信号与线性系统第一章

∞
−∞ 1
δ (t − 4)dt ∫
2 2
− 1
δ (t − 4)dt ∫
此题要注意应用冲激信号复合函数的性质, 此题要注意应用冲激信号复合函数的性质,我们知道冲激 信号的含义是t≠0时为零，t=0时有一个冲激信号 t≠0时为零 时有一个冲激信号， 信号的含义是t≠0时为零，t=0时有一个冲激信号，而其 余全为零。 余全为零。这样就不难理解如何求解函数的值了
此时t与Sa(t)中差一π，两符号通用。
典型信号
高斯信号： 4 高斯信号：
K f (t)
f (t) = Ke
−(t /τ ) 2
0
t
特点： 特点：
(1) 形状象一口钟，故有时也称钟形脉冲信号 形状象一口钟， (2) 在随机信号分析中有重要地位 随机信号分析中有重要地位
典型信号
5.单位斜变信号R(t)： 5.单位斜变信号R(t)： 单位斜变信号R(t)
∫
∞
−∞
δ (t ) f (t ) dt =
∞ −∞
∫
∞
−∞
δ (t ) f ( 0 ) dt
f (0)
= f ( 0 ) ∫ δ ( t ) dt = f ( 0 )
对于延迟t0的单位冲激信号有 对于延迟t
∞
0
f (t )
f (t0)
t
∫
−∞
δ (t − t 0 ) f (t ) dt
∞ −∞
= ∫ δ (t − t 0 ) f (t 0 ) dt = f (t 0 )
1 ∞ 1 ∫−∞δ (aτ )dτ = a ∫−∞δ (aτ )d(aτ ) = a a<0 ∞ 1 ∞ ∫−∞δ (aτ )dτ = a ∫−∞δ (aτ )d(aτ ) 1 −∞ 1 ∞ 1 = ∫ δ (t)dt = − ∫ δ (t)dt = − a ∞ a −∞ a
∞
*计 算 下 列 函 数 的 值 f (t ) = f (t ) =
'
1 1 δ (t − 4) = δ (t + 2) + δ (t − 2) −4 4
2
1 = [δ (t + 2) + δ (t − 2)] 4
∞ −∞
δ (t 2 − 4)dt = ∫
∞
1 1 1 1 ∫−∞[ 4δ (t + 2) + 4 δ (t − 2)]dt = 4 × 2 = 2 f (t) = ∫ δ (t − 4)dt = 0
1.3典型连续信号 1.3典型连续信号
1.指数信号 1.指数信号 指数信号的一般数学表达式为x(t)=kest 的不同取值，可以分如下两种情况讨论。 根据s的不同取值，可以分如下两种情况讨论。 正号 x(t)=keσt )=ke
（1）s=σ，此时为实指数信号，即 参数σ 参数σ符号 0
信号随时间按 指数规律增长
指数信号变成恒定 不变的直流信号 信号随时间按 指数规律衰减
负号 大 绝对值 小
图1.3用MATLAB绘制的实指数信号波形
变化速度快
变化速度慢
微分或积分后还是指数信号
典型连续信号
（2）复指数信号 s=σ+jω，此时为复指数信号，利用 欧拉公式，可以进一步表示为
欧拉公式： 欧拉公式：
f (t) = Kest = Ke(σ+ jω)t = Keσt ⋅ e+ jωt = Keσt ⋅ (cosωt + j sinωt) = Ke cosωt + j Ke sinωt
∞ −∞
S a (t ) d t = π
特点：(1) Sa函数是偶数 Sa函数是偶数 特点： (2) 过零区间宽度除原 点附近的过零区间为2pi 点附近的过零区间为2pi 外， 其他过零区间宽度为pi 其他过零区间宽度为pi
sin( π t ) 与Sa(t)函数类似的有sinc(t) 函数： sin c ( t ) = πt
(e (e
jωt
−e +e
− jωt
)
jωt
− jωt
)
−K
0
t
3.抽样信号 3.抽样信号
Sa(t)具有以下性质：
Sa (t ) =
sin t t
t = ± π , L , ± nπ 时 ， S a ( t ) = 0 ; S a ( 0 ) = 1;
∫
π
∞ 0
S a (t ) d t =
π
2
;
∫
∫ − ∞ f (t )δ(t − t0 ) dt = f (t0 )
冲激函数可有不同的定义方式： （１）由矩形脉冲演变为冲激函数。 （２）由三角形脉冲演变为冲激函数。 （３）还可利用指数函数、钟形函数、抽样 函数、狄拉克(Dirac)函数等
狄拉克（Dirac)给出 给出δ 狄拉克（Dirac)给出δ函数定义 （非常规的定义方法）
* δ (t )的复合函数 δ [ f (t )]性质
δ [ f (t )] = ∑
i =1 n
1 δ (t − t i ) f ' (t i )
1 f (t i )
'
此式说明： δ [ f (t )]可以化簡为 t = t i处一系列冲激 函数的迭加，每一冲激 函数的强度等于 .
冲激发生在 f (t ) = 0所解出的互不相同 的实根上。
典型信号
8符号函数Sgn(t)： 符号函数Sgn( Sgn
1, t > 0 Sgn(t ) = − 1, t < 0
Sgn(t) 1
0 t
用以表示自变量的符号特性 Sgn(t) + 1 = 2u(t) Sgn(t) = 2u(t) - 1
-1
1.4 单位冲激信号 及其性质 单位冲激信号δ及其性质
0
u (t )
微分 积分
u (t )
∫
t
−∞
δ (τ ) d τ = u (t )
t
0
t
δ (t )
反之： 反之：阶跃函数的微分应等冲激函数
du ( t ) = δ (t ) dt
0
t
0
t
d)冲激函数的尺度变换 （d)冲激函数的尺度变换
1 δ ( at ) = δ (t ) a
证明： 证明： a > 0
0
t
描述在任一点t=t0处出现的冲激，可定义δ(t-t0)函数： 描述在任一点t=t 处出现的冲激，可定义δ(t- 函数： δ (t − t0 )
∞ ∫ δ (t − t0 )dt = 1 −∞ δ (t − t 0 ) = 0 (当t ≠ t 0 )
1
0
t0
t
（１）矩形脉冲演变为冲激函数
x(t)=k［cos(ωt)+jsin(ωt)］ )=k cos(ωt)+jsin(ωt)
信号波形如图1.4所示。
图1.4复指数信号虚部的波形
复指数信号est是连续信号与系统的复频域分析中使用 的基本信号。其中复频率 s 中的实部 σ 绝对值的大小 反映了信号增长或衰减的速率，虚部ω的大小反映了 信号振荡的频率。 指数信号的重要性在于对它的微积分结果仍然是同幂 的指数信号。
（2）冲激函数的性质（冲激信号具有下面一些重要性质） 冲激信号具有下面一些重要性质）
（a)抽样特性（筛选特性） a)抽样特性（筛选特性） 抽样特性 单位冲激信号δ(t)与一个在t=0点连续 且处处有界） 与一个在t=0点连续（ 单位冲激信号δ(t)与一个在t=0点连续（且处处有界）的 信号f(t)相乘，则其乘积仅在t=0处得到f(0) (t),其余各点 f(t)相乘 t=0处得到f(0)δ 信号f(t)相乘，则其乘积仅在t=0处得到f(0)δ(t),其余各点 f (t ) 之乘积均为零。 之乘积均为零。
设冲激信号有一个总的冲激强度，它在整个时间域上的积分等于 设冲激信号有一个总的冲激强度， 该强度值，而在除冲激点之外的其他点的函数取值为零。 该强度值，而在除冲激点之外的其他点的函数取值为零。 δ (t )
∞ ∫ δ (t )dt = 1 −∞ δ (t ) = 0 (当t ≠ 0)
0, t < 0 R(t) = t, t ≥ 0
Rτ(t) τ
o
τ
t
6.单位阶跃信号
图1.7单位阶跃信号 1.7单位阶跃信号 单位阶跃函数是对某些物理对象从一个状态瞬间突变到 =0时刻对 另一个状态的描述。如图1.7（ 另一个状态的描述。如图1.7（a）所示，在t=0时刻对 某一电路接入1 某一电路接入1V的直流电压源，并且无限持续下去。 这个电路获得电压信号的过程就可以用单位阶跃函数 来描述。如果接入电源的时间推迟到t=t0 时刻（t0>0）， 0>0）， 如图1.8（ ）所示，其波形如图1.8（ 如图1.8（a）所示，其波形如图1.8（b）所示。
图1.8延迟t0的单位阶跃信号
典型信号
7 单位矩形脉冲信号 Gτ(t)： G (t) ：
τ
1, G τ (t ) = 0,
t ≤ τ/2 t > τ/2
1
脉高： 脉高：矩形脉冲的高度
-τ/2 τ 0 τ/2 τ t
脉宽： 脉宽：矩形脉冲的宽度
信号四则运算
Gτ(t) = u(t + τ / 2) − u(t − τ / 2)
冲激点在t 强度为E 冲激点在t0、强度为E的冲激信 号
δ E , t 0 (t ) = E δ (t − t 0 )
(E)
0
t0
t
特点 特点：
1 对称性：冲激函数是偶函数 对称性： 2 时域压扩性： δ ( at ) = 时域压扩性： 3 ☆抽样特性： 抽样特性：
∞
1 δ (t ) ( a ≠ 0 ) a