扭转切应力

4
)
IP
D
式中: 式中:
π D 4 (1 − α = 32 d α = D
4
)
d
O
D
圆轴扭转最大切应力
τ ma x = τ
令:
ρ
TR |R = IP
抗扭截面系数
IP Wt = R
圆轴扭转最大切应力为: 圆轴扭转最大切应力为:
τ max
T = Wt
πD
16
4
实心圆轴的抗扭截面系数为: W t = 实心圆轴的抗扭截面系数为: 空心圆轴的抗扭截面系数为: 空心圆轴的抗扭截面系数为:
)
200 G = = 80G P a 2 (1 + 0 . 2 5 )
二、剪切应变能 剪切应变能密度
材料中所储存的剪切应变能
τ
dτ
v ε ：单位体积
τ1
vε
Vε = = V
∫γ
τdγ
1
τ
γ
γ
γ1
dγ
剪切应变能密度等于切应 剪切应变能密度
切应变曲线下方图形的面积。 力-切应变曲线下方图形的面积。 对于线弹性材料， 对于线弹性材料，或者
已知： 已知：P＝7.5kW,n = 100r/min,许用切应力[τ]＝ 100r/min,许用切应力[τ]＝ 许用切应力[τ]
P＝7.5kW, n = 100r/min,
[τ]＝40MPa, [τ]＝40MPa, 0.5。 α = 0.5。 解：
P 7 .5 T = M e = 9549 = 9549 × n 100 = 7 1 6 .2 N ⋅ m
τ ≤τ
p
τ
τ
由剪切胡克定律， 由剪切胡克定律， τ = G γ
1 vε = τ γ 2
Gγ vε = 2
2
τ2 = 2G
γ
γ
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察： 圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
二、剪切胡克定律 p
d a
q
a b
M
c d’ b
d
e
M
q q
e
c
γ
a’ d’
e
p p
c’ b’
M
a’ b’
M
e
c’
p
q
切应变 γ :直角的改变量
φ
圆筒两端面的相对扭转角
d’ c’
p
a’ b’
q
rϕ γ = l
对于线弹性材料, 对于线弹性材料, 或者对于
φ
τ ≤ τ
p
p 时 ,有
q γ
a’
d’
剪切胡克定律
P3 7 T3 = 9 5 4 9 = 9549 × n3 360 = 1 5 8 .7 N ⋅ m
T1 = 1 1 1 4 N ⋅ m
T2 = 557 N ⋅ m
T 3 = 1 5 8 .7 N ⋅ m
W t1
π d 13 π × 7 0 3 × 1 0 − 9 = = = 6 7 .3 4 × 1 0 − 6 m 3 16 16
薄壁圆筒的扭转, §3-3 薄壁圆筒的扭转,纯剪切
一、薄壁圆筒的扭转应力 变形观察： 变形观察： p q
a b
M
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
d
e
M
q q
e
c
p p
d’
e
M
a’ b’
M
e
c’
p
q
横截面上扭转应力分布 规律的分析： 规律的分析： 1、横截面上仅有切应力 没有正应力， 没有正应力，切应力方 向与圆周线相切。 向与圆周线相切。
3
πD 3( − α 1 Wt = 16
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τ ma x
T ma x = ≤ [τ ] Wt
ห้องสมุดไป่ตู้ 例
题 40MPa,空心圆轴的内外径之比 0.5。 40MPa,空心圆轴的内外径之比 α = 0.5。 MPa, 求: 实心轴的直径d1 和空心轴的外径D2 。
T
dϕ = Gρ dx
dϕ T = G dx
∫
A
ρ dA
2
τ
ρ
dA
令: 得:
IP =
∫
A
ρ dA
2
极惯性矩 O
ρ
θ
dϕ T = dx G IP
四、圆轴扭转切应力计算公式
dϕ τρ = Gρ dx
dϕ T = dx G IP
M
e
(c )
由上述两个方程最终解得
τ
ρ
dA
圆轴扭转时横截面上的 切应力计算公式为:
W t2
(τ
π d 23 = = 2 4 .5 4 × 1 0 − 6 m 3 16
ma x
W t3
π d 33 = = 8 .4 1 8 × 1 0 − 6 m 3 16
)E
T1 1114 = = = 1 6 .5 4 M P a −6 W t1 6 7 .3 4 × 1 0
T2 557 (τ ma x ) H = = = 2 2 .6 9 M P a −6 W t2 2 4 .5 4 × 1 0 T3 1 5 8 .7 (τ ma x ) C = = = 1 8 .8 5 M P a −6 W t 3 8 .4 1 8 × 1 0
τ
c’
τ = Gγ
G – 材料的剪切弹性模量
钢材的
τ
b’
G = 80GPa
到目前为止,已经学到三个材料的弹性常量: 到目前为止,已经学到三个材料的弹性常量:
E ,µ ,G
E
拉压弹性模量 泊松比 剪切弹性模量
µ
G
三个弹性常量之间有如下关系: 三个弹性常量之间有如下关系:
E G = 2( + µ 1
对于钢材: 对于钢材:
例 题
作 业
3-1 © 3-5 3-6
Tρ τ = IP
ρ
O
θ
圆轴的极惯性矩
IP
IP =
代入: 代入:
∫
A
ρ dA
2
τ
ρ
dA
dA = ρdθ × dρ
O
ρ
θ
IP =
=
∫
∫
0
A
ρ dρdθ
3
2π
dθ
∫
R
0
ρ dρ
3
πR 4 πD 4 = = 2 32
实心圆轴的极惯性矩
IP
O
IP =
πD
32
4
空心圆轴的极惯性矩
IP
π (D 4 − d = 32
(
)
d 2 =0.5D2=23 mm d1 A1 = D 2(1- α 2) =1.28 A2 2
2
空心圆轴能比实心圆 轴更充分的使用材料
例 题 已知：P1＝14kW, n1= n2= 120r/min, D1=36, D2=12; 已知：
d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大切应力。 横截面上的最大切应力。
扭转应力的大小： 扭转应力的大小：
∑
M
x
=0
τ
τ dA
T =
∫
2π
A
τ (dA)r
T
dθ
T =
得到： 得到：
∫ (τ δ r d θ )r
0
τ
r
τ
T T = τ = 2 2π δ r 2 A 0δ
δ
A0
圆筒壁厚 圆筒平均直径所围圆周的面积
二、切应力互等定理 考虑圆筒中的微元体abcd 考虑圆筒中的微元体abcd
p
d’
e
q
a’ b’
M
M
e
c’
p
q
因为各圆周线大小、形状、 因为各圆周线大小、形状、间距都不变
2、沿同一圆周线上的切应力 大小相等
因为各纵向线倾斜角相同
M
e
T
3、沿壁厚方向切应力 大小相等
因为薄壁圆筒
M
e
T
τ
T
薄壁圆筒的扭转时
τ τ
横截面上扭转应 力分布规律为： 力分布规律为：
在整个横截面均匀分布， 在整个横截面均匀分布，方向 沿圆周线的切线， 的转向相同。 沿圆周线的切线，与T的转向相同。
dx
b
现研究圆轴内部的切应变 γ
ρ
R d c a e a e’ b b ρ e e’
γρ
dϕ = ρ dx
(b )
圆轴内部任意一点的切应变 圆轴内部任意一点的切应变 γ ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比 与该点到圆心的距离ρ
二、物理关系
M
(b )
e
γρ
dϕ = ρ dx
由剪切胡克定律
τ = Gγ
圆轴内部到圆心的距离为ρ 圆轴内部到圆心的距离为ρ 到圆心的距离为 任意一点的切应力为 切应力为: 的任意一点的切应力为:
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
dϕ τρ = Gρ dx
(c )
ρ = 0
τρ = 0
ρ = R
τ ρ = τ max
dϕ = GR dx
三、静力关系
M
e
T =
代入: 代入: τ 得:
∫
ρ
A
(τ ρ d A ) × ρ
(c )
d’
e
p
a’ b’
q
M
φ
e
c’
p p d c p a a
q q R ρ b q
φ
圆轴两端面的相对扭转角
qq平面相对于pp的相对扭转角 qq平面相对于pp的 平面相对于pp 为： d ϕ 圆轴表面的切应变γ 为： 切应变γ
aa′ Rd ϕ dϕ γ = = = R ad dx dx dϕ γ = R (a )
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。 d
e
p
q
a b
M
M
q q
e
c
p p
d’
e
M
a’ b’
M
e
c’
圆轴无此结论
必须对内部变形作进一步分析
p
q
2、平面假设
变形前的横截面， 变形前的横截面， M 变形后仍为平面， 变形后仍为平面，且 形状、大小不变， 形状、大小不变，原 先的半径仍为半径。 先的半径仍为半径。
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min D1 36 n3= n1 =120× =360r/min × D2 12
P1 14 T1 = 9 5 4 9 = 9549 × n1 120 = 7 1 6 .2 N ⋅ m
P2 7 T2 = 9549 = 9549 × n2 120 = 557 N ⋅ m
p
q
a b
M
d
e
M
q q
e
c
δ
d c
τ′
a b
dx
p
dy
p
τ
M
d’
e
a’ b’
M
e
c’
∑
得：
M
z
= 0
(τ d y δ ) d x = (τ ′d x δ ) d y
p
q
τ =τ′
切应力互等定理
切应力互等定理
d
τ′
a b d c
τ′
a b
τ =τ′
τ
c
τ
在相互垂直的两个截面上， 在相互垂直的两个截面上，切应力 必然成对出现，且大小相等， 必然成对出现，且大小相等，方向为共 同指向或共同背离两个截面的交线。 同指向或共同背离两个截面的交线。
τ max
d1 ≥
T T = = π d 13 W t1
3
≤ 40M P a 16
1 6 × 7 1 6 .2 = 0 .0 4 5 m = 4 5 m m 6 π × 40 ×10
τ ma x
T T = = W t 2 π D 23 1 − α
(
4
)
≤ 40M P a
16
D2 ≥
3
1 6 × 7 1 6 .2 = 0 .0 4 5 m = 4 5 m m 4 6 π × 1 − 0 .5 4 0 × 1 0