9.一笔画和多笔画

第九讲一笔画和多笔画

问题1你能一笔画出一个“田”字吗？所谓一笔画出的意思就是在一张纸上（不允许折叠）笔不离纸，而且每一笔划（或称线段）只能画一次，不准重复。对于“串”字或“品”字呢？结果会怎样？（参看图8－1）

通过各种尝试发现，“田”字总也不能一笔画成，而“串”字却可以一笔画成。由于“品”字中的三个“口”字不连在一起，显然也不能一笔画成。

我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画。一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成。

例1下列图形哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成？

经过尝试，你会发现，图8－2（a）、（c）、（e）是可以一笔画成的。而且图（c）、（e）可从任意一点出发，一笔画成回到出发点，而图（a）只能从A（或D）点出发，一笔画成到D（或A）点结束。

如果图形非常复杂，用这种逐一尝试的方法，则所花的时间较多，且有时还无法下结论。有没有一种简便的判断方法呢？下面就来研究这个问题。

上面研究的图形都是由点和线段（或弧）组成的，在数学中叫做图。图形中的点叫图的结点，线段（或弧）叫做图的边。作为一个图，其图形还必须满足以下条件：

（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；

（2）各条边之间互不相交。

一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定，而与边的曲直长短无关。

图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数。度数为偶数的结点叫做偶结点。例如，图8－3中结点C、D、E都是偶结点。度数为奇数的结点叫做奇结点。例如，图8－3中结点A、B、F、G都是奇结点。

任何两点间都有线连接的图称作连通图。（如图8－3中D与G可通过DB、BA、AG连接）

观察例1中的五个图，其结点的奇偶性可列成下表：

从表中可以发现，一个图能否一笔画成，与图的奇结点的个数有密切联系，人们总结出如下规律：

一个图若是一笔画必定是个连通图。

一个连通图，若没有奇结点（即全是偶结点），那么这个图一定可以一笔画成，而且可以从任一偶结点出发，一笔画成回到出发点。

一个连通图，若只有两个奇结点，那么这个图也可以一笔画成。而且只能从某一奇结点出发一笔画成，到另一奇结点结束。

一个图，若奇结点个数多于两个，那么这个图就不能一笔画成。

例2 判断下列各图是否能一笔画出来。

解：其中（b）、（d）、（e）三个图无奇结点，所以可从任一点出发，一笔画成，并且回到出发点；（a）、（f）两图各有两个奇结点，所以可从其中一个奇结点出发，一笔画成，到另一个奇结点结束；而图（C）的八个结点都是奇结点，所以不能一笔画出来。

当作练习，请把例2中能够一笔画的图一笔画出来。

二、七桥问题和欧拉定理

问题2 七桥问题。

关于一笔画，曾有一个颇为著名的哥尼斯堡七桥问题。事情发生在18世纪的哥尼斯堡，有一条河流从这个城市穿过，河中有两个小岛A、B，河上有七座桥连结两个小岛及河的两岸（参看图8－5），那里的居民在星期日有散步的习惯。有的人想，能不能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？这个问题似乎不难，谁都想试一试，但谁也没有找到答案。后来有人写信请教著

名的瑞士数学家欧拉。欧拉的头脑比较冷静，千百人的失败使他猜想：也许那样的走法根本就不存在。1936年他证明了自己的猜想。

欧拉解决七桥问题的方法独特，思想新颖，非常富有启发性。他用点表示小岛和两岸，用连结两点的线段表示连结相应两地的桥，得到由七条线段连结四个点而成的图形（参看图8－5（b））。这样七桥问题就变成了一个一笔画问题：能不能一笔画出这个图形，并且最后返回起点？前面我们虽然通过对例1的分析归纳出了一个连通图是否能一笔画出来的三条结论，但并没有证明，没有说明这是为什么。下面我们简要说明其中的道理。

一个连通图能否一笔画成主要是与结点的边数（也称度数）有关。假定某个图能一笔画成，如果结点P不是起点或终点，而是中间点，那么P一定是个偶结点。因为无论何时通过一条边进入P，由于不能重复，必须从另一条边离开P，因此与P连结的边一定成对出现，所以P是偶结点。如果一个结点Q是奇结点，那么在一笔画中只能是起点或终点。由此可以看出，在一个一笔画中，奇结点个数至多只能有两个。

由于哥尼斯堡七桥问题相应的图中有四个奇结点，所以不能一笔画成。也就是说，七桥问题无解，证实了欧拉的猜想。

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的上述有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次报告，公布了他关于七桥问题的研究成果。欧拉在研究中提出了一种新颖的数学问题及思想方法，它标志着一门崭新的数学学科——图论的诞生。

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。

例如，图8－6（a）中的图无奇结点，可以从A点出发，一笔画成回到A点，其路线为A→D→E→H→D→G→H→I→F→E→B→F→C→B→A。图8－6（b）中的图有两个奇结点C和E，可以从E出发一笔画成，到C结束。其路线为E→D→C →B→A→C。这两条路线都是欧拉路。应当注意：一个图如果存在欧拉路，那么不一定是唯一的。

人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。例如，图8－6（a）所表示的路线就是一条欧拉回路，因此相应的图就是一个欧拉图。

例3 图8－7是一公园的平面图，线段表示路径，要使游客走遍每条路且不重复，问出入口应设在哪里？

分析与解：这个问题实质上是一个一笔画问题。图中只有两个奇结点C和E，因此，只要把出入口分别设在这两个奇结点处，游客就能由入口进入公园，不重复地走遍每条路，然后从出口处离开公园。

例4 能否一笔画出一条曲线，使它和图8－8中的八条线段都只相交一次（不准在端点处相交）？

分析与解：尝试几次后，会感到很难下结论。事实上，直接寻找答案并不容易。我们可从七桥问题得到启示。原图形把平面分成了五个部分，分别用A、B、C、D、E五个点表示。两个点之间的连线正好用来表示与相应的线段相交一次，如图8－8（b）。于是，问题就变成了图8－8（b）中所表示的图能否一笔画成。因为图中A、B、C、D都是奇结点，因此，它不能一笔画成，即不存在符合题目要求的曲线。

例5图8－9表示一个展览馆的平面图，其中共有五个展览室，每个展览室都有一个门通向室外。能否设计一条参观路线，一次不重复地穿过每一个门并能回到原地。

分析与解：如果用A、B、C、D、E表示展览室，用F表示室外，用连线表示相应的门，那么图8－9（a）就变成了图8－9（b）于是问题就转化为判断图8－9（b）是否为欧拉图。

由图中可以看出，点C、D、E、F都是奇给点，因而图8－9（b）不具有欧拉回路。所以不是欧拉图。也就是说，不存在题中所要求的那种参观路线。

可以进一步考虑，关闭了哪两个门之后，就能设计出符合题中要求的参观路线了？为此，只要使图8－9（b）变为欧拉图，即使它的奇结点个数为O即可。例如抹去线段CD和EF后的图就没有奇结点了。也就是说，如果关闭C、D之间和E、F之间的两个门，就能设计出一条参观路线，一次不重复的穿过每一个门，并能回到原地。请你试一试，同时想一想，是否还存在其它的答案，一共有几种？

三、多笔画

在第一册第八讲例1中，我们讨论了下列图形的一笔画问题。

通过观察列出了下表：

由此表我们发现，一个图能否一笔画成与图的奇结点的个数有关系。如果我们再进一步观察，还可发现，这些图中的奇结点的数目都是偶数。这是一种偶然的巧合还是一种普遍的规律呢？如果我们再观察一些其它的图，结果也是没有出现奇结点数目是奇数的现象。于是我们可以作如下猜想：

在任何一个图中，奇结点的个数一定是偶数。

这是因为一个图的每条边都与两个结点相连结，所以，如果把一个图的所有结点的度数相加，由于每条边都计算了两次，其度数和是边数的2倍，它是偶数，可设为2n。又因为每个偶结点的度数都是偶数，它们的度数和当然是偶数，可设为2m。由此可知，所有奇结点的度数和为

2n－2m＝2（n－m）（n、m为自然数）

也是一个偶数，但每个奇结点的度数都是奇数，所以奇结点的个数一定是偶数。否则，如果奇结点的个数是奇数，那么，因为奇数个奇数的和是奇数，就得到所有奇结点度数的和是奇数。这与上述结论相矛盾。这就说明，在任何一个图中，奇结点的个数一定是偶数。

例1 先数一数下列各图形中奇结点的个数。如果有的图形不能一笔画成，那么，至少几笔才能画成？

分析与解：图8－2（a）中只有两个奇结点，根据欧拉定理，可从A点出发一笔画出到B点结束，图（b）中有四个奇结点，不能一笔画成。图8－2（b）与图（a）比较，多出了折线CEFD。如果先一笔画出图（a），再添一笔画出折线CEFD，就可得到图（b）。因此，图（b）至少两笔才能画成。图8－2（c）中共有六个奇结点，也不能一笔画成。图（c）与图（b）比较又多出了一面旗子。它也含有两个奇结点，于是在两笔画出图（b）的基础上，再添一笔画上旗子，就成了图（c）。因此，图（c）至少三笔才能画成。

例2 图8－3（a）表示一所房子，问至少几笔才能画成？

分析与解：1图8－3（a）所示的图中共有B、E、F、G、I、J六个奇结点，所以不能一笔画成。如果我们将两个奇结点间的连线去掉一条，那么这两个奇结点就成为偶结点了。当我们把图中奇结点的个数减少到2个时，（想一想，奇结点个数为何不需减少到零个？）新的图就可以一笔画成了。

在图（a）中，第一笔画BJ，第二笔画GF。这样剩下I、E两个奇结点，如图（b）所示，这个图是可以一笔画成的。所以这所房子至少要三笔才能画成。

由上述两个例题看到，如果图中有两个奇结点，一笔就能画出；有四个奇结点，至少两笔才能画出；有六个奇结点，至少三笔才能画出；如果图中有八个奇结点，利用同样的道理分析，至少四笔才能画成。一般地，一个连通图如果有2n（n为自然数）个奇结点，那么至少画n笔才能画成。我们把这类问题称作多笔画问题。

四、邮递路线

问题一个邮递员每次送信，要走遍他负责投递的范围内的街道，完成任务后回到邮局。问他按怎样的路线走，所走的路程最短？

这个问题叫做最短邮递路线问题，是一个即有趣又实用的问题。

例3 图8－4（a）、（b）都表示街道图。图中A是邮局的位置，问邮递员应如何设计他的邮递路线，才能使他所走的路程最短？

分析与解：由于（a）所表示的图无奇结点，所以是一个欧拉图。他可以从邮局出发，不重复地走遍每条街道，回到邮局，这就是投递员的最短路线。而（b）所表示的图有六个奇结点，它不是一笔画，要不重复地走遍街道是不可能的。为了走遍所有的街道，必须重复走某些街道。重复走哪些街道才能使总路程最短呢？

由于任何一个图中奇结点的个数都是偶数，所以可把奇结点两两配对。如果在一对奇结点之间连一条虚线当作增添的重复边，奇结点就变成了偶结点，用这种方法可使原来的图变成没有奇结点的欧拉图（增添了重复边）。现在的问题是如何去连这些虚线，才能保证总路程最短。其原则是：

（1）连线（虚线）不能有重叠线段；

（2）在每一个圈上，连线长度之和不能超过圈长的一半。

例如，图8－5（a）中，连虚线时在KG一段上发生重叠。根据原则（1），应去掉重叠部分改成图8－5（b）。但在（b）中，对于BKJCB这个圈来说，增添的虚线长超过圈长的一半。根据原则（2），可以继续改进成（c）中增添虚线的情形，这是一种最好的增添虚线的方法。因此，最好的投递路线是ABCDE－FIFJCBKGFGHNA（参看图8－6）

例4 图8－7表示某城市的街道图，九个区都是边长为1公里的正方形，现需设一牛奶站，希望找一最佳地址，要能使送奶车以最短路程跑遍城市的所有街道，然后返回奶站。如果小明把奶站选在P点，试问他选的地方对吗？送一遍奶所走的最短路程比该城市全部街道的总长长多少？

分析与解：由于图8－7中有8个奇结点，所以必须重复走某些街道，才能送遍全城回到奶站。根据例3中的两条原则，重复路线可添设如图8－8。这样图中的结点全部为偶结点，说明奶站设在街道任何一处都一样。因此，小明选在P 点没有错。一次送遍全城回到奶站的最短路程应是24＋4＝28（公里）比城市全部街道总长多4公里，多走城市街道总长的16.7%。

习题十六

1．判断下列各图能否一笔画成。若不是一笔画，则至少几笔才能画成？

2．各单位在图中用数字标出，彼此间有路相通。一邮递员从邮局出发，向各单位传递邮件，他能否不走重复路线，也不经重复单位，又回到邮局？

3．一个邮递员投递信件的街道如图所示。图上数字表示各段街道的公里数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局，请为他设计一条最合理的路线，全程要走多少公里？

4．一个投递员投递的街区如图所示。图上数字表示各街道的长度。他从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局。请为他设计一条最优投递路线，并求出全程的公里数。

参考答案：

1．（a）有两个奇结点，可以一笔画成；（b）有8个奇结点，需四笔画成；（c）有4个奇结点，需两笔画成；（e）有10个奇结点，需五笔画成；（d）、（f）没有奇结点，是欧拉图，可以一笔画成回到起点。

2．能。路线可以这样设计：邮局→21→17→18→12→11→6→5→2→1→4→3→8→7→13→14→19→20→15→9→10→16→邮局

3．全程要走46公里，邮递路线如下图。

4．需要重复走的路段为FG、BC、DI和JNM。最佳路线为：邮局→F→A→B →G→F→G→H→C→B→C→D→I→D→E→J→H→M→N→J→N→M→邮局，全程要走33公里。