南开大学数学分析2006

南开大学2006
1．（15分）求极限
()20
4
sin lim
t
t tx dx t →⎰
2．（15分）设122
22
1
211
1
12
1
1
1
n
n n n n n x x x x x x u x x x ---=
，试证：()1
12n
i i i n n u x u x =-∂=∂∑
3．（15分）设()f x 在[]0,2上有界可积，()2
0f x dx =⎰。

求证存在[]0,1a ∈，使
得()1
0a a
f x dx +=⎰
4．（15分）若幂级数0
n n n a x ∞
=∑在()1,1-内收敛于()f x 。

设()0,1
n x ≠∈-满足lim 0n n x →∞
= 和()0n f x =，1,2,n = ，则()0f x =对所有()1,1x ∈-。

5．（15分）设函数()f x 在(),-∞+∞有任意阶导数，且导数函数列()()n f x 在(),-∞+∞
一致收敛于()x ϕ，()01ϕ=。

求证()x
x e ϕ=。

6．（15
分）设(),,f x y z 在球
(){}2
2
2,,1x y z x y
z ++≤上连续。

()(){}2
22
2
,,B r x y z x
y z r =
++≤，()(){}2
2
2
2
,,S r x y z x y
z r =++=，
0r >。

求证
()()()()
,,,,B r S r d
f x y z dxdydz f x y z dS dr =⎰⎰⎰⎰⎰，()0,1r ∈
7．（15分）设(),,f x y z 在全空间上具有连续的偏导数，且关于,,x y z 都是1周期的，即
对任意点(),,x y z 成立 ()()()()1,,,1,,,1,,f
x y z f x y z f x y z f x y z
+=+=+= 则对任意实数,,αβγ，有
0x f f dxdydz y y z αβγΩ⎡⎤∂∂∂++=⎢⎥∂∂∂⎣
⎦⎰⎰⎰
这里[][][]0,10,10,1Ω=⨯⨯是单位立方体。

8．（15分）设A 为三阶实对称方针，定义函数
()(),,,,x h x y z x y z A y z ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
求证(),,h x y z 在条件2221x y z ++=下的最大值矩阵A 的最大特征值
9．（20分）
（1）设设数列0n a ≠满足0n a →，n →∞。

定义集合
{}
,i P ka k Z i N =∈∈，
Z 为整数集，N 为自然数集。

求证对任何实数b ，存在数列k b P ∈使得
lim k k b b →∞
=
（2）试证一个非常数的周期连续函数必有最小正周期。

10．（10分）设()x ϕ是(),-∞+∞定义的连续周期函数，周期为1，且()1
0x dx ϕ=⎰。

令()1
x
n a e nx dx ϕ=
⎰
，对任意自然数n .求证级数2
1
n
n a ∞
=∑收敛。