南开大学数学分析2006

南开大学2006

1．（15分）求极限

()20

4

sin lim

t

t tx dx t →⎰

2．（15分）设122

22

1

211

1

12

1

1

1

n

n n n n n x x x x x x u x x x ---=

，试证：()1

12n

i i i n n u x u x =-∂=∂∑

3．（15分）设()f x 在[]0,2上有界可积，()2

0f x dx =⎰。求证存在[]0,1a ∈，使

得()1

0a a

f x dx +=⎰

4．（15分）若幂级数0

n n n a x ∞

=∑在()1,1-内收敛于()f x 。设()0,1

n x ≠∈-满足lim 0n n x →∞

= 和()0n f x =，1,2,n = ，则()0f x =对所有()1,1x ∈-。

5．（15分）设函数()f x 在(),-∞+∞有任意阶导数，且导数函数列()()n f x 在(),-∞+∞

一致收敛于()x ϕ，()01ϕ=。求证()x

x e ϕ=。

6．（15

分）设(),,f x y z 在球

(){}2

2

2,,1x y z x y

z ++≤上连续。

()(){}2

22

2

,,B r x y z x

y z r =

++≤，()(){}2

2

2

2

,,S r x y z x y

z r =++=，

0r >。求证

()()()()

,,,,B r S r d

f x y z dxdydz f x y z dS dr =⎰⎰⎰⎰⎰，()0,1r ∈

7．（15分）设(),,f x y z 在全空间上具有连续的偏导数，且关于,,x y z 都是1周期的，即

对任意点(),,x y z 成立 ()()()()1,,,1,,,1,,f

x y z f x y z f x y z f x y z

+=+=+= 则对任意实数,,αβγ，有

0x f f dxdydz y y z αβγΩ⎡⎤∂∂∂++=⎢⎥∂∂∂⎣

⎦⎰⎰⎰

这里[][][]0,10,10,1Ω=⨯⨯是单位立方体。

8．（15分）设A 为三阶实对称方针，定义函数

()(),,,,x h x y z x y z A y z ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

求证(),,h x y z 在条件2221x y z ++=下的最大值矩阵A 的最大特征值

9．（20分）

（1）设设数列0n a ≠满足0n a →，n →∞。定义集合

{}

,i P ka k Z i N =∈∈，

Z 为整数集，N 为自然数集。求证对任何实数b ，存在数列k b P ∈使得

lim k k b b →∞

=

（2）试证一个非常数的周期连续函数必有最小正周期。

10．（10分）设()x ϕ是(),-∞+∞定义的连续周期函数，周期为1，且()1

0x dx ϕ=⎰。

令()1

x

n a e nx dx ϕ=

⎰

，对任意自然数n .求证级数2

1

n

n a ∞

=∑收敛。