七年级数学上册有理数--绝对值问题的解题策略与方法专题讲解.doc
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
绝对值问题的解题策略与方法
策略一去掉绝对值符号
根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号,是解决绝对值问题的常用策略方法.
例1三个有理数。、b、c的积是负数,它们的和是正数,且工=回+叫+ M时,求a b c
代数式-x2016 + 2x + 2016的值.
分析由三个有理数。、b.。的积是负数,它们的和是正数,确定出负因数的个数,
\b\ c
然后可以把尤=口 + 口 + 一中的绝对值去掉,求出尤,再代入代数式求值.
a b c
解T a、b、c的积是负数,它们的和是正数,「・。、b、。必是一负两正.
不妨设ovO, Z?>0, c>0 ,
rll -a h c t
则尤=——+ —+ —= 1, a b c
..・原式=一12°】6+ 2 + 2016 = 2017.
例2关于工的方程尸_4|』+ 5 =,〃有四个全不等的实根,求实数机取值范围.
分析先分两种情况:工20和x<0去掉绝对值,再把方程左、右两边分别看作函数且作出图象,观察图象求解.
解设y = /_4尤+5,则
(1)当X 2 0 时,y = x2 -4x + 5;
(2)当x v()时,y = r +4尤 + 5.
作出〃=尤2一4工+5图象,如图1
图1
要使尤2 -4x+5 = m有四个全不相等的实根,需使函数Y >的图象与直线y - m有四
个不同的交点,由图象,可知1 策略二添加绝对值符号 利用后=叫2,把关于。的问题转化关于为的问题,可以达到出奇制胜的效果. 例3 解方S:X2-3|X|-10=0. 分析此题可以分尤20和尤vO两种情况,先去掉绝对值再解方程.若把原方程中的 F项的工添加绝对值符号,把原方程转化为关于|尤|的方程来解,则更简捷. 解方程可化为 ”一3工一10 = 0 则(|x|-5)(|x| + 2) = 0, 乂 = 5 ,或国=一2(舍去), 二工]=5 , X2=—5. 例4关于x的方程%2 - 2 x + 2 = zn有三个实根,求m的值. 解方程化为:旧_2同+ 2 =初,且设它的两个根为时, 原方程有三个实根,则孔,工,中必有一个大于0, —个等于0, 1 乙 把同=0代入原方程,得m = 2. 当〃2 = 2 时,x2—2 x = 0 , 工=0, x = 2>0. .・.工|=0,易=2,工3=一2,方程有三个实根,..・,〃 =2即为所求. 策略三运用绝对值的几何意义 a\是数轴上表示数。的点与原点的距离,\x-a\是数轴上表示数x的点与表示数。的点的距离.运用绝对值的儿何意义,可以使绝对值问题得到巧解. 例5 解方程|x+l| + |x-2| = 5. 分析此题分三种情况x<-l, -1<^<2和工>2进行讨论,去掉绝对值符号,可以解此方程.如果用绝对值的几何意义,便可以直接得出其解. 解工+1 +工-2 =5是数轴上表示数工的点到表示-1和2的点的距离之和,由此得 方程的解为再=一2, = 3. 1 J 例6若|x + 2| + |l-x| = 9-|y-5|-|l + >?|,求x+y的最大值和最小值. 分析利用绝对值的儿何意义,先可以确定|尤+ 2| + |工一1|、伯一5| + |),+ 1|的范围,从而找到解题思路. 解把条件整理,得 x + 2|4- x-1 + 5 + g + l| = 9 根据绝对值的几何意义,得 x + 2| + |x-l|>3,当一2 侦—5+伯+ 1|>6,当—时,取等号. 故有x + 2 + x—1 = 3, 当x = -2, y = -1时,有最小值为一3; 当x = \ , y = 5时,工+>有最大值为6. 策略四运用绝对值的非负性 。20,即。是一个非负数,运用绝对值的非负性解有关绝对值问题,也是一种常用的策略方法. 例7若(ab - 2)2,与人一1互为相反数,求二+ --------------- + ------------- + ah (a +1)(/? + 1) (。+ 2)(/? + 2) + ------------------ 的值. (。+ 2015)俗 + 2015) 解•.•(泌—2),与/? —1互为相反数, :• (ab — 2)~ + /? — 1 — 0 .•・原式=—!—+ 1 1x2 2x3 2016x2017 =( ------ )+ ( ----- ) + •,• + ( --------------- ) 1 2 2 3 2016 2017 __ 2016 _ 1-2017 ~ 2017 例8若关工的方程|%2-6% + 8| = «恰有两个不等实根,求实数。的取值范围. 分析先作函数y =、2_6x + 8的图象,再根据绝对值的非负性,位于x轴上方的部分不变,把位于工轴下方的部分沿工轴对折上去,就得到y = |x2-6x + 8|图象. y 2 ~0\~~1 ~2~3~4 ~~5~x 图 2 解在同一坐标系中作出函数y=r_6x + 8与y 的图象,如图2. 由图可知,当。>1或。=0时,函数y = x2 -6x + 8与V = Q的图象有旦只有两个交 故当。> 1或“=0时,关于的方程|x2-6x + 8| = tz恰有两个不等实根. 策略五运用绝对值的不等式性质 绝对值问题常用到两个重要不等式: (1) a - \b\ < a±b\< a + 网; (2) a -|/?|| < a±b\. 例9若有理数。,b , c满足: a-2b\<6 f \b-c < 7 , \a-b-c = 13 ,求一 + 的值. 解,/ 13 = a-b-c <。一2/?|+ <6 + 7 = 13 ci —+ “ - c'| = 13. 例10设y = x-1 - x + 5,求y的最大值和最小值.