(通用版)202x高考数学一轮复习 2.12 函数模型及其应用讲义 文

第十二节函数模型及其应用

一、基础知识批注——理解深一点

1．常见的8种函数模型

(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x

(k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x

(a >0)．

(1)形如f (x )＝x ＋a

x

(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． ②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x

(a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．

2．三种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a >1)

y ＝log a x (a >1)

y ＝x n (n >0)

在(0，＋∞)上的增减

性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化

随x 的增大，逐渐表

随x 的增大，逐渐表

随n 值变化而各有不

幂函数模型y ＝x n n >0可以描述增长幅度不同的变化，当n ,值较小n ≤1时，增长较慢；当n 值较大n >1时，增长较快.

二、基础小题强化——功底牢一点

一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( )

(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )

(3)幂函数增长比直线增长更快．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (二)选一选

1．在某个物理实验中，测量后得变量x 和变量y 的几组数据，如表：

x 0.50 0.99 2.01 3.98 y

－0.99

0.01

0.98

2.00

则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2

D ．y ＝log 2x

解析：选D 由x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；由x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．

2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝1

2x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一

个月应生产该商品数量为( )

A ．36万件

B ．18万件

C ．22万件

D ．9万件

解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－1

2

(x －18)2＋142，当x ＝18时，

L (x )有最大值．

3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )

A ．减少7.84%

B ．增加7.84%

C．减少9.5% D．不增不减解析：选A 设某商品原来价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，

所以(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，

所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. (三)填一填

4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是____________．

解析：由题意可得y ＝⎩⎨⎧

0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.

答案：y ＝⎩

⎨⎧

0.5x ，0＜x ≤100，

0.4x ＋10，x ＞100

5.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)

解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x

4 m ，

则S ＝x ·200－x 4＝1

4(－x 2＋200x )．

当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)． 答案：2 500

考点一 二次函数、分段函数模型

[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

[解] (1)设每团人数为x ，由题意得0