弹性力学极坐标求解
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弹性力学第四章平面问题的极坐标解答
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao
弹性力学第四章：平面问题的极坐标解答2
π 2
r
σr +P θ 3σr −σθ 2σcos θ
x3 σx =− π (x2 + y2)2 2P xy2 σy =− π (x2 + y2)2 2P x2 y τxy =− π (x2 + y2)2 2P
2. 位移分量
假定为平面应力情形。 假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为
P
O y
由楔形体受集中力的情形， 由楔形体受集中力的情形，可以得到 P
O y
(令 β =0 ,α =π) : 2P cosθ σr = − ( ) π r （4-26） ） σθ =0 —— 极坐标表示的应力分量 极坐标表示的应力分量 τrθ =τθr =0
利用极坐标与直角坐标的应力转换式（ ）， ），可求得 利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得
∂r ϕ = f (r)sinθ
θ
ϕ = f (r) (M =常 ) 数
ϕ = f (r)sinθ ϕ = f (r)cosθ (M = P⋅rsinθ) (M =M+P⋅rcosθ)
附1：曲梁应力函数确定的基本方法 ：
思路： 思路： 与直梁确定应力函数的方法类似， 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于 梁截面上应力与内力 弯矩、剪力） 应力与内力（ 梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关 应力与应力函数间微分关系， 系、应力与应力函数间微分关系，来推断 应力函数的分离变量形式。 应力函数的分离变量形式。 梁截面上的应力内力的关系： 梁截面上的应力内力的关系：
θ
M = Py = P⋅rsinθ
由材料力学初等理论，可知截面上正应力 由材料力学初等理论， 由此假定： 由此假定：
σθ ∝M(= P⋅rsinθ)
r
σr +P θ 3σr −σθ 2σcos θ
x3 σx =− π (x2 + y2)2 2P xy2 σy =− π (x2 + y2)2 2P x2 y τxy =− π (x2 + y2)2 2P
2. 位移分量
假定为平面应力情形。 假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为
P
O y
由楔形体受集中力的情形， 由楔形体受集中力的情形，可以得到 P
O y
(令 β =0 ,α =π) : 2P cosθ σr = − ( ) π r （4-26） ） σθ =0 —— 极坐标表示的应力分量 极坐标表示的应力分量 τrθ =τθr =0
利用极坐标与直角坐标的应力转换式（ ）， ），可求得 利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得
∂r ϕ = f (r)sinθ
θ
ϕ = f (r) (M =常 ) 数
ϕ = f (r)sinθ ϕ = f (r)cosθ (M = P⋅rsinθ) (M =M+P⋅rcosθ)
附1：曲梁应力函数确定的基本方法 ：
思路： 思路： 与直梁确定应力函数的方法类似， 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于 梁截面上应力与内力 弯矩、剪力） 应力与内力（ 梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关 应力与应力函数间微分关系， 系、应力与应力函数间微分关系，来推断 应力函数的分离变量形式。 应力函数的分离变量形式。 梁截面上的应力内力的关系： 梁截面上的应力内力的关系：
θ
M = Py = P⋅rsinθ
由材料力学初等理论，可知截面上正应力 由材料力学初等理论， 由此假定： 由此假定：
σθ ∝M(= P⋅rsinθ)
弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答
s = sσ
(3) 多连体中的位移单值条件
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·问题的提出
工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐 标表述更直观. 反之也存在.
由此需要对应力分量进行坐标变换.
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
y
fρ τ + ∂τρυdρ ρυ ∂ρ ∂συ dυ συ+ ∂σρ ∂υ σρ+ dρ ∂τυρ C ∂ρ dυ τυρ+ ∂υ
B
fυ
§ 4-1 极坐标中的平衡微分方程
·平衡微分方程
x
υ dυ ρ
Σ Fρ = 0 :
συ
A
σρ τρυ P τυρ
∂σρ σρ+ dρ (ρ+dρ)dυ - σρ ρdυ ∂ρ ∂συ dυ - συ+ dυ dρ sin ∂υ 2 + τυρ+ - συ dρ sin
Σ Fυ = 0 :
συ = ?
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
συ = ?
将两坐标系下微元体组合
τyx σy σx συ
τυρ τxy
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
O x
υ
τyx
σy σx
συ y
τυρ τxy
Σ Fυ = 0 :
O h/2 h/2 lqx源自(v)x=0, l = 0
应力边界条件： ( σy ) y=-h/2 = - q (τyx ) y=-h/2 = 0 ( σy ) y= h/2 = 0 (τyx ) y= h/2 = 0
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
弹性力学第七章平面问题的极坐标解
第七章 平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分量 极坐标系的 Laplace 算符 轴对称应力分量 轴对称位移和应力表达式 曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设 带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数 楔形体应力 楔形体受集中力偶作用、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解， 但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程 度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统 要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程， 且求解一些典型问题。
极坐标平衡微分方程 几何方程的极坐标表达 应力函数 轴对称位移 厚壁圆筒作用均匀压力 曲梁弯曲应力 曲梁作用径向集中力 孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1平面问题极坐标解的基本方程学习思路：选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点:1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6极坐标系的LaPIaCe算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD ,其由两个相距茁的圆柱面和互成d「的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用二表示径向正应力，用二表示环向正应力，「,和•二:分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，.J=.二:。
弹性力学第4章-平面问题的极坐标解答
两面不平行, d 夹角为 φ; 两
ρ 面面积不等,分别为 ρdφ, ( ρ + d ρ) dφ. ρ从原点出发为正, 从 x 轴向 y 轴方向转动为正.
微分体上的作用力有: 微分体上的作用力有
体力-- f ρ , f φ , 以坐标正向为正. -应力---
作用力
±ρ
面, φ 面分别表示应力及其增量. ±
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 例题
圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力
基本方程的区别. 对于圆形,弧形,扇形及由径向线和环向围成的物 体,宜用极坐标求解.用极坐标表示边界简单,使边界条 件简化.
在A内任一点(ρ, )取出一个微分体,考虑其平 衡条件. 微分体:由夹 角为d φ的两 径向线和距离 为d ρ的两环 向线围成.
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
注意: 注意:
即 Φ是通过中间变量 ρ,φ ,为 x, y 的复合函数. 有: Φ = Φ ρ + Φ φ, Φ=Φρ +Φφ. 而
ρ x φ x y ρ y φ y sin cos ρ ρ = , = sin; = cos, . = ρ x y ρ y x x
代入,即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinφ Φ=cosφ =(cosφ )Φ x ρ ρ φ ρ ρ φ
u = uρ cos u sin, v = uρ sin + u cos.
(c) (d)
弹性力学-平面问题的极坐标解答
l r
s
m
s
k
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
（位移单值条件）
r
r
r
0
r l
q0
r 0 0
0 r 0
r ra 0 r ra 0
r rb 0 r rb 0
b
a 0 dr 0
b
a r 0 dr 0
b
a 0 rdr M
d
r
P
ur
B
B
ur d
x
dr ur
A
P
A
1
(r ur )d
ur r
dr
径向线段PA的转角： 1 0
线段PB的相对伸长： 1
（b）
PB PB (r ur )d rd
PB
rd
ur （c） r
环向线段PB的转角：
tan 1 1
BB PP PB
(ur
ur
d )
ur
rd
1 ur
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
极坐标下的相容方程为：
22
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
0
4
22
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
说明： 方程（4－6）为常体力情形的相容方程。
（4－6）
结论： 弹性力学极坐标求解归结为
（1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 (r, )
采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题
采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
首先推导平衡微分方程的极坐标形式。
考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为σρ 和τϕρ,则CD面上的应力分量为如果AD面上的应力分量为σϕ 和τρϕ ，则BC面上的应力分量为。
同时，体力分量在极坐标径向ρ 和环向 ϕ方向的分量分别为F bρϕ 和F bϕ 。
弹性力学第四章 用极坐标解平面问题
第四章 用极坐标解平面问题4.1.极坐标中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。
在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。
首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。
用夹角为ϕd 的两条极径和两条半径相差为ρd 的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。
圆弧截面称为ρ面。
面的法向沿径向而且指向ρ增加方向，这一圆弧面称为正ρ面，反之称为负ρ面。
极径截面称为ϕ面。
面的法向沿环向而且指向ϕ增加方向，这一极径截面称为正ϕ面。
反之称为负ϕ面。
ρ面上的正应力用ρσ表示，剪应力用ρϕτ表示。
ϕ面上的正应力用ϕσ表示，剪应力用ϕρτ表示。
用ρf 表示体积力在径向的分量,用ϕf 表示体积力在环向的分量。
应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。
体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。
直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。
从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。
但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。
我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。
负ρ面上的正应力为ρσ，剪应力为ρϕτ；正ρ面的坐标比负ρ面增加了ρd ，所以正ρ面的应力和负ρ面相比，应力产生了一个增量，分别为ρρσσρρd ∂∂+和ρρττρϕρϕd ∂∂+。
负ϕ面上的正应力为ϕσ，剪应力为ϕρτ；正ϕ面的坐标比负ϕ面增加了ϕd ，所以正ϕ面的应力和负ϕ面相比，应力产生了一个增量，分别为ϕϕσσϕϕd ∂∂+和ϕϕττϕρϕρd ∂∂+。
弹性力学 第七章平面问题的极坐标解答
x r cos
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
弹性力学平面问题的极坐标解答课件
b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f
6-3弹性力学平面问题(极坐标)
在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐 标系下的相容方程得到。
1 1 2 r , 0 （展开共8项） 2 2 r r r r 将O-xy坐标系旋转至 x 与 r 重合，即 0，此时
2 2 2
所以
y
r
x
当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程
x r
P
r r
r
r
视 P-r 为旧坐标，P点的应力状态为 r、、r r ； 视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x、y、xy yx 。
由应力状态的坐标转换公式
代入计算得
（3）体力分量的坐标转换 设极坐标系下的体力分量为 Fbr 、Fb 。 将其分别向 x、y 方向投影得
y r x
以此位置的直角坐标系， 建立平衡微分方程。即
同理
x r x r 0 y 1 2 r r y 0 r
xy r r x 0 xy 1 r r r y 0 r
Fb O
x
r
P Fbr r
y
2. 极坐标系下的平衡微分方程 由直角坐标系下的平衡微分方程推导
x sin cos r cos2 sin 2 2 r sin cos x r r
cos3
2 2
2
（无体力）
F F F 或 2 r 1 br br 1 b （计体力） r r r
应力分量 （不计体力）
( r ) s l1 ( r ) s l2 pr ( r ) s l1 ( ) s l2 p
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答(2)
1. 分析： 与以前相比较，相当于两个轴对称问题：
(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒； (b) 仅受内压作用的无限大弹性体。
确定外压 p 的两个条件：
u 径向变形连续： r rb ur rb
径向应力连续： r rb
r rb
2. 求解
E,
E, E,
E,
2. 求解
(1) 圆筒的应力与边界条件
P
ur
dr P
x
A
ur
ur r
dr
A
B
1
y
B
ur
ur
d
(r ur )d
2. 几何方程
r
r
1 r r
r
r
kr 0
1 r
r
r
2 r
r
k
0
复习
平面问题的极坐标解答
O
r
d r r
rd B
Pr
x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
y
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
3. 物理方程
应力：
r
A r2
2C
A r2
2C
（a）
边界条件： r ra q r rb p
(2) 无限大弹性体的应力与边界条件
应力：
r
A r2
2C
A r2
2C
（b）
边界条件： r rb p
r r 0
将式（a）、（b）代入相应的边界 条件，得到如下方程：
E,
E, E,
E,
A a2
第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答讲解
在r = b边界（外径）：
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零， 满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时， ，得
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零， 满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时， ，得
弹性力学-第八章 平面问题的极坐标解答
径向线段PA的转角： 径向线段 的转角： 的转角 线段PB的相对伸长： 线段 的相对伸长： 的相对伸长 环向线段PB的转角： 环向线段 的转角： 的转角
ur
∂ur ur + dr ∂r A A′
x
εθ1 =
α1 = 0
P′B′ − PB (r + ur )dθ − rdθ ur （c） ） = = PB rdθ r
σ = σ r er ⊗ er +τ rθ er ⊗ eθ +τθ r eθ ⊗ er + σθ eθ ⊗ eθ 剪应力互等定理 τ rθ = τ θ r 极坐标下的平衡方程
∇ ⋅σ + f = ( ∂ σ r 1 ∂ τ rθ σ r − σ θ + + + f r )e r ∂r r ∂θ r ∂τ 1 ∂σ θ 2τ rθ +( rθ + + + fθ )eθ = 0 ∂r r ∂θ r
θ r dθ
σr τ rθ
B
Pτθr
σθ x
∂r ∂σ r C ∂σθ dθ σr + dr y − σθ + dθ dr ∂r ∂θ ∂τθr 2 ∂σθ dθ σθ + dθ τθr + dθ ∂θ + fr rdrdθ = 0 −σθ dr ∂θ 2 高阶小量，舍去） （高阶小量，舍去）
即
Laplace算子 算子
2
∇ = e r ∂ + eθ 1 ∂ ∂r r ∂θ
(8.1) (8.2)
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + + 2 2 ∂r r ∂r r ∂θ B.极坐标下的几何方程 极坐标下的几何方程
ur
∂ur ur + dr ∂r A A′
x
εθ1 =
α1 = 0
P′B′ − PB (r + ur )dθ − rdθ ur （c） ） = = PB rdθ r
σ = σ r er ⊗ er +τ rθ er ⊗ eθ +τθ r eθ ⊗ er + σθ eθ ⊗ eθ 剪应力互等定理 τ rθ = τ θ r 极坐标下的平衡方程
∇ ⋅σ + f = ( ∂ σ r 1 ∂ τ rθ σ r − σ θ + + + f r )e r ∂r r ∂θ r ∂τ 1 ∂σ θ 2τ rθ +( rθ + + + fθ )eθ = 0 ∂r r ∂θ r
θ r dθ
σr τ rθ
B
Pτθr
σθ x
∂r ∂σ r C ∂σθ dθ σr + dr y − σθ + dθ dr ∂r ∂θ ∂τθr 2 ∂σθ dθ σθ + dθ τθr + dθ ∂θ + fr rdrdθ = 0 −σθ dr ∂θ 2 高阶小量，舍去） （高阶小量，舍去）
即
Laplace算子 算子
2
∇ = e r ∂ + eθ 1 ∂ ∂r r ∂θ
(8.1) (8.2)
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + + 2 2 ∂r r ∂r r ∂θ B.极坐标下的几何方程 极坐标下的几何方程
弹性力学平面问题极坐标解法
2
sin θ cosθ ∂ 2 − r2 ∂θ 2
极坐标下的应力函数和相容方程（ 极坐标下的应力函数和相容方程（3）
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + 2 = 2 + + 2 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂x ∂y ∂r
应力函数的相容方程
∂2 ∂2 2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 2 ∇ 2ϕ = ( 2 + 2 ) ϕ = ( 2 + + 2 ) ϕ =0 2 ∂x ∂y ∂r r ∂r r ∂θ
极坐标系是正交曲线坐标系 极坐标系是正交曲线坐标系 正交
r坐标曲线：坐标θ为常数的曲线（过原点和空间点的直线） 坐标曲线：坐标 为常数的曲线 过原点和空间点的直线） 为常数的曲线（ 坐标曲线 θ坐标曲线：坐标 为常数的曲线（过空间点的圆弧） 坐标曲线： 为常数的曲线（ 坐标曲线 坐标r为常数的曲线 过空间点的圆弧） 由坐标确定的空间点， 由坐标确定的空间点，既是两条坐标曲线的交点 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。其 切线构成局部正交坐标标架
极坐标和直角坐标的坐标变换
∂r 2 x = = cos θ ∂x 2r ∂r 2 y = = sin θ ∂y 2r ∂θ 1 −y y sin θ = ⋅ 2 =− 2 =− 2 y x ∂x r r 1+ 2 x 1 1 x cos θ ∂θ = ⋅ 2 = 2 = 2 y x ∂y r r 1+ 2 x
ε
(1) r
P′A′ − PA AA′ − PP′ = = PA PA ∂u (u r + r d r ) − u r ∂ur ∂r = = dr dr ∂r
ε θ(1) =
sin θ cosθ ∂ 2 − r2 ∂θ 2
极坐标下的应力函数和相容方程（ 极坐标下的应力函数和相容方程（3）
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + 2 = 2 + + 2 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂x ∂y ∂r
应力函数的相容方程
∂2 ∂2 2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 2 ∇ 2ϕ = ( 2 + 2 ) ϕ = ( 2 + + 2 ) ϕ =0 2 ∂x ∂y ∂r r ∂r r ∂θ
极坐标系是正交曲线坐标系 极坐标系是正交曲线坐标系 正交
r坐标曲线：坐标θ为常数的曲线（过原点和空间点的直线） 坐标曲线：坐标 为常数的曲线 过原点和空间点的直线） 为常数的曲线（ 坐标曲线 θ坐标曲线：坐标 为常数的曲线（过空间点的圆弧） 坐标曲线： 为常数的曲线（ 坐标曲线 坐标r为常数的曲线 过空间点的圆弧） 由坐标确定的空间点， 由坐标确定的空间点，既是两条坐标曲线的交点 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。其 切线构成局部正交坐标标架
极坐标和直角坐标的坐标变换
∂r 2 x = = cos θ ∂x 2r ∂r 2 y = = sin θ ∂y 2r ∂θ 1 −y y sin θ = ⋅ 2 =− 2 =− 2 y x ∂x r r 1+ 2 x 1 1 x cos θ ∂θ = ⋅ 2 = 2 = 2 y x ∂y r r 1+ 2 x
ε
(1) r
P′A′ − PA AA′ − PP′ = = PA PA ∂u (u r + r d r ) − u r ∂ur ∂r = = dr dr ∂r
ε θ(1) =
弹性力学极坐标求解
的位移分别为
u
u
d
和
u
u
d ,
见图4-2（b）。同样考虑
PA
的转角α
是微小的，我们可以得出：
PA 的线应变： 0
转角：
AAPP u PA
14.05.2021
9
第四章 平面问题的极坐标求解
PB 的线应变：
BBPB PP 1u
转角：
u
需要说明的是： u 是由于环向位移而引起的环向线段的
而ρ，φ又是x，y的函数，如式（b）所示。因此 x, y
可以认为是通过中间变量（ρ，φ）的关于（x，y）的复 合函数。按照复合函数的求导公式，有：
x x x y y y
14.05.2021
17
第四章 平面问题的极坐标求解
其中ρ，φ对x，y的导数，可以由式（b）得出：
弹性力学极坐标求解
第四章 平面问题的极坐标求解
2.正负符号的规定
（1）在极坐标中，ρ从原点出发，以向外为正； 而φ以 x轴正向到 y轴正向的转向为正； （2）应力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍 以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负； （3）微分体上的体力为 f ρ 和 f φ ，表示于微分体的 中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正 ，反之为负。
14.05.2021
25
第四章 平面问题的极坐标求解
4.5 轴对称应力和相应的位移
1.概念
轴对称，即绕一轴对称，是指通过此轴的任何面均为 对称面。
2.轴对称物理量的特点
（1）方向必须对称，因此，方向不对称的物理量不应 存在。因此：
0
（2）数值必须相同，因此，它只能是ρ的函数，沿φ 向不变 。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量 减少一维，即：
弹性力学-04极坐标求解-贾
第四章
平面问题的极坐标解答
要点： （1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、
相容方程、边界条件。
（2）极坐标中平面问题的求解方法 及应用 应用： 圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、 半无限平面体等的应力与变形分析。
对于圆形、楔形、扇形等，边界条件用直角坐 标可能十分复杂，而用极坐标却十分简单。
为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件）
ur , u 为边界上已知位移， k r , k
r r
r
0 r q0
r 0 0
l
lr
0
r 0
r r a 0 r r a 0 r r b 0 r r b 0
径向线段PA的转角： 线段PB的相对伸长： 环向线段PB的转角：
ur
ur ur dr r A A
x
1
1 0
PB PB (r ur )d rd u r （c） PB rd r
（b）
tan 1 1
ur (ur d ) ur BB PP 1 u r PB r rd
r C 1 r 2 r r dr k 0 y r r r r r d d r （4－1）
方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静 定问题，需考虑变形协调条件才能求解。
B
y
u u dr）
P
u
2
A
u u d
u A u r dr
环向线段PB的相对伸长：
2
u PB PB BB PP u d u 1 u PB PB r rd
平面问题的极坐标解答
要点： （1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、
相容方程、边界条件。
（2）极坐标中平面问题的求解方法 及应用 应用： 圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、 半无限平面体等的应力与变形分析。
对于圆形、楔形、扇形等，边界条件用直角坐 标可能十分复杂，而用极坐标却十分简单。
为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件）
ur , u 为边界上已知位移， k r , k
r r
r
0 r q0
r 0 0
l
lr
0
r 0
r r a 0 r r a 0 r r b 0 r r b 0
径向线段PA的转角： 线段PB的相对伸长： 环向线段PB的转角：
ur
ur ur dr r A A
x
1
1 0
PB PB (r ur )d rd u r （c） PB rd r
（b）
tan 1 1
ur (ur d ) ur BB PP 1 u r PB r rd
r C 1 r 2 r r dr k 0 y r r r r r d d r （4－1）
方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静 定问题，需考虑变形协调条件才能求解。
B
y
u u dr）
P
u
2
A
u u d
u A u r dr
环向线段PB的相对伸长：
2
u PB PB BB PP u d u 1 u PB PB r rd
弹性力学： 极坐标解答
由于极坐标和直角坐标都是正交坐标系，因此，极坐标和 直角坐标的物理方程应该有相同的形式。 极坐标下的物理方程：
1 ( ) E （4－3） 1 ( ) E 1 2(1 ) G E
平面坐标下的物理方程：
1 x y E 1 y y x E 2 1 xy xy E
由径向应变引起的： 径向线应变： 1 环向线应变： 1 切应变：
P ' B ' PB P 'C PB 1 PB PB u d d u d
1
Northeastern university
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
2 f 0
1
C
考虑 d 、 d 增量引起应力 的增量
M 0
注意：PA面与BC面不平行， PB面与AC面面积不同。
Northeastern university
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
Northeastern university
§4－3 极坐标中的应力函数与相容方程
二阶导数：
2 2 2sin cos 2 2 cos 2 2 x
sin
2
2sin cos
sin
2 2
由环向位移引起的径向线段PBiblioteka 的线应变 径向线应变：2 0
2
Northeastern university
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
2、只有环向位移
1 ( ) E （4－3） 1 ( ) E 1 2(1 ) G E
平面坐标下的物理方程：
1 x y E 1 y y x E 2 1 xy xy E
由径向应变引起的： 径向线应变： 1 环向线应变： 1 切应变：
P ' B ' PB P 'C PB 1 PB PB u d d u d
1
Northeastern university
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
2 f 0
1
C
考虑 d 、 d 增量引起应力 的增量
M 0
注意：PA面与BC面不平行， PB面与AC面面积不同。
Northeastern university
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
Northeastern university
§4－3 极坐标中的应力函数与相容方程
二阶导数：
2 2 2sin cos 2 2 cos 2 2 x
sin
2
2sin cos
sin
2 2
由环向位移引起的径向线段PBiblioteka 的线应变 径向线应变：2 0
2
Northeastern university
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
2、只有环向位移
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u u d ,
u d
见图4-2（b）。同样考虑 PA 的转角α
是微小的，我们可以得出： PA 的线应变： 0
转角：
AA PP u PA
9
2018/11/15
第四章 平面问题的极坐标求解
PB 的线应变：
BB PP 1 u PB
第四章 平面问题的极坐标求解
（4）结论
当径向和环向位移同时发生时，在几何线性问题中；可 以应用叠加原理而得极坐标中的几何方程：
u u 1 u u u
（4-2）
1 u
图 4- 2
2018/11/15 6
第四章 平面问题的极坐标求解
推导几何方程分为两步：一步考虑只有径向位移 u 的 情形；第二步再考虑只有环向位移 u 的情形。
（2）微分体只发生径向位移 u
计入由于坐标增量 d 而引起的增量，位移分量应为 uρ uρ + dρ B点相对于P点，要考虑由dφ而引起的增 ρ 量，位移分量应为 u u d ，如图4-2（a）所 示。 设变形后，P点的位移分量为 u 则A点相对于P点，要
与直角坐标中的几何方程相比，除了上述指出的两项是 极坐标中特有的之外，其余的几项都是相似的。
2018/11/15 11
（4-1）
2018/11/15
4
第四章 平面问题的极坐标求解
4.直角坐标与极坐标比较 1.在（4-1）的第一式中，前两项与直角坐标的相似； 而
σρ ρ
项是由于正ρ面的面积大于负ρ面而产生的， - 是
ρ
σ
由于正负φ面上的正应力在通过微分体中心的ρ方向有投 影而引起的。 2.在式（4-1）的第二式中，前两项也与直角坐标的相 似；而 是由于正ρ面面积大于负ρ面而产生的； 是 由于正负φ面上的切应力在通过微分体中心的φ方向有投
2018/11/15
2
第四章 平面问题的极坐标求解
3.列平衡方程求解
由 F 0 可得
d d d d d d d d sin d sin 2 2 d d d d cos d cos f d d 0 2 2
2018/11/15
7
第四章 平面问题的极坐标求解
又由于图4-2（a）中的β角很小，以 cos 1,sin ，于 是 PB PC 。由此，我们得到： PA 线段的线应变
AA PP u PA PB PB u PB
第四章 平面问题的极坐标求解
4.1极坐标中的平衡微分方程
1.建立模型
在区域 A 的任一点P（ρ，φ），取出一个微分体， 建立的坐标系如图4-1所示。
图 4- 1
2018/11/15 1
第四章 平面问题的极坐标求解
2.正负符号的规定
（1）在极坐标中，ρ从原点出发，以向外为正； 而φ以 x轴正向到 y轴正向的转向为正； （2）应力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍 以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负； （3）微分体上的体力为 f ρ 和 fυ ，表示于微分体的 中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正， 反之为负。
由 F 0 可得
d d d d cos d cos d d d d 2 2 d d d d sin d sin f d d 0 2 2
影而引起的。由于
作为一个未知函数处理。
2018/11/15
我们仍将这两个切应力只 τ ρ = τ ρ
5
第四章 平面问题的极坐标求解
4.2 极坐标中的几何方程及物理方程 1.几何方程的推导
（1）建立坐标系 在区域内任取一点P（ρ，φ）作两个沿正标向的微分线段 PA=dρ和PB =ρdφ，图4-2所示。
2018/11/15
3
第四章 平面问题的极坐标求解
化简以上两式，由于d 微小，可以把用 代替 ，
sin dφ dφ dφ 另外在上式中，分别出现了 取为 , 把cos 取为1 2 2 2
一、二、三阶微量，其中一阶微量互相抵消，二 阶微量保留，而将更高阶的三阶微量略去。化简 可得：
1 f 0 1 2 f 0
，转角α=0；
PB 线段的线应变
，转角：
BB PP 1 u 应变。
是极坐标中才有的，表示由于径向位移而引
2018/11/15
8
第四章 平面问题的极坐标求解
（3）微分体只发生环向位移 u
微分线段 PA, PB变形后成为 P A， P点的环 P B。变形后 向位移 u ，由于坐标的增量 d 的位移分别为 u 和
u
转角：
需要说明的是：
u
转角。因为变形前的环向线切线垂直于OP，而变形后的
是由于环向位移而引起的环向线段的
环向线切线垂直于0 P ，这两切线的转角应等于圆心
角 POP
2018/11/15
u
切应变的定义应为负值。这项也是在极坐标中才有的。
10
。并且，这个转角使原直角APB增大，按
u d
见图4-2（b）。同样考虑 PA 的转角α
是微小的，我们可以得出： PA 的线应变： 0
转角：
AA PP u PA
9
2018/11/15
第四章 平面问题的极坐标求解
PB 的线应变：
BB PP 1 u PB
第四章 平面问题的极坐标求解
（4）结论
当径向和环向位移同时发生时，在几何线性问题中；可 以应用叠加原理而得极坐标中的几何方程：
u u 1 u u u
（4-2）
1 u
图 4- 2
2018/11/15 6
第四章 平面问题的极坐标求解
推导几何方程分为两步：一步考虑只有径向位移 u 的 情形；第二步再考虑只有环向位移 u 的情形。
（2）微分体只发生径向位移 u
计入由于坐标增量 d 而引起的增量，位移分量应为 uρ uρ + dρ B点相对于P点，要考虑由dφ而引起的增 ρ 量，位移分量应为 u u d ，如图4-2（a）所 示。 设变形后，P点的位移分量为 u 则A点相对于P点，要
与直角坐标中的几何方程相比，除了上述指出的两项是 极坐标中特有的之外，其余的几项都是相似的。
2018/11/15 11
（4-1）
2018/11/15
4
第四章 平面问题的极坐标求解
4.直角坐标与极坐标比较 1.在（4-1）的第一式中，前两项与直角坐标的相似； 而
σρ ρ
项是由于正ρ面的面积大于负ρ面而产生的， - 是
ρ
σ
由于正负φ面上的正应力在通过微分体中心的ρ方向有投 影而引起的。 2.在式（4-1）的第二式中，前两项也与直角坐标的相 似；而 是由于正ρ面面积大于负ρ面而产生的； 是 由于正负φ面上的切应力在通过微分体中心的φ方向有投
2018/11/15
2
第四章 平面问题的极坐标求解
3.列平衡方程求解
由 F 0 可得
d d d d d d d d sin d sin 2 2 d d d d cos d cos f d d 0 2 2
2018/11/15
7
第四章 平面问题的极坐标求解
又由于图4-2（a）中的β角很小，以 cos 1,sin ，于 是 PB PC 。由此，我们得到： PA 线段的线应变
AA PP u PA PB PB u PB
第四章 平面问题的极坐标求解
4.1极坐标中的平衡微分方程
1.建立模型
在区域 A 的任一点P（ρ，φ），取出一个微分体， 建立的坐标系如图4-1所示。
图 4- 1
2018/11/15 1
第四章 平面问题的极坐标求解
2.正负符号的规定
（1）在极坐标中，ρ从原点出发，以向外为正； 而φ以 x轴正向到 y轴正向的转向为正； （2）应力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍 以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负； （3）微分体上的体力为 f ρ 和 fυ ，表示于微分体的 中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正， 反之为负。
由 F 0 可得
d d d d cos d cos d d d d 2 2 d d d d sin d sin f d d 0 2 2
影而引起的。由于
作为一个未知函数处理。
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我们仍将这两个切应力只 τ ρ = τ ρ
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第四章 平面问题的极坐标求解
4.2 极坐标中的几何方程及物理方程 1.几何方程的推导
（1）建立坐标系 在区域内任取一点P（ρ，φ）作两个沿正标向的微分线段 PA=dρ和PB =ρdφ，图4-2所示。
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第四章 平面问题的极坐标求解
化简以上两式，由于d 微小，可以把用 代替 ，
sin dφ dφ dφ 另外在上式中，分别出现了 取为 , 把cos 取为1 2 2 2
一、二、三阶微量，其中一阶微量互相抵消，二 阶微量保留，而将更高阶的三阶微量略去。化简 可得：
1 f 0 1 2 f 0
，转角α=0；
PB 线段的线应变
，转角：
BB PP 1 u 应变。
是极坐标中才有的，表示由于径向位移而引
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第四章 平面问题的极坐标求解
（3）微分体只发生环向位移 u
微分线段 PA, PB变形后成为 P A， P点的环 P B。变形后 向位移 u ，由于坐标的增量 d 的位移分别为 u 和
u
转角：
需要说明的是：
u
转角。因为变形前的环向线切线垂直于OP，而变形后的
是由于环向位移而引起的环向线段的
环向线切线垂直于0 P ，这两切线的转角应等于圆心
角 POP
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u
切应变的定义应为负值。这项也是在极坐标中才有的。
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。并且，这个转角使原直角APB增大，按