高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习

面面平行的判定与性质

一、基本内容 1.面面平行的判定

文字 图形

几何符号

简称

判定定理1

判定定理2

2.面面平行的性质

文字 图形

几何符号

简称

性质定理1

性质定理2

二、例题

1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；

(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．

2.在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .

A 1 A

B 1

C 1 C

D 1

D G E

F

F

E

D

B

A

P

C

3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，

PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点.

（Ⅰ）求证：EF BD ⊥；

（Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD .

4. 在四棱锥P

ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA

平面ABCD ，4PA .

（Ⅰ）设平面PAB

平面PCD m =，求证：CD //m ；

（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所

成角的正弦值为

33，求PQ PB

的值．

5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，

EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，

2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点.

（Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；

（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由.

6.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．

（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．

P

D

C B

A

C

A F E B

M D

7 如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2）

（Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ； （Ⅱ）求证：1A E ⊥EP .

图1 图2

8. 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA =PD ，

∠BAD =60º，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．

（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；

（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA // 平面BDQ ；

（Ⅲ）若V P-BCDE =2V Q - ABCD ，试求CP

CQ

的值．

9. 在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC AB ===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点，

G 是棱AB 上的动点.

（I ）求证：⊥C B 1平面BNG ；

(II)若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明；