弹塑性力学第十一章标准详解

第十一章习题答案

11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。

解1:（ 1）静力法

首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。分别求出其弯矩图，然后叠 加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下

M A M s , M B M s

设C 点支反力为R C ，贝U ：

R C 2l Pl 1

当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故 P 为该梁的完全解。 （2）机动法

设破坏机构如图（g ）,并设B 点挠度为，则:

C

,(2l l 1)

21

l 1 21 11

外力功W e P

(I

R c (2l h) M s

由上二式得

M p 41 l 1 2l l 1 l 1

k ——

41 l

内力功 W i M AA M B B

—M l 1 21 l 1

由W e W ,可得极限载荷上限为

4l l

i l

i 2l l i

由于在P 作用下，M s M x M s ，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解2：（ 1）静力法

先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的 弯矩图（f ） 设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为: M x

R B l x

在极限状态时，有

M s

x x-1 ,M x 1 M s 令dM X

dx 0 得 q(l X i ) R B 而 R B l iql 2 1 2q (1)、(2)、(3)得 M s 2

l R B l X i 联立解

2qM s i i ql M s M s

(1) (2) (3)

解得q

ii2

i44 i6

M s l 2

在以上q0值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解

（2）机动法如图（g）

设在A、C两点形成塑性铰A B

内力功为

外力功为

由虚功原理W i W

该解与完全解的误差为

3%

q

解3：（1）静力法

设坐标原点在C点，此时弯矩方程为：

BC 段（0 x L 2）M （x） R c x qx2

1 1

AB段（L 2 x l）M （x）&X - ql x T

2 4

取较大的值，可得q011.66

处，M为极大值，设在BC段，由

dM x

dx

得R c q 0

R c

q

(1)

M s M s g2 3M s

l

W e 2 02q x dx 4q

得：q

12M s q0 11.66^

l2

b ----------- ----------------- H

在极限情况下

由于此时形成破坏机构，故q 值完全解 (2)机动法,如图(g )

设此梁在A 和处形成塑性铰，则

8(l

)

⑴ 四边简支，边长为a 的正方形板，载荷作用在板的中点；

(2) 三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用;

(3) 四边简支矩形板，在板上任意点(x,y)承受集中力的作用.

M s

即：R c I 3 .2

8ql

M s

R c

1 2

2q M s

(2) (3)

q 188

取正号q

882 18 32 19.2

M s

A

..I , C

内力功为

W

M A

A

M

B B

M

C C

外力功为

W e

°

q

x dx

I 2

q

A B

I

I

— M s

由虚功原理 W i W 得

I(3I 4)M

s 由极值条件

dq

d

r 7 19 * 21

代入q 的表达式，则得

的极小值

q 11 47 M

s

由于此结果满足 M s

M I

M s

联立解(1)、(2)、(3)得

I x W o g dx

其中 —

4

3

代入上式后，得 W ； 8M s ctg ctg

w 0

4

3 8

16ctg M

s

内力功W i 2M s ctg ctg W

由W e W 得P 2M s ctg

ctg

而ctg

a ctg

2b

2b

a

故P 2M s ―

2b M s a 4

2b

a

b (b )外力功W e Pw 0

a

如破坏时四角可以翘起。内力功W i

8M s ctg ctg W o

由虚功原理W e W 得P 8M s ctg

ctg 3

4

其中值由产0确定即尙

• 2

3 sin

4

由此得

因此P 6.63M