彻底弄懂最短路径问题

彻底弄懂最短路径问题

只想说：温故而知新，可以为师矣。我大二的《数据结构》是由申老师讲的，那时候不怎么明白，估计太理论化了(ps：或许是因为我睡觉了)；今天把老王的2011年课件又看了一遍，给大二的孩子们又讲了一遍，随手谷歌了N多资料，算是彻底搞懂了最短路径问题。请读者尽情享用……

我坚信：没有不好的学生，只有垃圾的教育。不过没有人理所当然的对你好，所以要学会感恩。

一.问题引入

问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权

值之和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra 算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出一篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。笔者认为任意一个最短路算法都是基于这样一个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B。

二.Dijkstra算法

该算法在《数据结构》课本里是以贪心的形式讲解的，不过在《运筹学》

教材里被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。

观察右边表格发现除最后一个节点外其他均已经求出最短路径。

(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度(看下面表格的最后一行，就是next点)递增次序产生最短路径。先把V 分成两组：

∙S：已求出最短路径的顶点的集合

∙V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合

将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，依据：可以证明V0到T 中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk 的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证，说实话，真不明白哦）。

(2) 求最短路径步骤

1.初使时令S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在，为弧上的权值（和ＳＰＦＡ初始化方式不同），若不存在，为Inf。

2.从T中选取一个其距离值为最小的顶点W(贪心体现在此处)，加入S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作用至关重要)，对T中顶点的

距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值（上面两个并列for 循环，使用最小点更新）。

3.重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止（说明最外层是除起点外的遍历）。

下面是上图的求解过程，按列来看，第一列是初始化过程，最后一行是每次求得的next点。

(3) 问题：Dijkstar能否处理负权边？（来自《图论》）

答案是不能，这与贪心选择性质有关(ps：貌似还是动态规划啊，晕了)，每次都找一个距源点最近的点（dmin），然后将该距离定为这个点到源点的最短路径；但如果存在负权边，那就有可能先通过并不是距源点最近的一个次优点

（dmin'），再通过这个负权边L(L<0)，使得路径之和更小（dmin'+L

0，3，4

3，0，-2

4，-2，0,用dijkstra求得d[1，2]=3，事实上d[1，2]=2，就是通过了1-3-2使得路径减小。不知道讲得清楚不清楚。二.Floyd算法

参考了南阳理工牛帅(目前在新浪)的博客。

Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎

2种可能，1是直接从A到B，2是从A 经过若干个节点到B，所以，我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点K，我们检查

dist(AK) + dist(KB)

很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

for (int i=0; i

for (int j=0; j

for (int k=0; k

if (dist[i][k] + dist[k][j]

dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];

}

}

}

}

但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点K放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。

让我们来看一个例子，看下图：

图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点K，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就

是A->B，路径距离为9，而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点K放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时dist(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：

ps：个人觉得，这和银行家算法判断安全状态(每种资源去测试所有线程)，树状数组更新(更新所有相关项)一样的

思想。

for (int k=0; k

for (int i=0; i

for (int j=0; j

/*

实际中为防止溢出，往往需要选判断dist[i][k]和dist[k][j

都不是Inf ，只要一个是Inf，那么就肯定不必更新。

*/