概率习题答案

k
55
P{X=k∣Y=51} 6/287/285/285/285/28
习题 3 已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：
(1)在 Y=1 的条件下,X 的条件分布律;
(2)在 X=2 的条件下,Y 的条件分布律.
X\Y
012
012 1/41/8001/301/601/8 解答： 由联合分布律得关于 X,Y 的两个边缘分布律为
解答： P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y 至少一个大于等于 0}
=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0} =47+47-37=57.
习题 5 (X,Y)只取下列数值中的值：
且相应概率依次为 16,13,112,512, 的边缘分布.
(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0) 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于 Y
当 x≥1,y≥1 时，显然 F(x,y)=1; 设 0≤x≤1,0≤y≤1, 有
2y2.
F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x
设 0≤x≤1,y>1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.
最后，设 x>1,0≤y≤1, 有
=14+0+0=14.
习题 3(2) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求：
(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4}; 解答： P{1≤X≤2,3≤Y≤4}
=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4} =0+116+0+14=516.
习题 3(3) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求：
(3)P{X>a,Y≤b}.
解答： P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).
习题 3(1) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求：
(1)P{12<X<32,0<Y<4; 解答： P{12<X<23,0<Y<4
P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}
=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12
=1-112-16=34.
习题 6 某旅客到达火车站的时间 X 均匀分布在早上 7:55∼ 8:00, 而火车这段时间开出 的时间 Y 的密度函数为
fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,
求此人能及时上火车站的概率.
X\Y 01/31
-1
01/121/3
0 1/600
2 5/1200
(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,
同样可求得 P{Y=13=112,P{Y=1}=13,
关于的 Y 边缘分布见下表：
Y
01/31
pk 7/121/121/3
习题 6 设随机向量(X,Y)服从二维正态分布 N(0,0,102,102,0), 其概率密度为
f(x,y)=1200πex2+y2200,
求 P{X≤Y}.
解答：
由于 P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知
P{X≤Y}=P{X>Y},
故
P{X≤Y}=12.
习题 7 设随机变量(X,Y)的概率密度为
对∀ x∈(0,1), fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0<y<x0,其它.
习题 5 X 与 Y 相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布， P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}.
X -2-101/2
pi 1/41/31/121/3 表(a)
Y -1/213 pi 1/21/41/4
习题 8 已知 X 和 Y 的联合密度为
f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,
试求：(1)常数 c; (2)X 和 Y 的联合分布函数 F(x,y).
解答： (1)由于 1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.
(2)当 x≤0 或 y≤0 时，显然 F(x,y)=0;
F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2. 函数 F(x,y)在平面各区域的表达式
F(x,y)={0,x≤0 或 y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤,x>
习题 9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)={(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,
第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布 习题 1 设(X,Y)的分布律为
X\Y 1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 1/3a1/9
求 a.
分析： dsfsd1f6d 解答： 由分布律性质∑i⋅ jPij=1,
解得
可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,
a=2/9.
习题 2(1) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，试用 F(x,y)表示：
P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅ P{∣X∣≤a}, 而事件{∣X∣≤a}⊂ {X≤a}, 故由上式有
f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,
从而 fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1, 即
fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,
即 fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.
X
012
pk 3/81/37/24
Y
012
pk 5/1211/241/8
故(1)在 Y=1 条件下，X 的条件分布律为
X∣(Y=1)
012
pk
3/118/110
(2)在 X=2 的条件下，Y 的条件分布律为
Y∣(X=2)
012
pk
4/703/7
习题 4 已知(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)={3x,0<x<1,0<y<x0,其它, 求：
fX(x)=12πe-x22， fY(y)=12πe-y22 因为 X 与 Y 相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是
f(x,y)=12πe-12(x+y)2.
习题 8 设随机变量 X 的概率密度
f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),
问：X 与∣X∣是否相互独立？
解答： 若 X 与∣X∣相互独立，则∀ a>0, 各有
(1)P{a<X≤b,Y≤c};
解答： P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).
习题 2(2) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，试用 F(x,y)表示：
(2)P{0<Y≤b};
解答： P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).
习题 2(3) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，试用 F(x,y)表示：
P{x=0}=. 因为 P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅ P{y=0}, 所以 x 与 y 不独立.
习题 2 将某一医药公司 9 月份和 8 份的青霉素针剂的订货单分别记为 X 与 Y. 据以往积 累的资料知 X 和 Y 的联合分布律为
X\Y 55
55 010.010.010
求边缘分布律; (2)求 8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单数的条件分布律.
条件分布与随机变量的独立性 习题 1 二维随机变量(X,Y)的分布律为
X\Y
01
01 7/157/307/301/15
(1)求 Y 的边缘分布律； (2)求 P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0}; (3)判定 X 与 Y 是否独立？
解答： (1)由(x,y)的分布律知，y 只取 0 及 1 两个值.
/2 =1/2}P{Y=-1/2}
X=1/2}P{Y=1}
X=1/2}P{Y=3}
亦即表
X\Y
-1/213
-2-101/2 1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12
P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,
表(b)
解答：
由 X 与 Y 相互独立知 P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),
从而(X,Y)的联合概率分布为
X\Y
-1/2
1
3
-2- P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1} P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}
101Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{XP{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{ P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{
f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,
(1)确定常数 k;
(2)求 P{X<1,Y<3};
(3{X+Y≤4}.
解答： 如图所示 (1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1, 确定常数 k.
∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1, 所以 k=18. (2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38. (3)P{X<}=∫∫2418(6-x-y)dy=2732. (4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.
(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.
解答： (1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={3x2,0<x<10,其它,
fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={32(1-y2),0<y<10,其它.
(2)对∀ y∈(0,1), fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y<x<1,0,其它,
(3)F(2,3). 解答： F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3) =14+0+0+116+14+0=916.
习题 4 设 X,Y 为随机变量，且
P{X≥0,Y≥0}=37,
求 P{max{X,Y}≥0}.
P{X≥0}=P{Y≥0}=47,
解答： 由题意知 X 的密度函数为
fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为 X 与 Y 相互独立，所以 X 与 Y 的联合密度为：
fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它, 故此人能及时上火车的概率为
P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.
习题 7 设随机变量 X 与 Y 都服从 N(0,1)分布，且 X 与 Y 相互独立，求(X,Y)的联合概率 密度函数. 解答： 由题意知，随机变量 X,Y 的概率密度函数分别是
解答： (1)边缘分布律为
X
55
pk
对应 X 的值,将每行的概率相加,可得 P{X=i}. 对应 Y 的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得 P{Y=j}.
Y
55
pk
当 Y=51 时,X 的条件分布律为 P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,,
列表如下:
k=51,52,53,54,55.
P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730= P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=. (2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23, P{y=1∣x=0}=13. (3)已知 P{x=0,y=0}=715, 由(1)知 P{y=0}=, 类似可得
解答：
(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有 16+13+112+512=1, 故所给的 一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可 能值，故事件：
{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}
均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：
求边缘概率密度 fY(y).
解答： fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy
={∫(2-x)dy,0≤x≤10,其它={(2-x),0≤x≤10,其它.
fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx
={∫(2-x)dx,0≤y≤10,其它={(4y-y2),0≤y≤10,其它.
习题 10 设(X,Y)在曲线 y=x2,y=x 所围成的区域 G 里服从均匀分布，求联合分布密度和边 缘分布密度. 解答： 区域 G 的面积 A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为