中考数学与平行四边形有关的压轴题含答案

②如图②中，由△ ADB≌ △ AOB，得到∠ BAD=∠ BAO，
又在矩形 AOBC 中，OA∥ BC，
∴ ∠ CBA=∠ OAB，
∴ ∠ BAD=∠ CBA，
∴ BH=AH，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，
在 Rt△ AHC 中，∵ AH2=HC2+AC2，
∴ m2=32+（5-m）2，
2
2
（5+ 34 ）= 30 3 34 ．
2
4
综上所述， 30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
4
4
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决
问题．
2．如图，四边形 ABCD 中，AD∥ BC，∠ A=90°，BD=BC，点 E 为 CD 的中点，射线 BE 交 AD 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：四边形 BCFD 是菱形； （2）若 AD=1，BC=2，求 BF 的长．
△ AMG≌ △ ENG，得出 AG=EG；最后证出 CG=EG． （3）结论依然成立． 【详解】 （1）CG=EG．理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠ DCF=90°．在 Rt△ FCD 中，∵ G 为 DF 的中点，∴ CG= 1 FD， 2
同理．在 Rt△ DEF 中，EG= 1 FD，∴ CG=EG． 2
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立 【解析】 【分析】 （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG． （2）结论仍然成立，连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点；再证 明△ DAG≌ △ DCG，得出 AG=CG；再证出△ DMG≌ △ FNG，得到 MG=NG；再证明
在 Rt△ ADC 中，CD= AD2 AC2 =4，
∴ BD=BC-CD=1， ∴ D（1，3）． （2）①如图②中，
由四边形 ADEF 是矩形，得到∠ ADE=90°，
∵ 点 D 在线段 BE 上，
∴ ∠ ADB=90°，
由（1）可知，AD=AO，又 AB=AB，∠ AOB=90°，
∴ Rt△ ADB≌ Rt△ AOB（HL）．
m 即可解决问题；
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，当点 D 在 BA 的延长线上
时，△ D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，
∵ A（5，0），B（0，3），
∴ OA=5，OB=3， ∵ 四边形 AOBC 是矩形， ∴ AC=OB=3，OA=BC=5，∠ OBC=∠ C=90°， ∵ 矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到， ∴ AD=AO=5，
4．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF， G 为 DF 中点பைடு நூலகம்连接 EG，CG． （1）请问 EG 与 CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论； （2）将图①中△ BEF 绕 B 点逆时针旋转 45°，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△ BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中 的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）
在△ BAH 中，AB=2，∠ BHA=90°，AH=y，HB= x 1 ，∴ 22 y2 x 12 ，
则 y x2 2x 3 0 x 3
（2）取 CD 中点 T，联结 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∴ ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，∴ ∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°， ∴ ∠ AEC=70°＋35°=105°． （3）分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 则在△ ABH 中，∠ B=60°，∠ AHB=90°，AB=2，得 BH=1，于是 BC=2．
【答案】见解析 【解析】 试题分析：探究：由四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形，利用 SAS 易证得 △ BCE≌ △ DCG，则可得 BE=DG； 应用：由 AD∥ BC，BE=DG，可得 S△ ABE+S△ CDE=S△ BEC=S△ CDG=8，又由 AE=3ED，可求得△ CDE 的面积，继而求得答案． 试题解析： 探究：∵ 四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形， ∴ BC=CD，CE=CG，∠ BCD=∠ A，∠ ECG=∠ F． ∵ ∠ A=∠ F， ∴ ∠ BCD=∠ ECG． ∴ ∠ BCD-∠ ECD=∠ ECG-∠ ECD， 即∠ BCE=∠ DCG． 在△ BCE 和△ DCG 中，
【答案】（1）证明见解析（2）2 3
【解析】 （1）∵ AF∥ BC，∴ ∠ DCB=∠ CDF，∠ FBC=∠ BFD， ∵ 点 E 为 CD 的中点，∴ DE=EC，
FBC BFD 在△ BCE 与△ FDE 中， DCB CDF ，
DE EC
∴ △ BCE≌ △ FDE，∴ DF=BC， 又∵ DF∥ BC，∴ 四边形 BCDF 为平行四边形， ∵ BD=BC，∴ 四边形 BCFD 是菱形；
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（ 17 ，3）；（3） 5
30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
4
4
【解析】
【分析】
（1）如图①，在 Rt△ ACD 中求出 CD 即可解决问题；
（2）①根据 HL 证明即可；
②，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，在 Rt△ AHC 中，根据 AH2=HC2+AC2，构建方程求出
（2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG． 证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点． 在△ DAG 与△ DCG 中，∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG，∴ △ DAG≌ △ DCG（SAS）， ∴ AG=CG； 在△ DMG 与△ FNG 中，∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG，∴ △ DMG≌ △ FNG （ASA），∴ MG=NG． ∵ ∠ EAM=∠ AEN=∠ AMN=90°，∴ 四边形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中，AM=EN．在 △ AMG 与△ ENG 中，∵ AM=EN，∠ AMG=∠ ENG，MG=NG，∴ △ AMG≌ △ ENG（SAS）， ∴ AG=EG，∴ EG=CG． 证法二：延长 CG 至 M，使 MG=CG，连接 MF，ME，EC．在△ DCG 与△ FMG 中， ∵ FG=DG，∠ MGF=∠ CGD，MG=CG，∴ △ DCG≌ △ FMG，∴ MF=CD，∠ FMG=∠ DCG， ∴ MF∥ CD∥ AB，∴ EF⊥MF． 在 Rt△ MFE 与 Rt△ CBE 中，∵ MF=CB，∠ MFE=∠ EBC=90°，EF=BE，∴ △ MFE≌ △ CBE ∴ ∠ MEF=∠ CEB，∴ ∠ MEC=∠ MEF+∠ FEC=∠ CEB+∠ CEF=90°，∴ △ MEC 为直角三角形．
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O（0，0），点 A（5，0），点 B（0， 3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，点 O，B，C 的对应点分别 为 D，E，F． （1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标； （2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时，AD 与 BC 交于点 H． ①求证△ ADB≌ △ AOB； ②求点 H 的坐标． （3）记 K 为矩形 AOBC 对角线的交点，S 为△ KDE 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结 果即可）．
②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，又 AC BC2 AB2 x2 4 ，
则 AD CA
1
x2 4
1
x
17 （舍负）
AC CB
x2 4
x
2
易知∠ ACE<90°，所以边 BC 的长为 1 17 ． 2
综上所述：边 BC 的长为 2 或 1 17 ． 2
点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键 是掌握梯形中常见的辅助线作法．
∵ MG=CG，∴ EG= 1 MC，∴ EG=CG． 2
（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下： 过 F 作 CD 的平行线并延长 CG 交于 M 点，连接 EM、EC，过 F 作 FN 垂直于 AB 于 N． 由于 G 为 FD 中点，易证△ CDG≌ △ MFG，得到 CD=FM，又因为 BE=EF，易证 ∠ EFM=∠ EBC，则△ EFM≌ △ EBC，∠ FEM=∠ BEC，EM=EC ∵ ∠ FEC+∠ BEC=90°，∴ ∠ FEC+∠ FEM=90°，即∠ MEC=90°，∴ △ MEC 是等腰直角三角形． ∵ G 为 CM 中点，∴ EG=CG，EG⊥CG
（2）∵ 四边形 BCFD 是菱形，∴ BD=DF=BC=2，
在 Rt△ BAD 中，AB= BD2 AD2 3 ， ∵ AF=AD+DF=1+2=3，在 Rt△ BAF 中，BF= AB2 AF 2 =2 3 ．
3．如图，四边形 ABCD 中，∠ BCD=∠ D=90°，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2. （1）设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠ B=70°时，求∠ AEC 的度数； （3）当△ ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长.
【答案】（1） y x2 2x 3 0 x 3 ；（2）∠ AEC=105°；（3）边 BC 的长为
2 或 1 17 . 2
【解析】 试题分析：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H，得到四边形 ADCH 为矩形．在△ BAH 中，由勾股定 理即可得出结论． （2）取 CD 中点 T，连接 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，得到∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°，即 可得到结论． （3）分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 解△ ABH 即可得到结论． ②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H．由∠ D=∠ BCD=90°，得四边形 ADCH 为矩形．
∴
17
m=
，
5
∴ BH= 17 ， 5
∴ H（ 17 ，3）． 5
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，最小值= 1 •DE•DK= 1 ×3×
2
2
（5- 34 ）= 30 3 34 ，
2
4
当点 D 在 BA 的延长线上时，△ D′E′K 的面积最大，最大面积= 1 ×D′E′×KD′= 1 ×3×
【点睛】 本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答； （2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和 性质解答．
5．（感知）如图①，四边形 ABCD、CEFG 均为正方形．可知 BE=DG． （拓展）如图②，四边形 ABCD、CEFG 均为菱形，且∠ A=∠ F．求证：BE=DG． （应用）如图③，四边形 ABCD、CEFG 均为菱形，点 E 在边 AD 上，点 G 在 AD 延长线 上．若 AE=2ED，∠ A=∠ F，△ EBC 的面积为 8，菱形 CEFG 的面积是_______．（只填结 果）