2018年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第五讲 导数的应用 第五讲 导数的应用(一)习题

第五讲 导数的应用(一)

限时规范训练 A 组——高考热点强化练

一、选择题

1．曲线y ＝e x

在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1

) B ．(0,1) C ．(1，e)

D ．(0,2)

解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x

，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0

＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B

2．已知函数f (x )＝x 2

＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( )

解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A. 答案：A

3．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3

D.π2

解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π

4

.

答案：B

4．若函数f (x )＝2x 3

－3mx 2

＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，52

解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2

－6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2，＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤5

2，故选D. 答案：D

5．函数f (x )＝12x 2

－ln x 的最小值为( )

A.12 B ．1 C ．0

D ．不存在

解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2

－1

x

，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0

∴f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.

答案：A

6．已知常数a ，b ，c 都是实数，f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx －34的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( ) A ．－81

22

B.13 C ．2

D ．5

解析：由题意知，f ′(x )＝3ax 2

＋2bx ＋c ≤0的解集为[－2,3]，且在x ＝3处取得极小值－115，

故有⎩⎪⎨⎪⎧

3a >0，

－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c

3a ，

f ＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115，

解得a ＝2.

答案：C

7．(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，

xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－1,0)∪(0,1)

解析：根据题意，设函数g (x )＝f x x

2

(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f

x

x －2·f x

x 3

<0，

说明函数g (x )在

(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0， 故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零． 答案：D

8．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2

f ′(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0,6))，f (π)＝2，则下列结论正确的是( ) A ．xf (x )在(0,6)上单调递减 B ．xf (x )在(0,6)上单调递增 C ．xf (x )在(0,6)上有极小值2π

D ．xf (x )在(0,6)上有极大值2π

解析：因为x 2

f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0,6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin x x

，设g (x )＝xf (x )，

x ∈(0,6)，

则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin x x

，由g ′(x )>0得0

时，

函数g (x )＝xf (x )取得极大值g (π)＝πf (π)＝2π. 答案：D 二、填空题

9．曲线y ＝x 2

＋1x

在点(1,2)处的切线方程为________．

解析：∵y ′＝2x －1

x

2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1，∴切线方程为y

－2＝x －1， 即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0

10．设函数f (x )＝x (e x

－1)－12

x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．

解析：因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x

－1)(x ＋1)．令f ′(x )>0，

即(e x

－1)·(x ＋1)>0，解得x ∈(－∞，－1)或x ∈(0，＋∞)．所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)

11．函数f (x )＝x 3

－3x 2

＋6在x ＝________时取得极小值．

解析：依题意得f ′(x )＝3x (x －2)．当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0