利用双线性变换求其离散传递函数

课程设计报告

学生姓名:学号：

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题目: 专业方向课程设计

仿真组-利用双线性变换求其离散传

递函数

指导教师：孟杰姜文娟职称: 副教授讲师

2017年 1月 13日

目录

1.题目背景与意义 (1)

2.设计题目介绍 (1)

2.1 设计内容和要求 (1)

2.2设计工作任务及工作量的要求 (1)

3 双线性变换法 (1)

3.1 双线性变换的定义 (1)

3.2 双线性变换法的优缺点 (2)

3.2.1 双线性变换法的优点 (2)

3.2.2 双线性变换法的缺点 (2)

3.2 双线性变换的原理 (2)

3.3双线性变换的主要特性 (2)

4 设计步骤 (3)

5 理论计算 (5)

6 结果分析 (6)

参考文献 (10)

附录1 程序清单 (11)

附录2 计算机实现程序框图 (17)

1.题目背景与意义

本课程设计以自动控制理论、现代控制理论、MATLAB 及应用等知识为基础，利用双线性变换求连续系统对应的离散化的系统，目的是使学生在现有的控制理论的基础上，学会用MATLAB 语言编写控制系统的离散化的程序，通过上机实习加深对课堂所学知识的理解，掌握一种能方便地对系统进行离散化的设计工具。

2.设计题目介绍

2.1 设计内容和要求

1 在理论上对连续系统采用双线性变换求离散化推导出算法和计算公式

2 画出计算机实现算法的框图

3 编写程序并调试和运行

4 以下面的系统为例，进行计算 已知系统闭环传递函数)

2)(1(4

)(++=s s s s G ，利用双线性变换求其离

散传递函数。

5 分析运算结果（离散化步长对系统性能的影响）

6 程序应具有一定的通用性，对不同参数能有兼容性。

2.2设计工作任务及工作量的要求

1 本次课程设计要求每周学生至少见指导教师2次，其中集中辅导答疑部不于3次。

2 设计说明书的格式按设计说明书格式要求，采用word 软件排版，计算机打印。（具体包括：封皮、目录、正文、参考文献等）

3 程序清单用A4纸打印后，作为附录订装在说明书后面。

4 框图和其他图表放在正文中。

3 双线性变换法

3.1 双线性变换的定义

双线性变换法又称突斯汀（Tustin ）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。

3.2 双线性变换法的优缺点

3.2.1 双线性变换法的优点

双线性变换的主要优点:靠频率的严重非线性关系得到S 平面与Z 平面的单值一一对应关系，整个j Ω轴单值对应于单位圆一周，其中ω和Ω为非线性关系。在零频率附近，Ω~ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢，(ω终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。 3.2.2 双线性变换法的缺点

双线性变换法的缺点:Ω与ω的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。

3.2 双线性变换的原理

双线性变换公式可以从梯形积分公式中直接推导出来。按这种替换公式进行替换，可以保证)(z G 的稳定性，而且，具有一定的仿真精度。

已知梯形积分公式为：

)(2

11++++=k k k k x x T

x x 即： x

z T

x z )1(2)1+=

-（ 则有： 11

21-+=-z z T s

即： 1

1

2+-=z z T s （3.1）

（3.1）式称为双线性变换公式，也可写成为：

2

121sT

sT z -+=

（3.2）

3.3双线性变换的主要特性

1、若)(s D 稳定，则)(z D 一定稳定；

2、变换前后，稳态增益不变；

3、双线性变换后

的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次。

4 设计步骤

双线性替换不仅可以精度极高的仿真模型，而且能利用计算机程序来实现这种替换。下面来介绍一种程序替换法。

折线形系统的传递函数为

n

n n n n

n n n b s b s b s b a s a s a s a s E s U s G ++++++++=

=----111011100......)()()( （4.1） 在双线性替换下得到的Z 传递函数为：；

n

n n n n

n n n e z e z e z e d z d z d z d z E z U z G ++++++++==----11

1011100......)()()( （4.2） 现需要由i i b a ，（i=0，1，......，n ）确定i i e d ，（i=0，1，......，n ），若直接将双线性替换公式代入)(0s G ，可得：

n

n n n n n n

n n n n n b z z T b z z T b z z T b a z z T a z z T a z z T a z G ++-+++-++-++-+++-++-=

------)1

1)(2(...)11()2()11()2()11

)(2(...)11()2()11()2()(11110111100 （4.3） 将其分子、分母同时乘以n

z ）（1+，可得：

)()()1(...)1()1(2)1(2)1(...)1()1(2)1(2)(111

011100z B z A z b z z T b z T b z a z z T a z T a z G n n n n n n n n n n n

n =++++-+-++++-+-=----）（）（）（）（ （4.4） 将)(z A ，)(z B 写成向量形式，

()⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=---n n n

n n n n

z z z z T T

T

T a a a a z A )1(...)1()1()1()2(0)2(...

)2(0)2(...)(1110

01

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