约数与倍数问题

约数与倍数问题

一、要点简介

a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0)所得的商正好是整数c而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b与c的倍数，b与c称为a的约数。

两个或多个整数公有的约数叫作它们的公约数。两个或多个整数的公约数里最大的那一个叫作它们的最大公约数。

两个或多个整数公有的倍数叫作它们的公倍数。两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫作它们的最小公倍数。

二、经典例题

【例1】

某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔2天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。则甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日（）

A．5 B．2

C．6 D．3 【解析】

甲部门每隔2天相当于每3天发布一次，乙部门每隔3天相当于每4天发布一次，3和4的最小公倍数是12，则甲、乙12天就会同时发布一次。一个自然月最多有31天，假设甲、乙两部门1号同时发布一次，该自然月最多还有30天，30÷12=2……6，还可以同时发布两次。那么一个自然月最多有3天是同时发布消息的。因此D项当选。

【一本通点睛】

1.知识点：每隔+1=每；“同时……”一般涉及求最小公倍数。但是该题目除了掌握好以上两个知识点外，还需要在选择上注意“1号两个部门同时发布一次”。

2.最小公倍数在工程问题、经济问题中的应用更为广泛，必须熟练掌握。

【例2】

企业某次培训的员工中有369名来自A部门，412名来自B部门。现分批对所有人进行

培训，要求每批人数相同且批次尽可能少。如果有且仅有一批培训对象同时包含来自A和B 部门的员工，那么该批中有多少人来自B部门（）

A．14 B．32 C．57

D．65

【解析】

培训的员工总数为369+412=781，因为要求每批人数相同，所以将781因数分解：781=71×11，又要求批次尽可能少，所以11为批次数。已知有且仅有一批培训对象同时包含来自A和B部门的员工，所以只有一批71人由两个部门组合而成，其余每批71人均来自同一部门。B部门的员工可分为：412÷71=5（批）……57（人），所以同时包含来自A和B部门的那批员工中有57人来自B部门。因此C项当选。