数学逻辑用语

题型4 题型4、反证法的应用 均为实数, 例4.若x,y,z均为实数,且 4.若x,y,z均为实数
2
a = x − 2y + , b = y − 2z + , c = z − 2x + 2 3 6
ห้องสมุดไป่ตู้2 2
π
π
π
求证:a,b,c中至少有一个大于0. 求证:a,b,c中至少有一个大于0. :a,b,c中至少有一个大于 练:已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0, 已知下列三个方程:x +4ax+(a+2ax-2a=0至少有一 x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0至少有一 个方程有实根,求实数a的取值范围. 个方程有实根,求实数a的取值范围.
学习目标 1.理解四种命题及其相互关系. 1.理解四种命题及其相互关系. 理解四种命题及其相互关系 2.了解逻辑联结词“ 2.了解逻辑联结词“或”, “且”, 了解逻辑联结词 且 “非”的含义. 非 的含义. 3.理解充要条件的意义. 3.理解充要条件的意义. 理解充要条件的意义 4.理解全称量词与存在量词的意义. 4.理解全称量词与存在量词的意义. 理解全称量词与存在量词的意义
题型3 题型3、全称量词与存在量词 练习:写出下列命题的否定形式的命题: 练习:写出下列命题的否定形式的命题: 矩形的四个角都是直角; ①矩形的四个角都是直角; 所有的方程都有实数解; ②所有的方程都有实数解; 对所有的0 a<45° ③对所有的0°<a<45°, 都有sina≠cosa; 都有sina≠cosa; 存在一对实数对， 2x+3y+3<0； ④存在一对实数对，使2x+3y+3<0； 有些实数不是有理数。 ⑤有些实数不是有理数。
题型5 题型5、充要条件的证明 5.证明一元二次方程 +bx+c=0有 证明一元二次方程ax 例5.证明一元二次方程ax2+bx+c=0有 一正根和一负根的充要条件是ac<0. 一正根和一负根的充要条件是ac<0. 练习：证明y=ax +bx+c的图像过点(1， 的图像过点(1 练习：证明y=ax2+bx+c的图像过点(1， 0)的充要条件是 的充要条件是a+b+c=0. 0)的充要条件是a+b+c=0.
互逆
原命题真,逆命题 不一定真 否命题 否命题_________; 原命题真 逆命题_________;否命题 不一定真 逆命题 互为逆否命题________;否命题既否定 否命题既否定____又否 互为逆否命题同真同假 否命题既否定条件又否 _____,命题的否定仅否定 命题的否定仅否定_____. 定 结论 命题的否定仅否定 结论
∃x ∈M, ¬p(x). •全称命题的否定：____________ 全称命题的否定： 全称命题的否定
•特称命题：________________ 特称命题： ∃x ∈M, p(x). 特称命题 •特称命题的否定：_______________ 特称命题的否定： ∀x ∈M, ¬p(x). 特称命题的否定
1、四种命题的形式及其之间的关系: 、四种命题的形式及其之间的关系 则 则 原命题:_________; 逆命题 若q则p 逆命题:__________; 原命题 若p则q 则 否命题:_________; 逆否命题:________. 否命题 若﹁p则﹁q 逆否命题 若﹁q则﹁p 则
原命题: 原命题 若p则q 则 否命题: 否命题 若﹁p则﹁q 则 互逆 逆命题: 逆命题 若q则p 则 逆否命题: 逆否命题 若﹁q则﹁p 则
5.全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 •全称量词：______________ 全称量词： 所有的、任意的 全称量词 所有的、 •存在量词：_________________ 存在量词： 存在一个、至少一个 存在量词 存在一个、 •全称命题：________________ 全称命题： ∀x ∈M, p(x). 全称命题
题型1 题型1、四种命题之间的关系 1.判断命题 判断命题“ a≥0， +x-a=0有 例1.判断命题“若a≥0，则x2+x-a=0有 实根”的逆否命题的真假. 实根”的逆否命题的真假. 1.已知函数f(x)是 ∞,+∞)上的增 已知函数f(x) 练1.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增 函数,a,b∈R,对命题“ a+b≥0,则 ,a,b∈R,对命题 函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).” f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 写出其逆命题, 判断其真假， ①写出其逆命题, 判断其真假，并证明 你的结论; 你的结论; 写出其逆否命题，判断其真假， ②写出其逆否命题，判断其真假，并证 明你的结论. 明你的结论.
题型6、逻辑知识的综合应用 题型6 例6.已知c>0,设P:函数y=cx在上单调 6.已知c>0,设P:函数y=c 已知c>0, 函数 递减,Q:不等式x+|x 2c|>1的解集为 ,Q:不等式x+|x的解集为R. 递减,Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R. 如果P 有且仅有一个正确, 如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取 值范围. 值范围.
4.充要条件 充要条件 充分必要条件: 充分必要条件 •若_____________________充分不必要条件 p,则 是 的 充分不必要条件; 若p ⇒q且q ⇒ 则p是q的 充分不必要条件 且 q是p 的必要不充分条件 是 的必要不充分条件; _____的必要不充分条件 •若p ⇔q,则p是q的充要条件 是p的充要条件 若 则 是 的充要条件,q是 的________ _______________充要条件 且 则 是 的 •若p⇒q且q⇒p,则p是q的 既不充分也不必要 若____________________既不充分也不必要 条件. 条件 条件,B是 的必要 若A ⊆B,则A是B的____条件 是A的____ 则 是 的 充分条件 条件; 条件 若A=B,则A是B的充要条件 则 是 的_________.
3.复合命题真假的判断 复合命题真假的判断: 复合命题真假的判断 •判断复合命题真假的方法 真值表 判断复合命题真假的方法:_______. 判断复合命题真假的方法 p q 真 真 假 假 真 假 真 假 P 真假
﹁p 假 真
P∧q 真 假 假 假 p q 真 真 假 假 真 假 真 假
P∨q 真 真 真 假
题型2 题型2、充分条件与必要条件 x−1|≤2, q:x2-2x+1.已知p:|1已知p:|1 2x+1例2 .已知p:|1≤0(m＞0).若 m2≤0(m＞0).若﹁p是﹁q的充分不必要条 求实数m的范围. 件,求实数m的范围. 练1.(05福建)已知p:a≠0，q:ab≠0， 1.(05福建)已知p:a≠0 q:ab≠0， (05福建 p:a≠0， 必要不充分 ___________条件 条件. 则p是q的___________条件. 2.条件 :|x-1|>1条件p 条件q:x>a q:x>a， 练2.条件p:|x-1|>1-x，条件q:x>a， 充分不必要条件 条件， 若p是q的充分不必要条件，则a的取值 a<1 范围是_____. 范围是_____.
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题型3 题型3、全称量词与存在量词 3.下列存在性命题中真命题的个数 例3.下列存在性命题中真命题的个数 ① ∃x ∈ R, x ≤ 0 D
②至少有一个整数,它既不是合数,也 至少有一个整数,它既不是合数, 不是素数. 不是素数. {x|x是无理数 ③ ∃x ∈ 是无理数},x2是无理数. {x|x是无理数},x 是无理数. 0个 A. 0个 1个 B. 1个 C. 2个 . 2个 D .3个 .3个
2、逻辑联结词 、 • 逻辑联结词有或、且、非 不含________ 逻辑联结词有__________,不含逻辑联结词 不含 的命题叫简单命题, 简单命题 和 的命题叫简单命题 由__________和 逻辑联结词 构成的命题叫复合命题 ___________构成的命题叫复合命题 复合 构成的命题叫复合命题;复合 或 且 命题的三种构成形式是______________， 命题的三种构成形式是 p或q, p且q, 非p ， ∨ ， ∧ ， 记作________________ 记作 p∨q，p∧q， p