弹性力学柱体的扭转

第九章柱体的扭转

9.1 扭转问题的位移解法

学习思路:

本节讨论自由扭转问题的位移解法。

首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数Φ (x，y)。

基本未知量翘曲函数Φ (x，y)。确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。

位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。

自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。

对于自由扭转，侧面边界不受力。根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。

端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。

学习要点：

1. 扭转位移假设；

2. 扭转翘曲函数满足的基本方程；

3. 扭转边界条件；

4. 扭转端面边界条件；

当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。

如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。

对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。

设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z轴建立坐标系。

柱体扭转时发生变形，设坐标为z 的横截面的扭转角为α，则柱体单位长的相对扭转角为。而横截面的扭转角α = ϕ z。

对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。根据上述观察结论，对柱体部位移作以下的假设：

1．刚截面假设。柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z 轴转动，如图所示

。当扭转角α很小时，设OP=ρ，则P点的位移为

2．横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角ϕ成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=ϕΦ (x，y)。

Φ(x，y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数，或者称为翘曲函数。

对于位移法求解，需要将平衡微分方程用位移分量表示。因为

根据几何方程，应变分量为

根据本构方程，应力分量为

对于平衡微分方程，在不计体力的条件下，前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为

将位移表达式代入上式，则

上式为Laplace方程，它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程，即Lamé方程时，则扭转翘曲函数Φ (x，y)为调和函数。

下面考察柱体自由扭转的边界条件。

对于自由扭转问题，在侧边界没有载荷作用。

由于σx= σy= σz= τxy =0，只有τxz和τyz不等于零，因此分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论。

柱体的侧边界没有外力作用，而且侧面边界法线方向余弦n=0。因此，面力边界条件只有第三式需要满足，有

将翘曲函数表示的应力分量代入上式，并且注意到柱体侧面法线方向余弦与坐标系的关系，n=0，则如图所示。有

因为

所以，柱体侧面面力边界条件转换为翘曲函数横截面边界条件。有

对于柱体的端面面力边界条件，选取柱体任意一个端面，例如右端面，l=m=0，而n=1。因此面力边界条件的第三式自然满足，而前两式成为

面力的合力为外力矩T，则端面面力边界条件为

对于上述边界条件的前两式，由于

同理。

所以边界条件的前两式是恒满足的。对于第三式有

令

则T =ϕ GD，其中D表达了横截面的几何特征，GD称为柱体的抗扭刚度。

总之，柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件下求解方程，相对扭转角ϕ由公式T =ϕ GD确定。

9.2 扭转问题的应力解法

学习思路:

柱体自由扭转问题的位移解法，基本方程是翘曲函数表示的调和方程。基本方程的形式简单，但是边界条件的描述，特别是要用翘曲函数表达端面的合力边界条件比较困难。因此典型的扭转问题均是采用应力解法求解的。

自由扭转的应力解法，以扭转应力函数ψ(x,y)作为基本未知量。主要工作包括利用平衡微分方程建立扭转应力与应力函数的关系；将应力函数表达的应力分量代入变形协调方程，可以确定应力函数ψ(x,y)满足的基本方程。这是一个泊松方程。

根据扭转问题的侧面面力边界条件，扭转应力函数在横截面的边界为常数。对于单连域问题，可以假设这个常数为零。

对于扭转问题的端面面力边界条件，可以确定外力矩和应力函数的关系。

学习要点：

1.扭转应力函数；

扭转问题的位移解法方程虽然简单，但是边界条件相对比较复杂，因此通常使用应力解法求解柱体的扭转问题。

根据扭转问题的平衡微分方程，可得。因此，必然有一个函数ψ(x,y)，使得

将上述扭转应力分量代入变形协调方程，则前四个方程恒满足，而后两个方程要求，所以，翘曲函数ψ(x,y) 满足

因

此

上式即扭转问题的应力解法的基本方程。ψ(x,y)称为普朗特(Prandtl)扭转应力函数。将扭转应力函数与翘曲函数公式相比较，则扭转应力函数与翘曲函数的关系为

将上式代入变形协调方程，则C=-2Gϕ。

2.扭转应力函数与边界条件；

对于侧面边界条件，。

将应力函数代入侧面面力边界条件，有

所以ψc=const

根据应力表达式，在应力函数ψ(x,y)中增加或者减少一个常数对于应力分量的计算没有影响，因此对于单连域横截面柱体，可以将常数取为零。有

ψc＝0

但是应该注意，如果柱体横截面为多连域时，应力函数在每一个边界都是常数，但是各个常数一般并不相同。因此，只能将其中一个边界上的ψc取为零。

3. 扭转端面边界条件；

对于杆的端面边界条件，有

和位移解法相同，前两个边界条件恒满足，对于第三式，将应力分量表达式代入，有

由于应力函数在边界上的值恒为零，上式线积分为零。所以

根据上式可以求出单位长度扭转角ϕ。这样，柱体扭转问题的基本方程归结为求解变形协调方程

问题的边界条件为：侧面边界条件ψc＝0；端面边界条件为，。