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图 FS = FS（x）—— 剪力方程
M = M（x）—— 弯矩方程
例1： 已知 q，求剪力方程和弯矩方程。并 画出FS图和 M 图。 q
解：1°求支座反力 FRA = FRB = q l / 2 2°求方程 FS(x) = q l / 2 - q x ( 0＜x＜l ) ( 0≤x≤l )
x m = ql2 / 8 l
M ( x) M M ( x) M q ( x)
ql2 / 8
B
ql2 / 16 ql2 / 8
b
A
x l
B
q c A
x l
B
ql2 / 8
画剪力图、弯矩图。
a
A
C
F
F
D
a
B
F F F
F FS
纯弯曲：如图CD段。 横力弯曲：如图AC段 和BD段。
M Fa
1 1 2m 2 3
2
1m 31m
1-1 截面：FS = 2×2 = 4 kN，M = -2 ×2 ×3 = - 12 kNm 2-2 截面：FS= 2×2 = 4 kN， M = -2 ×2 ×1 = - 4 kNm
3-3 截面：FS= 2×1 = 2 kN， M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kNm
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系
q FP
M(x)
q(x)
M(x)+d M(x)
C FS(x) dx FS(x)+d FS(x)
x
x dx
由∑Fi=0， FS(x)+q(x)dx -[FS(x)+d FS(x)]=0 d FS(x) / dx=q(x) …………… （1） 由∑MC=0， FS(x)dx+ M(x)+q(x) dx· dx/2-[M(x)+d M(x)]=0 d M(x) / dx= FS(x) …………… （2）
d2 M(x) / dx2=q(x) …………… （3）
例 ： 画出 FS图和 M 图。
160kNm 20kN 20kN/m 4 5 6
A
1
23
C
2m 8m
B
2m
D
FRA
解：1°求反力
FRB
由∑MA= 0，FRB= 148 kN.
∑MB= 0，FRA= 72 kN. 2°画FS、M 图。
FS x
M有极值
5. 极值点
4qa2
qa2
a a qa 2a
2q
qa FS
a
3qa
3qa
M 4qa2 4qa2 5qa2 5qa2 5.25qa2 3qa2
§4-5 用叠加法画弯矩图 在线弹性、小变形的范围内，在几个因素
共同作用下所产生的结果，就等于各个因素分
别作用所引起的结果的总和——叠加原理。
m = ql2 / 8
1. 梁段上q(x)＝0
M x
M x Cx D
M图斜直线
FS x C
FS图水平线
2. 梁段上q(x)＝c
FS x Cx D
FS图斜直线
M x 是x的二次fun q
M图抛物线 无突变，但有拐点
P
3.
FS图突变值为P
4.
M
FS图无影响
FS=0
有突变，突变值为M
第四章 弯 曲 内 力
§4-1 概 述
外力特点: 外力或外力偶作用 在包含轴线的平面内。 变形特点: 轴线弯曲;横截面转 动。
轴线
若外力或外力偶作用在纵向对称 面内，杆的轴线在此平面内弯成一平 面曲线——平面弯曲。
以弯曲为主要变形的杆——梁。
梁的种类:
§4-2 弯曲内力
a A
m
FP1
m
FP2 B
FRA
AC: FS(x) = FRA = FPb / l (0＜x＜ a) M (x) = FRAx = FPbx / l (0≤x≤ a)
BC: FS(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l
(a＜x＜ l)
M (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l (a≤x≤l)
q
a
A
x m = ql2 / 8 l
B
FA
M ql FA ( M ) FA (q) l 2
M q
M ( x ) M ( x) M ( x )
B F M F (M ) A A
b
A
x llqc NhomakorabeaA
x l
B FA ql FA ( q )
2
m = ql2 / 8 q
a A
FS——剪力
M——弯矩
FRA A FRA
x
由∑Fiy =0， FRA- FP1 - FQy =0
FRB
M x
FP1
m
C
得 FS= FRA- FP1 由∑MiC =0，
x M
m
FS
m
FP2
B FRB
-FRA x+ FP1(x-a）+ M =0
得 M = FRA x - FP1(x-a）
FS m
例: 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3 截面上的内力。
A FRA
x l
B FRB
M (x) = qlx / 2 - qx2 / 2
例2:已知FP，求FS(x)和M(x)。并画出内力图。
解： 1°求支座反力 a A
x
FP C
l
b B FRB
由∑MB =0 , FRA = FPb / l 由∑MA =0 , FRB = FPa / l 2°求FS(x)和 M (x)。
§4-3 剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图 FS = FS（x）—— 剪力方程
M = M（x）—— 弯矩方程
例1： 已知 q，求剪力方程和弯矩方程。并 画出FS图和 M 图。 q
解：1°求支座反力 FRA = FRB = q l / 2 2°求方程 FS(x) = q l / 2 - q x ( 0＜x＜l ) ( 0≤x≤l )
x m = ql2 / 8 l
M ( x) M M ( x) M q ( x)
ql2 / 8
B
ql2 / 16 ql2 / 8
b
A
x l
B
q c A
x l
B
ql2 / 8
画剪力图、弯矩图。
a
A
C
F
F
D
a
B
F F F
F FS
纯弯曲：如图CD段。 横力弯曲：如图AC段 和BD段。
M Fa