曲线运动的动力学解
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的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为at=gsinα，式中α为螺旋线的切线与水平面
题4 的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小．
解
小物块切向加速度的水平分量为 ：
: atxgsincos
r A
产生这个加速度的切向水平力大小：
Fm gsincos
B
此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方
曲线运动的动力学解
曲线运动的动力学解
曲线运动与力
♠ 曲线运动发生的条件
合外力方向与速度方向不在一直线
切向力改变速度大小
v
Ft
mat
m t
法向力改变速度方向
ΣFt
Fn
man
v2 m
♠ 求解曲线运动的动力学方法 ΣF
物体运动情况分析
做好两项
分析
物体受曲线力运动的情动力学况解 分析
v
ΣFn
正交分解 法
专题10-例1如图所示，滑块A质量为M，因绳子的牵引而沿水平
导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮O上，鼓轮以等角速度
ω转动．不计导轨摩擦，求绳子的拉力FT与距离x之间的关系．
解 :分析滑块A受力：重力Mg、导轨支持力FN，B绳子拉力FT 分析滑块A运动：
A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点 r
质点轨道半径之比．
解下 上 其 球 :球 中 两分F F m 线析11gs各两itn c球2ao球m sn 受g在力竖及F F2直运2m s动面iR n c轨m o内s迹g的2 态m 势r 可 2以有FRg2左mF2、g1r右图示两种可mFg能F 12r
等号两边相除得
由几何关系得
tan2 2t2an tan2
vt
x2r2
x r x
22
曲线运动的动力学解
FN Mg
Y
小试身手 如图所示，套管A质量为M，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑
动．绳子另一端绕过离杆距离为L的滑轮B而缠在鼓轮上．当鼓轮转动时，其边缘Y
上各点的速度大小为v0．求绳子拉力和距离x之间的关系．
解 :题2 分析滑块A受力：重FT力、导M轨g、支绳持子力拉F力N
F T 1sin F T 2sin m l 2sin
m tag nta n l 2 m ls in2 s in s in s in
g
2tantanl2 sin
tantangl2 sin> 2g 曲线运动的动力学解
mg
ω
mg
<
0
小试身手 如图所示，小物块质量为m，在半径为r的圆柱面上沿螺旋线形
FN
FsinF F FTTcF oTs2sin 2M gM cogscosM M x2vvx x00曲L 22线Lx运2LL 动222 的动力F学T解cM osxg2xT 1L2gx12xvxv20203LLg2L2N 2M cogs
小试身手 如图所示，长度为l的不可伸长的线系在竖直轴的顶端，在线的
架之间的摩擦不计）
解 : 由几何关系知 A O B 2 分析圆木受力 重力mg、支架A、B支持力FNA、 FNB v 分析圆木运动：圆木质心O绕A点转动 v v
FNA
O
vO B
r4
rFNB 5A
圆木与B接触,故接触点具有相同的法向速度 2 v
FN
2
O对A点转动的线速度 v O
2v 2
mg
圆木的运动方程
mg
22FNA
mvO2 r
m
v2 2r
FN m
2 2
g
v2 2r
FNA m
2 v2 2 g 2r
曲线运动的动力学解
v 2 2 gr 否则圆木
已与固定支架脱离
小试身手 如图所示，用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆
周运动，圆心为O，绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小
题10 球，恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，
求：⑴手对细绳做功的功率P；⑵小球与桌面之间的动摩擦因数μ．
解 :小球圆R运动r的2 半L2径设为R
V r2 L2
分析小球受力 绳拉力T；桌面摩擦力 f ∵小球圆周运动，在法向有
v
ω
r
Βιβλιοθήκη Baidu
Tcosm 2 r2L2
R
手拉端速度 v r
R r
Lsin2 sin
Lsin
2
1 2
R r
21
R
R
mg 在α、β小角度的条件下 mg
sinx x tanx
2 2 g 曲线运动的动力学解
L
♣ 水⑴平在直盘水径平点以直上竖径各以直点上的平各临点面界弹的速力内非=W度规0方向律是指的圆周运动
下端悬挂质量为m的一重物．再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂
题1 质量也为m的另一个重物．轴以恒定角速度ω转动．试证明第一根线与竖直线所成
角度小于第二根线与竖直线所成角度．
解 :设第一根线上拉力为FT1，第二根线上拉力为FT2
FT1
在竖直方向 FT1cos2mg FT2cosmg
FT2
在水平方向
A
A
B的平动及以切点B为中心的转动的合成 ω O
vt r vnrtan
x
X A由taF 实由nT :几F 牛 际T 何顿M 运 第g 关s rF 二动in 系N 定 沿s律 in 水F :coT s平s M in M 2 g xg 2 siM n rF 2g T s i n Fs TiM n M xMc v o t2 r rs F 4x c t N a 2o Xn xs 2 5F2 vTnv
P Tv m 3
r2
L2
r
L
L
V
f
∵小球匀速圆周运动，在切向有
f Tsin 2 2
R R L 2 m L 曲线运动的动力学解
小试身手 有两个相同的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一
个水平面内做匀速圆周运动，设两条摆线(长Ｌ)与竖直线所成的夹角都很小．已知
题11 在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两
向水平之力，其对轴产生的力矩即为使 C
D
柱面绕中心轴转动的力矩：
M m gsincosr
m gr sin 2
2 曲线运动的动力学解
小试身手如图所示，质量为m，半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上，
右支架固定不动，而左支架以速度v从圆木下面向外滑．求当两个支点距离
题8 AB 2r 时，圆木对固定支架的压力FN．（两支架开始彼此靠得很近，圆木与支
X
B
FT
分析滑块A运动： 滑块沿导轨向上的运动
L vt vA
x
v0
由A牛实顿速及第际度以二运vB定A为可动律v中视:tX 沿心作:竖F 转v沿T 直0动绳 t，的a向F n切N 在滑s向轮水in 速B平的度 方法vM t的向向g合c 速满o 成s 度足！v 0 M ωx2 vt2 AL 2 M g
题4 的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小．
解
小物块切向加速度的水平分量为 ：
: atxgsincos
r A
产生这个加速度的切向水平力大小：
Fm gsincos
B
此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方
曲线运动的动力学解
曲线运动的动力学解
曲线运动与力
♠ 曲线运动发生的条件
合外力方向与速度方向不在一直线
切向力改变速度大小
v
Ft
mat
m t
法向力改变速度方向
ΣFt
Fn
man
v2 m
♠ 求解曲线运动的动力学方法 ΣF
物体运动情况分析
做好两项
分析
物体受曲线力运动的情动力学况解 分析
v
ΣFn
正交分解 法
专题10-例1如图所示，滑块A质量为M，因绳子的牵引而沿水平
导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮O上，鼓轮以等角速度
ω转动．不计导轨摩擦，求绳子的拉力FT与距离x之间的关系．
解 :分析滑块A受力：重力Mg、导轨支持力FN，B绳子拉力FT 分析滑块A运动：
A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点 r
质点轨道半径之比．
解下 上 其 球 :球 中 两分F F m 线析11gs各两itn c球2ao球m sn 受g在力竖及F F2直运2m s动面iR n c轨m o内s迹g的2 态m 势r 可 2以有FRg2左mF2、g1r右图示两种可mFg能F 12r
等号两边相除得
由几何关系得
tan2 2t2an tan2
vt
x2r2
x r x
22
曲线运动的动力学解
FN Mg
Y
小试身手 如图所示，套管A质量为M，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑
动．绳子另一端绕过离杆距离为L的滑轮B而缠在鼓轮上．当鼓轮转动时，其边缘Y
上各点的速度大小为v0．求绳子拉力和距离x之间的关系．
解 :题2 分析滑块A受力：重FT力、导M轨g、支绳持子力拉F力N
F T 1sin F T 2sin m l 2sin
m tag nta n l 2 m ls in2 s in s in s in
g
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tantangl2 sin> 2g 曲线运动的动力学解
mg
ω
mg
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小试身手 如图所示，小物块质量为m，在半径为r的圆柱面上沿螺旋线形
FN
FsinF F FTTcF oTs2sin 2M gM cogscosM M x2vvx x00曲L 22线Lx运2LL 动222 的动力F学T解cM osxg2xT 1L2gx12xvxv20203LLg2L2N 2M cogs
小试身手 如图所示，长度为l的不可伸长的线系在竖直轴的顶端，在线的
架之间的摩擦不计）
解 : 由几何关系知 A O B 2 分析圆木受力 重力mg、支架A、B支持力FNA、 FNB v 分析圆木运动：圆木质心O绕A点转动 v v
FNA
O
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r4
rFNB 5A
圆木与B接触,故接触点具有相同的法向速度 2 v
FN
2
O对A点转动的线速度 v O
2v 2
mg
圆木的运动方程
mg
22FNA
mvO2 r
m
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FN m
2 2
g
v2 2r
FNA m
2 v2 2 g 2r
曲线运动的动力学解
v 2 2 gr 否则圆木
已与固定支架脱离
小试身手 如图所示，用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆
周运动，圆心为O，绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小
题10 球，恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，
求：⑴手对细绳做功的功率P；⑵小球与桌面之间的动摩擦因数μ．
解 :小球圆R运动r的2 半L2径设为R
V r2 L2
分析小球受力 绳拉力T；桌面摩擦力 f ∵小球圆周运动，在法向有
v
ω
r
Βιβλιοθήκη Baidu
Tcosm 2 r2L2
R
手拉端速度 v r
R r
Lsin2 sin
Lsin
2
1 2
R r
21
R
R
mg 在α、β小角度的条件下 mg
sinx x tanx
2 2 g 曲线运动的动力学解
L
♣ 水⑴平在直盘水径平点以直上竖径各以直点上的平各临点面界弹的速力内非=W度规0方向律是指的圆周运动
下端悬挂质量为m的一重物．再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂
题1 质量也为m的另一个重物．轴以恒定角速度ω转动．试证明第一根线与竖直线所成
角度小于第二根线与竖直线所成角度．
解 :设第一根线上拉力为FT1，第二根线上拉力为FT2
FT1
在竖直方向 FT1cos2mg FT2cosmg
FT2
在水平方向
A
A
B的平动及以切点B为中心的转动的合成 ω O
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P Tv m 3
r2
L2
r
L
L
V
f
∵小球匀速圆周运动，在切向有
f Tsin 2 2
R R L 2 m L 曲线运动的动力学解
小试身手 有两个相同的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一
个水平面内做匀速圆周运动，设两条摆线(长Ｌ)与竖直线所成的夹角都很小．已知
题11 在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两
向水平之力，其对轴产生的力矩即为使 C
D
柱面绕中心轴转动的力矩：
M m gsincosr
m gr sin 2
2 曲线运动的动力学解
小试身手如图所示，质量为m，半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上，
右支架固定不动，而左支架以速度v从圆木下面向外滑．求当两个支点距离
题8 AB 2r 时，圆木对固定支架的压力FN．（两支架开始彼此靠得很近，圆木与支
X
B
FT
分析滑块A运动： 滑块沿导轨向上的运动
L vt vA
x
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由A牛实顿速及第际度以二运vB定A为可动律v中视:tX 沿心作:竖F 转v沿T 直0动绳 t，的a向F n切N 在滑s向轮水in 速B平的度 方法vM t的向向g合c 速满o 成s 度足！v 0 M ωx2 vt2 AL 2 M g