2.4.2等比数列的性质
2.4.2等比数列2
例3、在正项等比数列{an }中，a3 a7 25，a6 a8 =125 求an
思考： 若{an }是等比数列,m n p q, 是否具有等差数列 类似的结论
若{an }是等比数列,m n p q, 则am an a p aq
例3、在正项等比数列{an }中，a3 +a5 20，a2 a6 =64, 求an
例4、已知{an },{bn }是项数相同的等比数列，判断下列是否 为等比数列
(1){an bn } (2){an bn } (3){c an }( c 0) (4){c an bn }(c 0) an (5){ } bn
an 等比数列判定方法： q an 1
例5、已知数列{an }中，a1 1, an 2an1 1
ab 思考:若a , A, b成等差数列，则有A ; 2 那么若a , G , b成等比数列，这三者有什么关系？
一、等比中项 1、若G是a , b的等比中项，则G 2 ab,
2、等比数列{an }性质：从第二项起每一项都是它的前一项
2 和它的后一项的等比中项，即an an1 an1 ( n 2)
第二节
一、知识回顾
二、等比数列的增减性
对公比q的探究： (a1 0) (1)当0 q 1时， {an }是递减数列 (2)当q =1时， {an }是常数数列 (3)当q 1时， {an }是递增数列 (4)当q 0时， {an }是摆动数列
等比数列通项公式的图象表示:
在 右 边 的 直 角 坐 标 系， 中 画出通项公式为 a n 2 n 1 的数列的图象和函数 y2 的 图 象 ， 你 会 发 现 什？ 么
高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.2等比数列的性质及应用课件新人教A版必修5
������
+(aq-2)=2a,∴2q2-5q+2=0.
1 q= . 2
∴q=2 或
且数列{an}是等比数列,
2 2 ∴������3 +2a3a5+ ������5 =25,即(a3+a5)2=25.
又an>0,∴a3+a5=5.
2 3 (2)将������2 =a1a3 代入已知,得������2 =8,∴a2= 2.
设前三项为 ,2,2q,则有 +2+2q=7. 整理,得 2q2-5q+2=0,
2.4.2 等比数列的性质及应用
学习目标 1.在理解等比数列定义和通 项公式的基础上 ,探索并发 现等比数列的性质 . 2.理解等比数列的性质 ,并能 简单应用 .
思维脉络
等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am· an=ap· aq.
特例:若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am· an= ������������ .
(������+������) + ������
2
探究一
探究二
探究三
(方法二 )设这四个数依次为 -a, ,a,aq(a≠0),
2������ -������ + ������������ = ������ ������ + ������ = 12, ������ 1 16, ������ = 2, ������ = , 解得 或 3 ������ = 8 ������ = 3.
������ ������
, 3
,aq,aq3
探究一
2.4.2等比数列性质 4
高一年级数学必修5 《等比数列性质》导学案2班级 课时 时间学习目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并了解判断数列是否成等比数列的方法。
重点：等比中项的理解与应用。
难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
学情分析：本节课要求学生观察规律，但可类比等差数列的性质，可降低难度。
课前热身：1．等比数列的定义： 1-n n a a=q （q ≠0）2.等比数列的通项公式:3．｛n a ｝成等比数列⇔ =q （+∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：学习探究：探究一: 等比中项的定义：a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）对等比中项要注意以下几点：1．在a 、b 同号时，a 、b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．2．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．3．“a、G 、b 成等比数列”等价于“G 2＝ab”(a、b 均不为0)，可以用它来判断或证明三数成等比数列．同时还要注意到“a、G 、b 成等比数列”与“G＝ab ”是不等价的．练习．2＋3和2－3的等比中项是( ) (A)1 (B)－1 (C)±1 (D)2 探究二：等比数列的性质：1、已知数列{n a }是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？ （3）2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？结论：性质1：当m ＋n ＝2r 时有a m a n ＝a 2r (m ，n ，r ∈N *)．2、在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 结论：性质2：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a =3、、完成课本P51例4结论：性质3：项数相同的等比数列{n a }与{n b }，{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列。
7.示范教案(2.4.2 等比数列的基本性质及其应用)
wenjian wenjian 1 2.4.2 等比数列de 基本性质及其应用从容说课这节课师生将进一步探究等比数列de 知识，以教材练习中提供de 问题作为基本材料，认识等比数列de 一些基本性质及内在de 联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题de 探究与解决，渗透重要de 数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊de 思想方法等.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生de 学习积极性.教学重点 1.探究等比数列更多de 性质;2.解决生活实际中de 等比数列de 问题.教学难点 渗透重要de 数学思想.教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多de 性质;2.能将学过de 知识和思想方法运用于对等比数列性质de 进一步思考和有关等比数列de 实际问题de 解决中;3.能在生活实际de 问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关de 知识解决相应de 实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论de 方法进行教学;2.对生活实际中de 问题采用合作交流de 方法，发挥学生de 主体作用，引导学生探究问题de 解决方法，经历解决问题de 全过程;3.当好学生学习de 合作者de 角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质de 探究，培养学生de 良好de 思维品质和思维习惯，激发学生对知识de 探究精神和严肃认真de 科学态度，培养学生de 类比、归纳de 能力;2.通过生活实际中有关问题de 分析和解决，培养学生认识社会、了解社会de 意识，更多地知道数学de 社会价值和应用价值.教学过程导入新课师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们de 探究结果展示一下.生 由学习小组汇报探究结果.师 对各组de 汇报给予评价.师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }de 前k 项去掉，剩余de 数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…,则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，….因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成de 数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1).。
2.4.2等比数列的性质
探究1
书本第53页 第4题
已知 an 是等比数列 (1) a52 a3 a7 是否成立? a52 a1 a9 成立吗?为什么? (2) an an1 an1 n 1 是否成立?你据此能得到什么结论?
2
an2 ank ank n k 0 是否成立?你据此能得到什么结论
a2n－5 【变式2】已知等比数列 an 满足 an＞0，n＝1,2，…，且 a5· ＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 等于 ( )．
n 1 2n 1 1 3 5 2n 1 n2 2
(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， (8分) 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式 的最小正整数n＝6. (10分) 故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%. (12分)
【题后反思】 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解 决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问 题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应 注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．
1．等比数列的单调性 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{an}是递减数列． (3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列． (4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列． 2．等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ① {c· an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
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等比数列的性质教案及学案
2.4.2等比数列性质学案一.复习引入：问题：已知等比数列{}n a 中，179a a ⋅=，求26a a ⋅和35a a ⋅值，从中你有何结论？二.新课：等比数列性质探究类比等差数列的定义和性质，猜想等比数列对应的性质，并证明.1.证明性质（1）{}()+⋅=⋅∈比,,,,n n m p q a m n p q a a a a n m p q N 在等数列中:若＋＝＋，则2.证明性质(2){},(,)n m nn ma a q n m N a -+=∈在等比数列中，已知公比为q,则有例：1.在等比数列{}n a 中，已知15a =，910100a a =，求18a2. 在等比数列{}n a 中，352,8a a ==，求7a3. 在等比数列{}n b 中，32b =，求该数列前五项之积4.在等比数列{}n a 中，11,a =，公比1q ≠，若23m a a a =，求m 值.注意点：等比数列角标性质中要求等号两侧项数相同随堂练习： 1.已知等差数列{}n a 满足27124,a a a -+=数列{}n b 是等比数列，且77b a =，求311b b 值2. 已知等比数列{}n a 满足3424a a a =，求15a a3.已知等比数列{}n a 中各项均为正数，且+=564718a a a a ，求+31310log log a a 值4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13795,20a a a a ==，求46a a 值小结：等比数列的角标性质及通项公式的推广通过与等差数列的性质相类比对等比数列性质进行探究课后思考：你能通过类比等差数列其他性质的到别的等比数列的性质吗？试证明.作业：{}==求37114,6,n a a a a 1.等比数列中{}+=+++=等比数列的各项均为正数，且则56473132393102.18,log log log log __________n a a a a a a a a a{}=求162284,n a a a a a a 3.等比数列中{}{}{}求证：4.n n n n a b a b 若数列是项数相同的等比数列，数列也是等比数列。
2.4.2等比数列的性质
探究：性质1
an a q
n1 1 ,
am a q
an 1 n m q , an
m 1 1 ,
性质一
an am q
n m
(其中m, n N *)
探究：性质2
(其中m, n, k , l N *)
若m n k l , 会有什么结论呢？
an am a1q
解：方法一：∵a6＝a2q4，a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81.∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 方法二：∵2,6,10三数成等差数列， ∴a2，a6，a10成等比数列．
2 2 1 ∴a6＝a2a10.∴a10＝162 × ＝13 122.
2
已知 a1 与 q，用 a1q 可以求出等比数列的
C)
[解析] 等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对 值来决定．由 an＋1－an＝a1q 或 a1<0，q>1.
n－1
(q－1)<0，得 a1>0,0<q<1，
题型 1 等比数列性质
【例 1】 在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10.
思维突破：可利用通项公式或等比数列的性质来求．
*
*
k＋1
（8）等比数列的性质
等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列为递
增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列为递 减数列； 当q＝1时，数列为常数列； 当q＜0时，数列为摆动数列．
等比数列{an}中，首项为 a1，公比为 q，则下列条件中， 使{an}一定为递减数列的条件是( A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0,0<q<1 或 a1<0，q>1 D．q>1
高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.2等比数列的性质课件新人教A版必修5
题型一
题型二
题型三
等比中项的应用
【例2】 已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间(zhōngjiān)
两数之积为16,前后两数之积为-128,求这四个数.
分析适当地设这四个数是解决本题的关键.可利用a,q表示四
个数,根据中间两数之积为 16,将中间两数分别设为 , , 列方程解
常规解法,往往是建立关于a1和q的方程(组),这样解起来比较麻烦.而利用
等比数列的性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果.
第九页，共15页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练(xùnliàn)1】 (1)已知在等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则
a12=
;
(2)已知数列{an}为等比数列,若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,则
剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1·qn-1.
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0或
0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列;当q<0时,数列
{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项同号,但是奇数项与偶数项
则
等于多少?
2 + 4 + 10
解由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项,∴ 32 = 19.
∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),得 a1=d.
1 + 3 + 9 13 13
2.4.2等比数列性质
A．－1 B．1 C．－1或1 D．无法确定
(2)已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8＝()
A．35 B．63 C．21D．±21
3、有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．
评价提升
讨论领悟
1.在等比数列{an}中，公比q>1时，该数列一定是递增数列吗？
2．等比数列的“子数列”是否成等比数列？
展示分享
[例1]在等比数列{an}中，
（1）若 求
（2）若 ， ，求 .
（3）若 ， ，求 .
[例2](1)在等比数列中，若a2＝2，a6＝16，则a10＝________.
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a4a5a6＝10，则a7a8a9＝
多项关系
通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)
项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝.
2．等比数列的运算性质
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则
①{c·an}(c是非零常数)是公比为的等比数列；
②{|an|}是公比为的等比数列；
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为的等比数列．
年级
高一
学科
数学
课题
2.4.2等比数列性质
编制人
谭金国
审定人
高一数学备课组
知识目标
教学活动
基础知识—重点知
识—重难点知识
自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固Байду номын сангаас评价提升
课件-2.4.2等比数列性质
等差数列
一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列
定 义
符号 语言
an1 an d n N
等比数列的性质一 若数列 {an}为等比数列，且 m , n , s , t + N
若m+n=s+t , 则aman=asat
则aman=as2 若m+n=2s ,
1.等比数列an 中，an 0, a3 a6 32, 则 log 2 a1 log 2 a2 log 2 a8 ( C ) A.128
如：奇数项a1 , a3 , a5 , a7 ,, a2k -1 ,成等比数列，
等差数列的性质
若an 是公差为d的等差数列，则
（1）c an 是公差为d的等差数列； （2）c an 是公差为cd的等差数列.
等比数列的性质三
q （1） c an 0）是公比为_____的等比数列； （c
3. (2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列{an} , a3=8 , a10=1024 则该数列的通项an= 2n . 4. 等比数列{an}中，a2+a3=6 , a2a3=8 ,则公比q=________
当a2=2,a3=4时，q=2 当a2=4,a3=2时，q=1/2
课堂小结：
1.若数列 {an}为等比数列，且 m , n , s , t + N
an1 qn N , q 0 an
通项 公式
an a1 n 1d
2.4.2等比数列的性质
例2.1)在等比数列a n 中,已知a1 5, a 9a10 12,求a18 .
2
2)等比数列a n 中，a1 ,a 99为方程
x -10x+16=0的两根，求a 20 a50 a80的值.
练习
1、 {an }是等比a3a5 a4 a6 25,
练习：已知四个正数成等比数列，其积为16， 中间两数之和为5，求这四个数。
结论：
a 三个数成等比可设为： , a, aq; q
a a 3 四个数成等比可设为：3 , , aq; aq . q q
小结:
1.等比数列的判定方法：
1)、定义法；
2)、通项公式法；
3)、中项公式法
2.等差、等比数列对照表
名称 等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起，每一项与前一项 项起，每一项与它前 的差等于同一个常数，一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列 的公比，用q表示 表示
数学式 子表示 通项公式
an+1-an=d a n = a 1 +（ n - 1 ） d
an+1 =q (q≠0) an
an=a1· qn-1（q≠0）
作业：
P54 2.4A组 7,8
5 则a3 a5 ___ 4 (2)a6 6, a9 9, 则a3 ___
(3)an 0, a1 a100 100, 则 lg a1 lg a2
100 lg a100 ______
例3
已知数列an 、 bn 是项数相同的等比数列， 求证:an bn 是等比数列。
2.4.2 等比数列的基本性质及其应用
2.4.2 等比数列的基本性质及其应用 第十七课时教学目标 1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.教学重点 1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点 渗透重要的数学思想.教学过程导入新课师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.第3题解答： (1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.第4题解答： (1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8,而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=an -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0). 推进新课［合作探究］例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？［教师精讲］从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出q s a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp s k a a a a q p s k . 所以a k +a s =a p +a q . 结论、；猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t . 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.例题2 （1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18;（2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.解：(1)∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2) b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4. ∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5， ∴前七项之积(32)3×3=37=2 187.(3) ∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458.［合作探究］判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列.证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p nb 1q n，因为 pq q b p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==∙--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第3题、B 组第1题.。
2020版新素养同步人教A版高中数学必修五课件：2.4.2等比数列的性质及应用
知识点二 等比数列的单调性 已知等比a数1>0列，{an或}的a首1<项0，为 a1，公比为 q，则 (1)当___q_>_1________0_<__q_<_1__时，等比数列{an}为递增数列； (2)当____a0_1<>_q_0<_，1___或___aq_1>_<1_0_，__时，等比数列{an}为递减数列； (3)当_q_＝___1_时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不 等于 0)； (4)当__q_<_0__时，等比数列{an}为摆动数列．
数列，则aa19008＋ ＋aa19901的值为(
)
A．1＋ 2 B．1－ 2
C．3＋2 2 D．3－2 2
(2)在公差 d 不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知 a1
＝1，且 a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3.则数列{an}的公差 d 和数列{bn}的
公比 q 分别为________．
第二十一页，编辑于星期日：一点 三十二分。
状元随笔 先由数列{an}为等差数列及 a4＝10，将 a3，a6，a10 分别用 a4 和 公差 d 来表示，再根据 a3，a6，a10 成等比数列列出关于 d 的方程， 求出公差 d，最后求和.
第二十二页，编辑于星期日：一点 三十二分。
方法归纳 求解等差、等比数列综合的问题的技巧
第十九页，编辑于星期日：一点 三十二分。
跟踪训练 2 已知三个数成等比数列，其积为 1，第 2 项与第 3
项之和为－32，则这三个数依次为________．
解析：设这三个数分别为aq，a，aq.
a3＝1， 则a＋aq＝－32，
2.4.2等比数列的性质
2.4.2 等比数列的性质一、选择题1．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．82．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若1234,2,a a a 成等差数列，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．16D ．153．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝（ ）A ．31B ．32C ．63D ．644．在正项等比数列{}n a 中，6lg lg lg 963=++a a a ，则111a a 的值是 （ ）（A ）10000 （B ）1000 （C ）100 （D ）105．在数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有1221n n a a a ⋯＋＋＋＝－，则22212n a a a ⋯＋＋＋等于（ ） A ．2(2)1n － B ．2(2)1n － C ．41n － D ．1(341)n －6．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且639s s =，则数列n a 1的前5项和为（ ） A 815或5 B 831或5 C 831 D 815 7．已知数列{}n a 的前n 项和,3,2,1,12=-=n S n n …，那么数列{}n a （ ）A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列8．已知函数()cos f x x =，(,3)2x ππ∈，若方程()f x m =有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数m 的值可能是（ ）A ．12-B ．12 C． D二、填空题9．在等比数列}{n a 中，121=+a a ，854=+a a ，则=+1110a a ．10．设等比数列{}n a 的公比2q =，则44S a = ． 11．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a += ．12．已知等比数列}{n a 中，81,341==a a ，若数列}{n b 满足n n a b 3log =，则数列}1{1+⋅n n b b 的前n 项和n S =________. 三、解答题13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知306,6312=+=a a a ，求n a 和n S 。
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∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝5 2.故选 A.
(2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17 项之积为_－__２__１__７_．
（３）在等比数列an中，a2, a8是方程x2 8x 6 0的
两个实数根，则a4a6＝（ ６ ）
性质四：
如果 an,bn 是项数相同的等比数列，
那么
an
.bn
， abnn
也是等比数列。
公比分别为 q1.q2，qq12
等差数列的性质
性质1：设an , am为等比数列an中任意两项，
且公比为q，则an
am q nm .
或q n m
an am
注：运用此公式，已知习、在等比数列an中，已知 a2 5 ，
a4 10 ，则公比q的值为________
性质2： 等比中项
已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，
解得q 1
2
性质3： 若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，
且 m , n , s , t N+
若m+n=s+t ,则aman=asat
若m n 2s,则aman as2.
特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
证明 则an a1qn1, am a1qm1,
从而an am
5.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9
＝10，则 a4·a5·a6＝( )
A．5 2
B．7 C．6
D．4 2
[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5
a7·a8·a9＝a83＝10
a4·a5·a6＝a53
又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32
求a5，a7的等比中项．
a2 a2q3 42,
解∵∴∵上析述1aaaa－1111：两＋qqq1－式设3＋1a＝－1a该②qq1(＋q＋q1与等43－＝aq＝①比12qq4)＝422(相数2＝1，.1＋除列1668q，的8.＋，得公q2比)q，(为1－①②qq，)＝首14项⇒为q即G＝aaaa121222＝，.,a345a的82,等２ １a比53＝中64,项a27＝为23
a q2 mn2 1
同理可得a a a q2 st2
st
1
又因为m n s t
所以aman asat .
例3. 等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 （）
A.4 B.8 C.16
D.32
(1)已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋
2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等５于___．
性质五： 在等比数列中，序号成等差数列的新数列， 仍是等比数列。 等间隔的k项和(或积)仍成等比数列．即：
例如：{an}是等比数列，则 ①a1，a3，a5，…，a2n－1；②a1＋a2，a2＋a3， a3＋a4，…；③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3 ＋a4，a5＋a6……均成等比数列．