弹性力学极坐标求解

与直角坐标中的几何方程相比，除了上述指出的两项是 极坐标中特有的之外，其余的几项都是相似的。
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，转角α=0；
PB 线段的线应变
，转角：
BB PP 1 u PB
注：

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起的环形线段的伸长应变。

是极坐标中才有的，表示由于径向位移而引
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第四章 平面问题的极坐标求解
（3）微分体只发生环向位移 u
微分线段 PA, PB变形后成为 P A， P点的环 P B。变形后 向位移 u ，由于坐标的增量 d 的位移分别为 u 和
u u d ,
u d
见图4-2（b）。同样考虑 PA 的转角α
是微小的，我们可以得出： PA 的线应变： 0
转角：
AA PP u PA
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第四章 平面问题的极坐标求解
PB 的线应变：
BB PP 1 u PB

u
转角：

需要说明的是：
u
转角。因为变形前的环向线切线垂直于OP，而变形后的

是由于环向位移而引起的环向线段的
环向线切线垂直于0 P ，这两切线的转角应等于圆心
角 POP
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u
切应变的定义应为负值。这项也是在极坐标中才有的。
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。并且，这个转角使原直角APB增大，按
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第四章 平面问题的极坐标求解
又由于图4-2（a）中的β角很小，以 cos 1,sin ，于 是 PB PC 。由此，我们得到： PA 线段的线应变

AA PP u PA PB PB u PB
影而引起的。由于
作为一个未知函数处理。
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我们仍将这两个切应力只 τ ρ = τ ρ
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第四章 平面问题的极坐标求解
4.2 极坐标中的几何方程及物理方程 1.几何方程的推导
（1）建立坐标系 在区域内任取一点P（ρ，φ）作两个沿正标向的微分线段 PA=dρ和PB =ρdφ，图4-2所示。
第四章 平面问题的极坐标求解
（4）结论
当径向和环向位移同时发生时，在几何线性问题中；可 以应用叠加原理而得极坐标中的几何方程：

u u 1 u u u


（4-2）

1 u
（4-1）
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第四章 平面问题的极坐标求解
4.直角坐标与极坐标比较 1.在（4-1）的第一式中，前两项与直角坐标的相似； 而
σρ ρ
项是由于正ρ面的面积大于负ρ面而产生的， - 是
ρ
σ
由于正负φ面上的正应力在通过微分体中心的ρ方向有投 影而引起的。 2.在式（4-1）的第二式中，前两项也与直角坐标的相 似；而 是由于正ρ面面积大于负ρ面而产生的； 是 由于正负φ面上的切应力在通过微分体中心的φ方向有投
由 F 0 可得
d d d d cos d cos d d d d 2 2 d d d d sin d sin f d d 0 2 2
图 4- 2
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第四章 平面问题的极坐标求解
推导几何方程分为两步：一步考虑只有径向位移 u 的 情形；第二步再考虑只有环向位移 u 的情形。
（2）微分体只发生径向位移 u
计入由于坐标增量 d 而引起的增量，位移分量应为 uρ uρ + dρ B点相对于P点，要考虑由dφ而引起的增 ρ 量，位移分量应为 u u d ，如图4-2（a）所 示。 设变形后，P点的位移分量为 u 则A点相对于P点，要
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第四章 平面问题的极坐标求解
3.列平衡方程求解
由 F 0 可得
d d d d d d d d sin d sin 2 2 d d d d cos d cos f d d 0 2 2
第四章 平面问题的极坐标求解
4.1极坐标中的平衡微分方程
1.建立模型
在区域 A 的任一点P（ρ，φ），取出一个微分体， 建立的坐标系如图4-1所示。
图 4- 1
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第四章 平面问题的极坐标求解
2.正负符号的规定
（1）在极坐标中，ρ从原点出发，以向外为正； 而φ以 x轴正向到 y轴正向的转向为正； （2）应力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍 以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负； （3）微分体上的体力为 f ρ 和 fυ ，表示于微分体的 中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正， 反之为负。
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第四章 平面问题的极坐标求解
化简以上两式，由于d 微小，可以把用 代替 ，
sin dφ dφ dφ 另外在上式中，分别出现了 取为 , 把cos 取为1 2 2 2
一、二、三阶微量，其中一阶微量互相抵消，二 阶微量保留，而将更高阶的三阶微量略去。化简 可得：
1 f 0 1 2 f 0