大学物理中的极值问题

４ｖ０４（ｘ２＋ｈ２）ｃｏｓ４θ－４ｖ０２ｘ２（ｇｈ＋ｖ０２）ｃｏｓ２θ＋ｇ２ｘ４＝０
姨 姨 这是关于 ｃｏｓ２θ 的一元二次方程，且 ｃｏｓ２θ 在
０，
π ２
上总是实数，其
判别式应满足
ｘ４（ｇｈ＋ｖ０２）２－ｇ２ｘ４（ｘ２＋ｈ２）≥０
π π 因在
０，
π ２
上，ｘ≠０，故有
２
（ｇｈ＋ｖ０
２
）
－ｇ２（ｘ２＋ｈ２）≥０
姨ｖ０２ｓｉｎ２θ＋２ｇｈ
ｘＣ 即为所求的投掷距离。
Ｙ
ｖ０
Ａθ
（１）
Ｃ
Ｏ
Ｘ
图２
要求出铅球投掷的最佳角，令 ｄｘＣ ，解得 ｄθ
姨 ｓｉｎθ＝
ｖ０２ ２（ｖ０２＋ｇｈ）
在此条件下，所得的 ｘＣ 显然是极大值，因此可以不用二阶导数来判
别了。
此式之极值也可以用初等数学来判别。
把 ｙ＝０ 代入（１），并整理化简得，
例四 如图 ４ 所示，半径为 Ｒ 的圆环，均匀带电，总电量为 Ｑ，求轴
线上离圆心间距 ｘ 处的电场强度，并求出 ｘ 为多大时场强取得最大值。
图３
当 ｉ２＞Ａ 时，
Ｄ＝（ｉ１－ｉ２）－（ｉ４－ｉ３）＝ｉ１－ｉ４－Ａ
Ａ＝ｉ２－ｉ３
为求最小偏向角的条件，令 ｄＤ ＝０ ｄｉ２
∵
D=ｉ１－ｉ４－Ａ=arcsin(
如 ｈ＝０，则 θ＝４５°
由此可见，铅球的最佳投掷角随初速度的增大而增加，而随抛出高
度的增大而减小。实际上，抛出高度 ｈ 变化不大，故可认为主要由初速
度的大小决定。
例三 如图 ３ 所示，求单色光通过三棱镜时，所得到的最小偏向角
的条件。
解：角度正负的规定为：从界面法线量起，逆时针为正，顺时针为
负，但棱镜角 Ａ 和偏向角 Ｄ 都取正值。
ｎ ｎ＇
sini2)－ａｒｃｓｉｎ(
ｎ ｎ＇
sini3)－Ａ
∴ ｄＤ ＝ ｎｃｏｓｉ２ － ｎｃｏｓｉ３
ｄi3 －０
ｄｉ２ 姨ｎ＇２－ｎ２ｓｉｎ２ｉ２ 姨ｎ＇２－ｎ２ｓｉｎ２ｉ３ ｄｉ２
∵ ｄi3 ＝１ ｄｉ２
∴ ｄＤ ＝０时， ｄｉ２
ｎｃｏｓｉ２ ＝ ｎｃｏｓｉ３ 姨ｎ＇２－ｎ２ｓｉｎ２ｉ２ 姨ｎ＇２－ｎ２ｓｉｎ２ｉ３ 即 ｎｃｏｓｉ２ ＝ ｎｃｏｓ（ｉ２－Ａ）
除了微分法则外，有时还用到初等数学知识（如一元二次方程求极 值法），而且也方便。
解极值问题，应先弄清有关的因素怎样起着相反的作用，然后利用 物理知识列出方程，进而用极值判断法则求出极值。这就是解极值问题 的一般步骤。
例一 如图 １ 所示，一杠杆每单位长度之重为 ｂ，今以它的一端 Ａ 为支点，外力作用与另一端 Ｂ 来举一重物（重量为 Ｇ），设此重物到 Ａ 点 间距为 ａ，求外力最省时杠杆的长度 l。
Ｆ 存在一个极小值，而且只有一个极小值，因此该极小值就是最小值。
解：根据力矩平衡方程有
Ｆl＝Ｇａwenku.baidu.com（
１ ２
l）ｂl
Ｆ＝
Ｇａ l
＋
ｂl ２
要使
Ｆ
为极小，必须满足
ｄＦ ｄl
＝０
即
－
Ｇａ l２
＋
ｂ ２
＝０
姨 故 l＝
２ａＧ ｂ
通过 Ｆ＂（l）的符号可判断此极值为极小值，与前面的分析一致。
例二 试确定铅球投掷的最佳角（忽略空气阻力）。
Ｅ 取最大值。
测电平由低电平跃升至高电平，影响时间持续了 ６５ 秒，接着目标远离 基线，电平恢复为低电平。
经过多次观测，可以得到类似的检测结果，但高电平持续时间，即 目标有效影响信号时间的长短各不相同，从几秒钟到 ４ 分钟不等。该影 响时间的长短与目标距离接收端的方位距离、目标运动方向、目标运动 速度、目标尺寸、结构及材料特性以及环境状况有关。
数学上，判定函数的极值，常用微分法则。设函数 ｆ（ｘ）在 ｘ０ 的一个邻 域内有导数，且 ｆ＂（ｘ０）＝０，则函数 ｆ（ｘ）在点 ｘ０ 处取得极值。当 ｆ＂（ｘ０）＜０ 时，取 极大值；当 ｆ＂（ｘ０）＞０ 时，取极小值。我们还知道，设函数 ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］ 上是连续的，则必然存在最大值和最小值。最大值一定是极大值，但极 大值不一定是最大值。最小值也一样。把函数的一切极大值与函数在区 间端点的函数值 ｆ （ａ ）及 ｆ （ ｂ ）相比较（在特殊情况下，如果函数在这部分 区间上为常数，还需把这常数加以比较），这些数中最大者就是所要求 的 ｆ （ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值。如区间内只有一个可能的极值点，并且函数 在该点确有极值，则不必再与端点的函数值比较，就可断定它就是最大 值或最小值。这对于开区间及无穷区间同样适用。
Ｅ 沿 ｘ 正向。
∵ Ｒ＝Ｌｓｉｎα，ｘ＝Ｌｃｏｓα
∴Ｅ＝
ｘＱ ４πε０Ｒ２
ｃｏｓαｓｉｎ２α
为求极值条件，令
ｄＥ ｄα
＝０
即，ｄｄαＥ
＝
Ｑ ４πε０Ｒ２
（２ｃｏｓ２αｓｉｎα－ｓｉｎ２α)=0
解得 ｔａｎα＝ 姨 ２
所以，ｘ＝
Ｒ ｔａｎα
＝
Ｒ 姨２
又由于
ｄ２Ｅ ｄα２
＜０
故，ｘ＝ Ｒ 时，Ｅ 取极大值。又由于这里只有一个极值，因此这时 姨２
于是得 ｘ≤ 姨ｖ０２＋２ｇｈ ｇ
ｖ０
因括号中的是常数，故有极大值
ｘＣ＝
姨ｖ０２＋２ｇｈ ｇ
ｖ０
此时，ｃｏｓ２θ＝－
－４ｖ０２ｘ２（ｇｈ＋ｖ０２） ８ｖ０４（ｘ２＋ｈ２）
＝
ｖ０２ｘ２（ｇｈ＋ｖ０２） ２ｖ０４（ｘ２＋ｈ２）
把（２）代入上式，并整理，解得
（２）
姨 θ＝ａｒｃｃｏｓ
ｖ０２＋２ｇｈ ２（ｖ０２＋ｇｈ）
参考文献 ［１］Ｖ．Ｋｏｃｈ ａｎｄ Ｒ．Ｗｅｓｔｐｈａｌ． Ａ Ｎｅｗ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ａ Ｍｕｌｔｉ－ｓｔａｔｉｃ Ｐａｓ－ ｓｉｖｅ Ｒａｄａｒ Ｓｅｎｓｏｒ ｆｏｒ Ａｉｒ Ｄｅｆｅｎｓｅ． ＩＥＥＥ Ｒａｄａｒ－９５． ［２］曲卫．基于功率扰动的空中目标探测方法研究［Ｄ］．装备指挥技 术学院硕士论文， ２００４． ［３］徐世友，陈曾平．机会照射源雷达系统中外辐射源的选择［Ｊ］． ２００７．
当
ｉ２＝
１ ２
Ａ时，ｄｄ２ｉＤ２２
＞０ 为极小值
当 Ａ＝０ 时，ｄｄ２ｉＤ２２ ＝０，Ｄ 不随 ｉ２ 变化（光线通过平板玻璃时的情况）
（上接第 ５２８ 页） 接收端的距离、目标尺寸和信号波长。 实验的目的就是要验证这一探测机理，验证当卫星和接收机之间
基线附近存在目标遮挡时，接收信号的功率会发生明显变化，从而证明 利用该方法进行空中目标探测的可行性和正确性。
解：如图 ２ 所示，Ｏ 为运动员的立足点，Ａ 点为手抛出铅球的点，Ｃ
点为铅球落地点。
根据斜抛运动的规律有
ｘ＝ｖ０ｔｃｏｓθ
ｙ＝ｈ＋ｈ０ｓｉｎθｔ－
１ ２
ｇｔ２
消去 ｔ，得抛体的轨迹方程为
ｙ＝ｈ＋ｘｔａｎθ－
ｇｘ２ ２ｖ０２ｃｏｓ２θ
由此可求得落地点（ｙ＝０）的 ｘ 坐标 ｘＣ，
ｘＣ＝
ｖ０２ｓｉｎθｃｏｓθ＋ｖ０２ｃｏｓθ ｇ
４．结束语 随着近年来 ＤＶＢ－Ｓ 及转发器数目的不断增多和卫星发射功率的 提高，利用数字卫星电视信号的空间目标探测技术具有极大的发展潜 力。本文研究的基于信号功率扰动的空中目标检测方法不用从强直达 波中分离散射信号，避免了传统双基地雷达的同步困难、地面处理设备 复杂等缺点，同时实验也初步验证了该方法的可行性。
科技信息
高校理科研究
大学物理中的极值问题
齐齐哈尔高等师范专科学校 杨子立
［摘 要］求解物理量的解极值问题，不仅要根据有关的物理概念、定律和定理，还要应用数学方法。主要的数学方法是高等数学中 的微分法则。 ［关键词］物理量 极值 微分法则
在大学物理中，经常会遇到求解物理量极值的问题。解极值问题， 不仅要根据有关的物理概念、定律和定理，还要应用数学方法。
Ｆ
Ａ
Ｂ
ａ
Ｇ
l
图１
分析：有人以为杠杆越长越省力，即用力最省时的杠杆长度应该无
限长。其实不然，因为本题是力矩的平衡问题，所以当 l 由短变长的开
始阶段，作用力 Ｆ 的力矩随 l 的增长而增大，比杠杆自重的力矩增大得
快，即 Ｆ 随 l 增大而可省一些；然而等到 l 增大到一定值后，杠杆自重力
矩随 l 的增加而增加就占优势了，因此随 l 增大就更费劲。这说明外力
图 ４ 观测结果 实验设备包括 ＤＶＢ－Ｓ、ＤＶＢ－Ｓ 接收天线、ＤＶＢ－Ｓ 接收机（即数字机 顶盒）、数据采集器与计算机。通过观测飞机穿越接收天线上空时，接收 终端接收 ＤＶＢ－Ｓ 信号信噪比的变化来判断飞机的飞越是否对信号产 生影响。当飞机飞越接收天线上空的基线时，遮挡了天线对卫星信号的 接收，致使接收信号信噪比下降，计算机终端显示为高电平；否则，正常 接收信号时，显示为低电平。图 ４ 给出了几次典型的观测结果。 以第一个观测波形为例，在观测中，当目标接近并穿越基线时，检
由于第一菲涅尔区包含了直达波 ９０％以上的信号能量，因此可以 只考虑目标在穿越第一菲涅尔区时的情况。在其他条件相同的情况下， 目标运动方向垂直于卫星—接收机基线时，目标穿越第一菲涅尔区的 时间最短；目标斜向穿过第一菲涅尔区时，影响持续时间变长。
综上，实验结果验证了基于功率扰动法的空中目标探测原理的正 确性，也证明了利用该方法进行空中目标探测的可行性。
— ５３０ —
图４
解：在环上任取 ｄｌ，Ｐ 点场强为
ｄＥ＝
ｄＱ ４πε０Ｌ２
由于环带电的对称性，ｄＥＮ 互相抵消，场强只有 ｘ 分量，
乙 乙 乙 乙 所以，Ｅ＝ ｄＥｘ＝ ｄＥｃｏｓα＝
ｄＱ ４πε０Ｌ２
ｘ Ｌ
＝
ｘ ４πε０Ｌ３
ｄＱ＝
ｘＱ ４πε０Ｌ３
考虑到 Ｌ＝ 姨Ｒ２＋ｘ２
故 Ｅ＝
Ｑ
３
４πε０（Ｒ２＋ｘ２） ２
当 ｉ２＜Ａ 时， Ｄ＝（ｉ１－ｉ２）＋［（－ｉ４）－（－ｉ３）］＝（ｉ１－ｉ４）－（ｉ２－ｉ３）＝（ｉ１－ｉ４）－Ａ Ａ＝ｉ２＋（－ｉ３）＝ｉ２－ｉ３
— ５２９ —
科技信息
高校理科研究
可见，只有当
ｉ２＝
１ ２
Ａ时，即
ｉ２＝－ｉ３＝
１ ２
Ａ，ｉ１＝－ｉ４ 时才有最小偏向角。
这个问题也可以用初等数学证明（略）。
姨ｎ＇２－ｎ２ｓｉｎ２ｉ２ 姨ｎ＇２－ｎ２ｓｉｎ２（ｉ２－Ａ） 两边平方，整理得
ｓｉｎ２（ｉ２－Ａ）＝ｓｉｎ２ｉ２
ｉ２－Ａ＝±ｉ２
即
ｉ２＝
１ ２
Ａ，或 Ａ＝０
ｄ２Ｄ ｄｉ２２
＝
（ｎ２－ｎ＇２）ｎｓｉｎｉ２
３
（ｎ＇２－ｎ２ｓｉｎ２ｉ２） ２
－
（ｎ２－ｎ＇２）ｎｓｉｎ（ｉ２－Ａ）
３
（ｎ＇２－ｎ２ｓｉｎ２（ｉ２－Ａ）） ２