高中数学双曲线知识点及例题

高中数学双曲线知识点及经典例题

1. 双曲线第一定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：

平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上的：

（2）焦点在y轴上的：

（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。

注：c2＝a2＋b2

4. 双曲线的几何性质：

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。

<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）

线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。

e越大，双曲线的开口就越开阔。

（学生自己总结）

则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

例题：

解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照

易知：2+m与m+1应同号即可。

例2.

（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；

（2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，

若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。

解：（1）设AB的方程为：y－1＝k（x－1）

（1）另解法：

当x1＝x2时，直线AB与双曲线没有交点。

（2）假设过的直线l交双曲线于C（x3，y3），D（x4，y4）两点