弹性力学极坐标公式的记忆规律_张长平

文章编号:1671-9662(2007)03-0073-02

弹性力学极坐标公式的记忆规律

张长平,余东明

(平顶山工学院,河南平顶山467001)

摘　要:　利用直角坐标系与极坐标系相关量的对应关系及微元体在两个坐标系中的不同特点,提出弹

性力学极坐标公式的记忆规律。

关键词:　弹性力学;极坐标公式

中图分类号:　O343.1 文献标识码:A

0　概述

弹性力学平面问题直角坐标公式有一定规律性,容易记忆。在掌握直角坐标系中的下标记号法后,也非常方便地推广到空间问题的直角坐标公式中。但极坐标公式比直角坐标公式复杂,学生学习起来不易掌握。笔者通过教学实践,采用两坐标系之间相关量的对比和找出极坐标条件下微元体产生附加项的原因,去寻求极坐标公式的记忆规律,使学生较方便地掌握了极坐标公式。1　两种坐标系下物理量对应关系

为了说明极坐标公式的记忆规律,首先建立直角坐标和极坐标之间变量和微分算符的对应关系。直角坐标系中的位移、应变、应力、体力各量的x 向分量和极坐标系中的位移、应变、应力、体力各量的径向分量分别对应;直角坐标系中的位移、应变、应力、体力各量的y 向分量和极坐标系中的位移、应变、应力、体力各量的环向分量分别对应。对应关系见表1。

表1　两种坐标系下物理量对应关系

坐标系位移应变体力

应力

直角坐标系

u v εx εy γxy F x F y σx σy τxy 极坐标系

u p u φ

ερ　εφ　γρφ

F ρ　F φ

σρ　σφ　τρφ

2　

两种坐标系下一阶微分算符的对应关系图1　直角坐标系微元体

一阶微分算符的对应关系见表2

表2　两种坐标系下一阶微分算符的对应关系

坐标系一阶微分算符直角坐标系 x

y 极坐标系

ρ ρ φ

对于第二个微分算符的对应关系可解释为,由于角度φ的量纲是1,为了保证前后量纲的一致性,对角度的一阶微分必须除以ρ。3　两种坐标系条件下所取微元体的不同特点

直角坐标下的微元体是一矩形,见图1,相对的两边平行且等长。微元体的这一特征,使得平衡微分方程、几何方程,公式简洁,意义鲜明,便于记忆。

极坐标下的微元体是圆环的一部分,两条环向线PB 与A D 平行但不等长,两条径向线PA 与BD 等长但不平行,见图2。微元体的这一特征,使得在推导平衡微分方程、几何方程过程中比直角坐标系的对应公式增加部分附加项。3.1　平衡微分方程对比见表3收稿日期:2007-04-20

第一作者简介:张长平(1954-),男,湖南澧县人,平顶山工学院高级讲师,主要从事力学教学研究。

第16卷第3期2007年5月 平顶山工学院学报Journal of Pingdingshan Institute of Technology

Vol .16No .3

May .2007

表3　两种坐标系下平衡微分方程对比

坐标系平衡微分方程

直角坐标系 σx x + τyx

y +f x =0 τxy x + σy

y +f y =0极坐标系

σρ ρ+ τφρρ φ+σρ-σφρ

+f ρ=0 τρφ ρ+ σφρ φ+2τρφρ

+f φ=0 注:1.σρ/ρ是由于环向线不等长引起,-σφ

/ρ是由于径向线不平行引起。;2.τρφ/ρ是由于环向线不等长引起,τφρ

/ρ是由于径向线不平行引起,因为切应力互等,二者合为一项。3.2　几何方程对比见表

4

图2　极坐标系微元体

表4　两种坐标系下几何方程对比

坐标系几何方程直角坐标系εx = u

x

εy = u

y

γxy =

v x + u

y

极坐标系

ερ=

u ρ ρεφ=

u φρ φ+u ρργρφ= u φ ρ+ u ρρ φ-u φ

ρ

注:1.u ρ/ρ是由于径向位移引起环向线的线应变。

2.-u φ/ρ是由于环向位移引起的切应变。

3.3　相容方程

在常体力条件下用应力函数表示的相容方程:■2Υ=0。

在直角坐标系下■=

2 x 2+

2

y 2 在极坐标系下■= 2 ρ2+ ρ ρ+

2ρ2 φ

2。

其中对应关系为: 2 x 2 2 ρ2; 2 y 2 ρ ρ+

2ρ2 φ

2。

有了以上对应关系,就不难写出两个坐标系下应力分量(无体力条件下)的关系,见表5。

通过以上的分析、对比与联系,使学生能够很快地掌握极坐标公式。

表5　两种坐标系下应力分量关系

坐标系应力分量

直角坐标系σx =

2

Υ y 2σy =

2

Υ x 2τxy = 2

Υ x y

极坐标系

σρ= Υρ ρ+ 2Υρ2 φ

2

σφ= 2Υ ρ

2

τρφ= ρ Υρ φ

参考文献

[1]徐芝纶.弹性力学简明教程[M ].北京:高等教育出版社,2002.[2]杨桂通.弹性力学[M ].北京:高等教育出版社,1998.

Memory law of radial coordinates formula of elastic mechanics

ZHANG Chang -ping ,YU Dong -ming

(Pingdings han Ins titute o f technology ,Pingdingshan 467001,China )

A bstract :Utilizing rectangular coordinates system and relevant corresponding relation of polar coordinates system and different character -istics of micro unit of the t wo systems ,the author proposed the memory law of the radial coordinates formula of elastic mechanics .Key words :elastic mechanics ;formula of palar corrdinates

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